Вычисление производных

4.1. Вычисление производных.

Постановка задачи: дана непрерывная или дискретная функция и требуется вычислить производную  в произвольной точке . Далее для значения производной будем использовать штрих < ' >.

В обоих случаях для вычисления производной применяют интерполяцию полиномами или сплайнами. Если исходные точки дискретной функции имеют погрешность, то вместо интерполяции нужно использовать аппроксимацию. В этом же случае можно применять и интерполяцию, но ей должно предшествовать сглаживание.

Наиболее широкое применение имеют формулы численного дифференцирования, полученные с применением локальной интерполяции полиномом. Полином степени строится для текущей точки и учитывает несколько соседних точек непрерывной или дискретной функции.

Пусть имеем постоянный шаг дискретизации функции вблизи точки дифференцирования и значения функции , , в точках , , соответственно. Для этих трех точек можно выполнить линейную и параболическую интерполяцию известными методами:

, ,

.

Дифференцируя эти две прямых или параболу в точке , получаем три известных формулы для вычисления :

	(4.1)
	(4.2)
	(4.3)

Формула (4.1) называется левой, т. к. использует соседнюю точку слева, формула (4.2) называется правой, формула (4.3) - симметричной, т. к. парабола учитывает левую и правую соседние точки.

Эти же формулы можно получить через конечные разности и , которые используются в строгом определении производной как . Очевидно, что в формулах (4.1-4.3) используются конечные разности  и , а опущен. Отметим, что (4.3) можно рассматривать как среднее значение для двух первых формул, т. е. она точнее.

Дифференцируя ту же параболу, что и при выводе (4.3), нетрудно получить известную формулу для второй производной в точке :

(4.4)

Эта же формула получится, если использовать при выводе разность левой и правой производных первого порядка.

Формулы (4.1-4.4) получены с применением линейной или параболической интерполяции. Но можно применить полиномы более высоких степеней, которые учитывают больше соседних точек, а также кубический сплайн. В случае сплайна производные вычисляются через коэффициенты (2.2) для заданных точек или дифференцированием (2.1) для точек между узлами интерполяции, но это требует значительного количества операций по сравнению с простыми формулами (4.1-4.4).

При вычислениях по (4.1-4.4) нужно знать, как выбирать шаг дискретизации h для непрерывной или дискретной функции. Если на отрезке интерполяции исходная функция и полученная в результате интерполяции не совпадают, то производные будут иметь погрешность. Очевидно, что эта погрешность возрастает при увеличении шага дискретизации.

4.2. Погрешности численного дифференцирования.

При численном дифференцирования возникают следующие погрешности:

1) погрешность метода, 

2) погрешности исходных данных, 

3) погрешности округления при вычислениях на компьютере. 

Основными являются первые две, т. к. последняя проявляется только при очень малых шагах, редко используемых в практических задачах. Оценим все три погрешности.

4.2.1. Погрешность метода.

Погрешность метода получим из ряда Тейлора для непрерывной функции , дискретизация которой дает массив значений , где - номера точек дискретизации, - шаг дискретизации,

(4.5)

В качестве примера рассмотрим (4.2), т. е. , но аналогичным образом можно оценить погрешность любой формулы численного дифференцирования. Подставим (4.5) в (4.2) с учетом равенств ,  и получим:

(4.6)

Следовательно, значение , полученное при численном дифференцировании по (4.2) отличается от точного значения и погрешность может быть оценена величиной второго слагаемого в (4.6), т. к. при малых шагах влиянием остальных слагаемых можно пренебречь. Получаем, что погрешность формулы (4.2) составляет:

(4.7)

Можно показать, что при использовании полинома степени при выводе формулы численного дифференцирования получим оценку, аналогичную (4.7), но с производной порядка при вычислении

(4.8)

Из сравнения формулы (4.7), полученной для , и (4.8) следует, что в случае малых шагов при увеличении степени , т. е. усложнении формулы численного дифференцирования, погрешность уменьшается.