Тема: Отношения

Тема: ОТНОШЕНИЯ

Цель: Дать понятие отношения между элементами одного множества. Показать способы задания отношения между элементами одного множества, рассмотреть свойства отношений.

План:

Понятие отношения. Способы задания отношений. Свойства отношений. Отношение эквивалентности. Отношение порядка.

1.  Понятие отношения

На рисунке 1 изображены сестры Анна Ивановна и Вера Ивановна с сыновьями Петей и Юрой. Между этими людьми существуют различные родственные отношения. Рассмотрим некоторые из них.

а) Петя – сын Анны Ивановны. В этом же отношении «быть сыном» находится Юра с Верой Ивановной. В отношении «быть сыном» не находятся Вера Ивановна и Анна Ивановна.

Рис.1 Выпишем все пары элементов, находящихся в отношении «быть сыном». Таких пар две: (Петя; Анна Ивановна) и (Юра; Вера Ивановна).

Эти пары можно представить с помощью особого чертежа, состоящего из точек, соединенных стрелками. Такие чертежи называются графами. Такой граф называют графом отношения «быть сыном» (рис. 2).

б) Анна Ивановна – тетя Юры. В этом же отношении «быть тетей» находятся еще лишь Вера Ивановна и Петя. Граф отношения «быть тетей» показан на рисунке 3.

в) В отношении «быть сестрой или матерью» находятся элементы четырех пар: (А. И.; В. И), (В. И.;А. И.), (А. И.; П.), (В. И.; Ю.), граф этого отношения представлен на рисунке 4.

Рис. 2 Рис.3 Рис.4

Таким же образом можно представить графы отношений «быть двоюродным братом», «быть племянником» и др.

Из курса школьной математики известны многочисленные примеры отношений:

- между числами: «равно», «неравно», «меньше», «больше», «кратно», «следует за…», «делится на…» и т. д.;

- между точками прямой: «предшествует», «следует за» и т. д.;

- между прямыми: «параллельны», «пересекаются», «перпендикулярны»;

- между плоскостями: «параллельны», «пересекаются», «перпендикулярны»;

- между геометрическими фигурами: «равно», «подобно», и др.

Таким образом, в математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи между ними, т. е. отношения между этими объектами.

Чаще всего в математике рассматривают отношения между двумя объектами, их называют бинарными; отношения между тремя элементами – тернарными; отношения между n элементами – n-арными.

Наша задача научиться устанавливать, что общего между отношениями, каким образом можно классифицировать такое огромное количество самых разнообразных отношений.

Значение этого материала нужно учителю начальных классов и воспитателю дошкольного учреждения для того, чтобы, изучая конкретные отношения в начальной математике понимать их сущность, взаимосвязи, роль в усвоении тех или иных понятий.

Рассмотрим множество чисел Х={3,4,5,6,8}. Между числами этого множества можно установить такие отношения как:

- «больше»: 4>3, 5>3, 6>3, 8>3, 5>4, 6>4, 8>4, 6>5, 8>5, 8>6;

- «больше на 1»: «4 больше 3 на 1», «5 больше 4 на 1», «6 больше 5 на 1»;

- «меньше в 2 раза»: «3 меньше 6 в 2 раза», «4 меньше 8 в 2 раза».

Итак, связь между элементами одного и того же множества называется отношением между элементами этого множества.

Обратим внимание на следующее: рассматривая то или иное неравенство, мы каждый раз оперировали упорядоченными парами, образованными из чисел данного множества. Поэтому полученные неравенства можно записать иначе, в виде упорядоченных пар. Рассмотрим на примере отношения «больше»:

(4;3), (5;3), (6;3), (8;3), (5;4), (6;4), (8;4), (6;5),(8;5),(8;6).

Известно, что упорядоченные пары – это элементы декартова произведения множеств или его подмножеств. Поэтому об отношении «больше» заданном на множестве Х можно сказать, что оно является подмножеством множества .

Вместо того чтобы говорить, что отношение определяется множеством пар, в математике само это множество пар называют, отношением между элементами множества Х. Отношения обозначаются прописными буквами латинского алфавита: P, Q, R, S и др.

Определение. Отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х´Х.

Как было сказано выше, отношение можно показать наглядно с помощью графов.

Рассмотрим отношения «больше» между элементами множества Х={2;4;6;8;12}.

Для того чтобы построить граф этого отношения надо элементы данного множества изобразить точками и соединить стрелками те точки, которые изображают числа, находящиеся в отношении «больше». Поскольку 4>2, то проводим стрелку от 4 к 2; т. к. 6>4, то проводим стрелку от 6 к 4 и т. д., пока не переберем все пары чисел, связанных заданным отношением. В результате получаем граф отношения «больше» для элементов множества Х={2;4;6;8;12} (рис.5). Рис.5

Рассмотрим теперь на этом множестве отношение «кратно» и построим граф.

Аналогично предыдущему случаю изобразим элементы множества Х точками и соединим стрелками те, которые изображают числа, находящиеся в отношении «кратно»: 12 кратно 2, 12 кратно 4 и т. д. Так как любое число из множества Х кратно самому себе, то граф данного отношения будет иметь стрелки, начало и конец которых совпадут. Такие стрелки на графе называют петлями (рис.6). Рис. 6

Вопросы и задания по теме:

1.  Дайте понятие отношения на множестве. Приведите примеры отношений на множестве.

2.  Приведите примеры отношений, существующих между:

а) натуральными числами;

б) прямыми на плоскости;

в) треугольниками;

г) множествами.

3. 

Установите, какой из графов, приведенных на рисунке 7, является графом отношения «х делится на у», заданного на множестве Х={5;10;20;30;40}. Ответ поясните. Рис. 7

4.  Какое из следующих множеств является отношением между элементами множества А={0;3;6;9;12}:

а) P={(6;3),(9;3),(12;3),(12;6),(3;3),(6;6),(9;9),(12;12)};

б) Т={(3;3),(3;6),(3;9),(3;12),(6;6),(9;9),(12;12)};

в) М={(3;6),(6;12),(9;18),(12;6)}.

2.  Способы задания отношений

1. Отношение R на множестве Х можно задать, перечислив все пары элементов, взятых из множестве Х и связанных этим отношением. Формы записи при этом могут быть различными:

а) перечисление множества пар: {(5;4)(6;4)(6;5)(7;4)(7;5)(7;6)(9;4)(9;5)(9;6)(9;7)}; Рис. 8

б) на графах (рис.8)

2. Чаще отношение R на множестве Х задают, указав характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в отношении R:

а) словесное: «больше», «кратно», «меньше в 2 раза», «- простое число» и т. д.

б) неравенством: или равенством: .

Вопросы и задания по теме:

1.  Перечислите способы задания отношений. Приведите примеры.

2.  Задайте разными способами отношение «быть меньше» на множестве Х={1, 3, 5, 7}.

3.  Свойства отношений

Было установлено, что в математике изучают разнообразные отношения между двумя объектами. Каждое из них рассматривается на некотором множестве Х и представляет собой множество пар. Рис.9

Рассмотрим на множестве отрезков, представленных на рисунке 9 , отношения параллельности, перпендикулярности, равенства, «длиннее». Построим графы этих отношений (рис. 10). Сравним полученные графы, чем объясняется сходство некоторых из них?

Графы отношений:

параллельности равенства перпендикулярности «длиннее»

Рис. 10

1. Рассмотрим графы отношений параллельности и равенства. Они имеют петли, которые говорят о том, что, какой бы отрезок из множества Х мы ни взяли, о нем можно сказать, что он параллелен самому себе или что он равен самому себе.

Про отношения параллельности и равенства говорят, что они обладают свойством рефлективности или просто, что они рефлексивны.

Определение. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о любом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.

рефлексивно на для любого

Таким образом, если отношение рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля.

2. Рассмотрим теперь графы отношений параллельности, перпендикулярности и равенства отрезков. Их особенность в том, что если одна стрелка, соединяющая пару элементов, то обязательно есть и другая, соединяющая те же элементы, но идущая в противоположном направлении. Эти стрелки говорят о том, что:

  а).  если первый отрезок параллелен второму отрезку, то и второй отрезок параллелен первому;

  б).  если первый отрезок перпендикулярен второму отрезку, то и второй отрезок перпендикулярен первому;

  в).  если первый отрезок равен второму, то и второй отрезок равен первому.

Про отношения параллельности, перпендикулярности и равенства говорят, что они обладают свойством симметричности или, просто, симметричны.

Определение. Отношение R на множестве Х называется симметричным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х.

симметрично на .

Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содержит и стрелку, идущую от у к х.

Существуют отношения, которые свойством симметричности не обладает. Таким, например, является отношение «длиннее» для отрезков.

3. Рассмотрим граф отношения «длиннее». Его особенностью является, то, что если стрелка соединяет две вершины, то она только одна. Про отношение «длиннее» говорят, что оно обладает свойством антисимметричности или, просто, антисимметрично.

Определение. Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества Х из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R с элементом х не находится.

антисимметрично на и .

Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна.

4. Не следует думать, что все отношения делятся на симметричные и антисимметричные. Встречаются отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности. Обратим внимание еще на одну особенность графов отношений параллельности, равенства и «длиннее» (эта особенность не сразу заметна): если стрелка идет от первого элемента ко второму и от второго – к третьему, то обязательно есть стрелка, идущая от первого элемента к третьему. Эта особенность графов отражает свойство данных отношений, называемое свойством транзитивности.

Определение. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z.

транзитивно на и .

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к у и от у к z, содержит и стрелку, идущую от х к z.

Вопросы и задания по теме:

1.  Сформулируйте свойство рефлективности. Приведите пример отношений, обладающих свойством рефлективности.

Рис.11

Рис.12

Рис.13

Рис.14

2.  На рисунке11 изображены графы трех отношений. Какие из этих отношений рефлексивны?

3.  Сформулируйте свойство симметричности. Приведите пример отношений, обладающих свойством симметричности.

4.  На рисунке12 изображены графы трех отношений. Какие из этих отношений симметричны?

5.  Сформулируйте свойство антисимметричности. Приведите пример отношений, обладающих свойством антисимметричности.

6.  На рисунке 13 изображены графы четырех отношений. Какие из этих отношений антисимметричны?

7.  Сформулируйте свойство транзитивности. Приведите пример отношений, обладающих свойством транзитивности.

8.  На рисунке 14 изображены графы четырех отношений. Какие из этих отношений транзитивны?

9. 

Установите, какими свойствами обладают отношения, графы которых представлены на рисунке15.

Рис.15 а) Рис. 15 б) Рис. 15 в)

10.  Обладает ли отношение Р на множестве {0;1;2;3;4} свойством транзитивности, если Р={(0;1),(1;2),(2;3),(3;4)}?

Отношение эквивалентности

Рассмотрим на множестве дробей , отношение: «равенства».

Построим граф этого отношения (рис.16 ) и определим его свойства. Это отношение:

- рефлексивно, т. к. всякая дробь равна сама себе; Рис. 16

- симметрично, т. к. из того, что дробь х равна дроби y, следует, что дробь y равна дроби x;

- транзитивно, т. к. из того, что дробь x равна дроби y и дробь y равна дроби z, следует, что дробь x равна дроби z.

Таким образом, отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно. Говорят, что такое отношение является отношением эквивалентности.

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Почему в математике выделили этот вид отношений? Посмотрим на граф отношения равенства дробей. Видим, что множество, на котором задано отношение, разбивается на несколько подмножеств. Так, на графе отношения равенства дробей выделяются три подмножества: , , . Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х, т. е. имеем разбиение множества Х на попарно непересекающиеся подмножества. Это не случайно.

Теорема. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, оно разбивает это множество на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве Х, определило разбиение этого множества на классы, то это отношение есть отношением эквивалентности.

Отношение порядка

Слово «порядок» мы употребляем часто как в обыденной жизни, так и на занятиях по математике. Мы говорим о порядке поступления в учебное заведение, о порядке слов в предложении; на уроках математике обсуждаем порядок выполнения действий, порядок записи решения уравнения, задачи и т. д.

Что же такое порядок? Рассмотрим несколько примеров:

1)  Чтобы установить порядок в множестве учащихся класса, достаточно выстроить их по росту. Таким образом, на данном множестве задается отношение «быть выше». Это отношение антисимметрично и транзитивно.

2)  Множество класса можно упорядочить и по возрасту, т. е. задав отношение «быть старше». Заметим, что это отношение также антисимметрично и транзитивно.

3)  Всем известен порядок следования букв в русском алфавите. Его обеспечивает отношение «следует за», обладающее свойствами антисимметричности и транзитивности.

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично.

Определение. Множество Х с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.

Множество Х={2, 8, 12, 32} можно упорядочить при помощи отношения «меньше» рис. 17а), а можно это сделать при помощи отношения «кратности» рис.17б). но, являясь отношениями порядка, отношения «меньше» и «кратно» упорядочивает множество натуральных чисел по-разному.

Рис. 17а) Рис.17б)

Не следует думать, что все отношения делятся на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное число отношений, не являющихся ни отношением порядка, ни отношением эквивалентности.

Уже в дошкольном возрасте дети знакомятся с отношениями «больше» и «меньше» для натуральных чисел. Затем появляются отношения «длиннее» и «короче» для отрезков и т. д. При помощи этих отношений устанавливается порядок в множестве чисел и в множестве отрезков.