Евклидовы пространства

ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

Скалярное произведение векторов, его свойства. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств

Пусть L линейное пространство над полем Р. В L определены две алгебраические операции: сложение векторов и умножение векторов на элементы поля Р, Введём ещё одну внутреннюю алгебраическую операцию, являющуюся обобщением скалярного произведения геометрических векторов. В основу определения этой операции положим те свойства скалярного произведения геометрических векторов, которые были получены в аналитической геометрии. При этом определения скалярного произведения в случае, когда поле Р является полем действительных чисел, отличается от случая, когда Р = С.

Определение 43

а) Р = R

Будем говорить, что в действительном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов а и в из L поставлено в соответствие число (а, в) Î R, удовлетворяющее следующим требованиям (аксиомам скалярного произведения):

1. (а, в) = (в, а) для любых а и в из L;

2. (а + в, с) = (а, с) + ( в, с) для любых а, в, с из L;

3. (aа, в) = a(а, в) для любых а и в из L и любого a Î R;

4. (а, а) > 0, если а ¹ 0; (а, а) = 0, если а = 0.

б) Р = С

Будем говорить, что в комплексном линейном пространстве L определено скалярное произведение векторов, если каждой упорядоченной паре векторов а и в из L поставлено в соответствие число (а, в) Î С, удовлетворяющее следующим требованиям (аксиомам скалярного произведения):

1. = для любых а и из L;

2. (а + в, с) = (а, с) + ( в, с) для любых а, в, с из L;

3. (aа, в) = a(а, в) для любых а и в из L и любого a Î С;

4. (а, а) Î R и (а, а) > 0, если а ¹ 0; (а, а) = 0, если а = 0.

Скалярное произведение векторов можно обозначать (а, в) или а×в.

Свойства скалярного произведения.

а) Р = R

10. (а, aв) = a(а, в) для любых а и в из L и любого a Î R;

20. (a × а, b × в) = a×b (а, в) для любых а и в из L и любых a , b Î Р;

30. (a × а + b × в, gс) = ag×(а, с) + bg(в, с) для любых а, в и с из L и любых a , b, g Î Р;

40. (а, 0) = 0 для любого вектора а ÎL.

б) Р = С

10. (aа, в) = ×(а, в) для любых а и в из L и любого a Î С;

20. (a × а, b × в) = a× (а, в) для любых а и в из L и любых a , b Î С;

30. (a × а + b × в, gс) = a× (а, с) + b (в, с) для любых а, в и с из L и любых a , b, g Î С;

40. (а, 0) = 0 для любого вектора а Î L.

Определение 44. Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется евклидовым пространством.

Определение 45. Комплексное линейное пространство, в котором определено скалярное произведение векторов, называется унитарным пространством.

Так как и евклидово и унитарное пространства являются линейными пространствами, то для них верно всё то, что было сказано об этих пространствах. Но введение скалярного произведения позволяет ввести в этих пространствах метрику. В частности n-мерное линейное пространство, в котором введено скалярное произведение векторов, называется n-мерным евклидовым (или унитарным) пространством. Евклидово n-мерное пространство будем обозначать Еn (унитарное пространство - Un).

Примеры евклидовых пространств.

1. Пусть L – множество всех непрерывных на промежутке [a, b] действительных функций. Это множество является линейным пространством. Скалярное произведение определим по следующему правилу. Если f и g – две непрерывные на [a, b] функции, то пусть (f, g) = . Из свойств определённого интеграла следует, что все требования определения 43 (а) выполняются. Следовательно, если в пространстве всех непрерывных на промежутке [a, b] действительных функций ввести указанным способом скалярное произведение, то оно становится евклидовым пространством.

2. Пусть М2 – множество квадратных матриц с действительными элементами, это множество является линейным пространством на полем R. Определим скалярное произведение формулой . Легко проверить, что все требования определения 43 (а) выполняются. Множество М2 стало евклидовым пространством.

3. Пусть М2 – множество квадратных матриц с комплексными элементами, это множество является линейным пространством на полем С. Определим скалярное произведение формулой . Легко проверит, что все требования определения 43 (б) выполняются. Получили пример унитарного пространства.

Определение 46. Множество М элементов евклидова пространства Е называется подпространством пространства Е, если оно само является евклидовым пространством относительно того же скалярного произведения, что и Е. Аналогично определяется подпространство унитарного пространства.

Матрица Грама в евклидовом пространстве

Пусть Еnn-мерное евклидово пространство и пусть е = (е1, е2, ... , еn ) – базис в нём. Так как в Еn для любой упорядоченной пары векторов определено их скалярное произведение, то определены скалярные произведения всех пар базисных векторов. Составим из них матрицу

Г = (41)

Матрица Г называется матрицей Грама скалярного произведения для базиса е.

Используя матрицу Грама, можно получить формулу для вычисления

скалярного произведения векторов, заданных координатами.

Пусть в базисе е заданы векторы а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn , в = у1е1+ у2е2 + … + уnеn . Тогда (а, в) = (х1е1 + х2е2 + … + хnеn)×( у1е1+ у2е2 + … + уnеn) = = х Т×Г×у, где х Т– строка координат вектора а, у – столбец координат вектора в . Итак, (а, в) = х Т×Г×у (42).

Свойства матрицы Грама.

10. Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.

Это следует из того, что (ек, еs ) = (еs , ек ).

20. Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.

Это следует из того, что ек ¹ 0 и, следовательно, (ек, ек ) > 0.

30. Для матрицы Грама и любого n-мерного столбца х выполняется условие х Т×Г×х > 0.

Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.

Симметрическую матрицу А, удовлетворяющую условию х Т×А×х > 0 для любого

ненулевого столбца х, называют положительно определённой. Следовательно, матрица

Грама положительно определённая.

40. Пусть е = (е1, е2, ... , еn ) и е1 = (е11, е21, ... , еn1 ) –два базиса в Еn , Г и Г1 – матрицы Грама данного скалярного произведения в базисах е и е1 соответственно. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е1. Тогда (а, в) = х Т×Г×у, х = Т×х1, у = Т×у1, х Т= (Т×х1)Т= (х1)Т× ТТ. Следовательно, (а, в) = ((х1)Т× ТТГ× (Т×у1) = (х1)Т× (ТТ× Г× Т у1. Но (а, в) = (х1)Т× Г1× у1. Отсюда

Г1 = ТТ× Г× Т (43)

Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.

50. Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.

Из формулы (42) следует ú Г1ú =ú ТТú ×úГú ×úТú = úГú ×úТú 2. Так как Тú 2> 0, то ú Г1ú и ú Гú имеют одинаковые знаки.

Примеры.

1. Во множестве М2 квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой . Найти матрицу Грама этого произведения в базисе е1 = , е2 = , е3 = , е4 = .

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (е1, е1) = 1, (е1, е2) = (е2, е1) = 0, (е1, е3) = (е3, е1) = 0, (е1, е4) = (е4, е1) = 0, (е2, е2) = 1, (е2, е3) = (е3, е2) = 0, (е2, е4) = (е4, е2) = 0, (е3, е3) = 1, (е3, е4) = (е4, е3) = 0, (е4, е4) = 1. Следовательно,

Г = .

2. В пространстве R[х] многочленов степени не выше 3-х скалярное произведение задано формулой , где a и b – фиксированные действительные числа, a < b. Составить матрицу Грама в базисе (1, х, х2, х3).

Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (1, 1) = = b – a,

(1, х) = (х, 1) = = ), (1, х2) = (х2, 1) = = ), (1, х3) = (х3, 1) = = ), (х, х) = = ), (х, х2) = (х2, х) = = ), (х, х3) = (х3, х) = = ), (х2, х2) = = ), (х2, х3) = (х3, х2) = = ), (х3, х3) = = ). Матрица Грама будет иметь вид:

Г = .

3. В базисе (е1, е2, е3) пространства Е3 скалярное произведение задано матрицей Грама Г = . Найти скалярное произведение векторов а = (1, –5, 4) и в = (–3, 2, 7).

Решение. Используя формулу (41), получим (а, в) = (1, –5, 4) × × = 7.

Введение метрики в евклидовом пространстве

Пусть Еnn-мерное евклидово пространство. Скалярное произведение вектора самого на себя назовём скалярным квадратом этого вектора, т. е. (а, а) = а2. По 4-ой аксиоме скалярного произведения а2 ³ 0.

Определение 47. Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора. т. е. ú аú = (44)

Свойства длины вектора:

1. Любой вектор а имеет длину и только одну, ú аú ³ 0.

2. ú a×аú = úaú×ú аú для любого а Î Еn .

3. Для любых векторов а и в из Еn верно неравенство ú а×вú £ú аú ×ú вú.

Доказательство. (а –aв)2 = а2 – 2a(а, в) + a2×в2 ³ 0 для любого a Î R. Так как квадратный трёхчлен неотрицателен при любом значении a, то его дискриминант неположителен, т. е. (а, в)2 – ав2 £ 0, или (а, в)2 £ ав2. Отсюда ú а×вú £ú аú ×ú вú (45). Знак равенства в этой формуле будет тогда и только тогда, когда векторы пропорциональны.

Определение 48. Вектор единичной длины называется единичным вектором или ортом.

40. Для любого ненулевого вектора существует пропорциональный с ним орт.

Если а ¹ 0, то ú аú ¹ 0. Следовательно, существует вектор а0 = а. Очевидно, ú а0ú =1.

Определение 49. Углом между ненулевыми векторами а и называется такое действительное число j , что (46).

Угол между векторами а и можно также обозначать .

Свойства углов.

10. Для любых двух ненулевых векторов угол между ними определён.

Из формулы (44) следует, что Следовательно, j существует.

20. Если a ¹ 0, b ¹ 0, то .

Определение 48. Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Ортогональные векторы обозначаются а ^ в.

30. Если а ^ в, a ¹ 0, b ¹ 0, то (aа)^ (bв).

40. Если а ^ в и а ^ с, то а ^ ( в + с).

Определение 50. Множество всех векторов пространства Еn, ортогональных вектору а, к которому добавлен нулевой вектор, называется ортогональным дополнением вектора а.

50. Ортогональное дополнение к вектору а является (n – 1)-мерным евклидовым подпространством в Еn .

Доказательство.

Из свойств 30 и 40 следует, что рассматриваемое множество L является линейным подпространством в Еn . Так как в Еn определено скалярное произведение, то оно определено и в ортогональном дополнении, следовательно, L является евклидовым подпространством. Кроме того, с Î L Û (а, с) = 0 (*). Зафиксируем в Еn базис. Пусть а = (а1, а2, … , аn), с = (х1, х2, … , хn). Тогда с Î L Û а Т×Г×х = 0 (**). Уравнение (**) есть линейное однородное уравнение с n неизвестными. Фундаментальная система его решений состоит из (n – 1) решения. Следовательно, пространство решений уравнения (**) является (n – 1)-мерным.

Пусть Ек – подпространство пространства Еn. Обозначим Е множество, состоящее из нулевого вектора и всех векторов, ортогональных любому ненулевому вектору из Ек .Иными словами с Î Е Û (с, а) = 0 для всех а Î Ек . Пространство Е ортогональным дополнением к пространству Ек .

60. Ортогональное дополнение Е является (n – к)-мерным евклидовым подпространством в пространстве Еn .

Доказательство аналогично доказательству свойства 50.

70. Е Ç Ек = {0}.

80. Любые два ортогональных вектора линейно независимы.

Доказательство. Пусть а ^ в. По определению эти векторы ненулевые. Предположим, что они линейно зависимы, т. е. существует такая ненулевая пара a, b действительных чисел, что a×а + b×в = 0. Если a ¹ 0, то умножим обе части последнего равенства скалярно на вектор а. Получим a×а2 + b×(а, в) = 0. Так как (а, в) = 0 и а2¹ 0 , то a = 0. Противоречие. Следовательно, а и в линейно независимы.

90. Если а1, а2, … , ак и в1, в2, … , вs – две системы линейно независимых векторов и каждый вектор первой системы ортогонален любому вектору второй, то система векторов а1, а2, … , ак и в1, в2, … , вs линейно независима.

Теорема 42. Для любого к (1 £ к £ n ) Еn = Е Å Ек .

Доказательство. Пусть (е1, е2, ... , ек ) – базис в Ек и (ек +1, е к + 2, ... , еn ) – базис в Е. Из свойства 90 следует, что (е1, е2, ... , ек, ек +1, е к + 2, ... , еn ) будет линейно независимой. Так как в ней n векторов, то это базис в Еn . Следовательно, Еn = Е + Ек . Из свойства 70 следует Еn = Е Å Ек .

Пусть Еn = Е Å Ек . Если а – любой вектор из Еn , то а = а1 + а2, где а1 Î Ек , а2 Î Е . Вектор а1 называется проекцией вектора а на подпространство Ек . Вектор а2 называется ортогональной составляющей вектора а.

Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве

Определение 51. Базис е = (е1, е2, ... , еn) пространства Еn называется ортонормированным, если все его векторы единичные и попарно ортогональные.

Замечание. В примере 1 пункта 7.2 заданный базис является ортонормированным. Во втором примере этого пункта базис не ортонормированный.

Если базисные векторы единичные, но не все попарно ортогональны, то базис называется нормированным. Если базисные векторы попарно ортогональны, но не все единичные, то базис называется ортогональным.

Теорема 43. Любой базис евклидова пространства можно ортонормировать.

Доказательство. Пусть е = (е1, е2, ... , еn) – произвольный базис пространства Еn. Доказательство проведём в два этапа. Сначала на основе данного базиса получим ортогональный базис, а затем полученный базис нормируем.

Пусть е11 = е1. Если е2 ^ е1, то возьмём е21 = е2. Найдём коэффициент a так, чтобы вектор е21 = aе1 + е2 был ортогонален вектору е11. Так как вектор е21 ¹ 0, то для этого необходимо и достаточно, чтобы (е11, е21 ) = 0, т. е. (е1, aе1 + е2) = 0. Отсюда aе12 + (е1, е2) = 0. Так как е1 ¹ 0. то Так как е11 и е21 ортогональны, то они линейно независимы. Вектор е31 будем искать в виде е31 = a1 е11 + a2 е21 + е3. Для того, чтобы е31 был ортогонален е11 и е21, необходимо и достаточно, чтобы (е11, е31) = (е21, е31) = 0. Получаем систему

Так как определитель этой системы отличен от нуля (по формуле 43) то система имеет и только одно решение. Следовательно,

вектор е31 найдётся и только один. Так как векторы е11, е21, е31 попарно ортогональны, то они линейно независимы. Если векторы е11, е21, … , еn–11 уже получены, то вектор еn1 будем искать в виде еn1 = b1×е11+ b2× е21 + … + bn–1× еn–11 + еn . Так как вектор еn1 должен быть ортогонален ко всем предыдущим, то для нахождения коэффициентов b1, b2, … , bn–1 получим систему уравнений (е11, еn1) = (е21, еn1) = … = (еn–11, еn1) = 0. Можно показать, что эта система всегда имеет решение и только одно. Итак, базис е1 = (е11, е21, ... , еn1) –ортогональный. Разделив каждый полученный вектор на его длину, получим ортонормированный базис.

Теорема 44. Скалярное произведение в ортонормированном базисе имеет единичную матрицу Грама.

Доказательство следует из того, что в ортонормированном базисе (ек, ек) =1, (ек, еs )= 0, если к ¹ s.

Следствие. Если вектор а в ортонормированном базисе имеет координаты (х1, х2,…, хn), то ½а½= (47).

Теорема 45. Определитель матрицы Грама и все её главные угловые миноры строго положительны.

Доказательство. Пусть в данном (но произвольном) базисе матрица Грама имеет вид

Г = .

Пусть е = (е1, е2, ... , еn) ортонормированный базис и Т – матрица перехода от данного базиса к базису е. В базисе е матрица Грама – единичная. По формуле (41) Е = ТТ×Г×Т. Отсюда 1 = |Г |×|Т |2. Так

как |Т |2 > 0, то |Г | > 0. Так как < е1, е2, ... , ек> – евклидово подпространство пространства Еn с тем

же скалярным произведением, то главный угловой минор матрицы Г будет для него матрицей Грама. Но тогда, по доказанному, этот минор положителен.

Примеры. Могут ли быть матрицами Грама следующие матрицы.

1. А =

Матрица А не может быть матрицей Грама, так как в матрице Грама все диагональные элементы должны быть положительными.

2. В =

Матрица В не может быть матрицей Грама, так как матрица Грама должна быть симметрична относительно главной диагонали.

3. С =

Матрица С не может быть матрицей Грама, так как |С | = –81 < 0, а определитель матрицы Грама должен быть положителен.

4. D =

Матрица D – симметрическая, диагональные элементы положительны, |D| = 5 > 0, = 7 > 0. Следовательно, D является матрицей Грама.

Теорема 46. Если в ортонормированном базисе а = (х1, х2, … , хn) и в = (у1, у2, … , уn ), то (а, в) = х1у1 + х2у2 + … + хnуn (48).

Доказательство. В ортонормированном базисе скалярное произведение имеет единичную матрицу, поэтому

(а, в) = хТ×Е×у = хТ×у = (х1, х2, … , хn) × = х1у1 + х2у2 + … + хnуn.

Пример. В пространстве Е4 задан ортонормированный базис и векторы а1= (2, 1, 1, 2) и а2 = (–3, 2, –5, 1). Найти ортогональное дополнение к линейной оболочке L = <а1, а2 >.

Решение. Если L^, то в Î L^ Û (а1, в) = (а2, в) = 0. Пусть в = (х1, х2, х3, х4). Так как базис ортонормированный, то (а1, в) = 2х1 + х2 + х3 + 2х4 , (а2, в) = –3х1 + 2х2 –5х3 + х4 . Следовательно, в Î L^ Û Решая эту систему, получим, что

в = (–С1 3С2 , С1 – 8С2 , С1 , 7С2), где С1 , С2 – любые действительные числа.

Отсюда следует, что L^ - двумерное линейное пространство, натянутое на векторы

в1 = (–1, 1, 1, 0), в2 = (–3, –8, 0, 7), т. е. L^ = <в1, в2 >.

Изоморфизм евклидовых пространств

Определение 52. Два евклидовых пространства Е и Е1 называются изоморфными, если они изоморфны как линейные пространства и для любых двух пар соответствующих векторов а, а1 и в, в1 выполняется равенство (а, в) = (а1, в1).

Теорема 47. Два конечномерных евклидова пространства Е и Е1 изоморфны тогда и только тогда, когда dim E = dim E 1.

Доказательство. Þ Пусть Е и Е1 изоморфны. Тогда они изоморфны и как линейные пространства. Из свойств изоморфизма линейных пространств следует, что dim E = dim E 1.

Ü Пусть dim E = dim E 1 = n. Выберем в пространствах Е и Е1 ортонормированные базисы е = (е1, е2, ... , еn) и е1 = (е11, е21, ... , еn1) соответственно. Зададим отображение j: Е ® Е1 по следующему правилу. Если а Î Е и а = х1е1 + х2е2 + … + хnеn, то пусть j(а) = х1е11 + х2е21 + … + хnеn1. Это отображение является, очевидно, изоморфизмом между линейными пространствами Е и Е1. Покажем, что при этом отображении сохраняется скалярное произведение векторов. Пусть в Î Е и в = у1е1+ у2е2 + … + уnеn . Тогда j (в) =у1е11+ у2е21 + … + уnеn1. Так как базис е ортонормированный, то (а, в)= х1у1 + х2у2 +…+ хnуn. Так как базис е1 ортонормированный, то (j(а), j(в)) = х1у1 + х2у2 + … + хnуn. Следовательно, (а, в) = (j(а), j(в)). Итак, j - изоморфизм между Е и Е1.

Следствие. Если на конечномерном линейном пространстве различными способами задавать скалярные произведения, то все получающиеся при этом евклидовы пространства будут изоморфными.



Подпишитесь на рассылку:

Проекты по теме:

Основные порталы, построенные редакторами

Домашний очаг

ДомДачаСадоводствоДетиАктивность ребенкаИгрыКрасотаЖенщины(Беременность)СемьяХобби
Здоровье: • АнатомияБолезниВредные привычкиДиагностикаНародная медицинаПервая помощьПитаниеФармацевтика
История: СССРИстория РоссииРоссийская Империя
Окружающий мир: Животный мирДомашние животныеНасекомыеРастенияПриродаКатаклизмыКосмосКлиматСтихийные бедствия

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организации
МуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммы
Отчеты: • по упоминаниямДокументная базаЦенные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминологияФинансоваяЭкономическая
Время: • Даты2015 год2016 год
Документы в финансовой сферев инвестиционнойФинансовые документы - программы

Техника

АвиацияАвтоВычислительная техникаОборудование(Электрооборудование)РадиоТехнологии(Аудио-видео)(Компьютеры)

Общество

БезопасностьГражданские права и свободыИскусство(Музыка)Культура(Этика)Мировые именаПолитика(Геополитика)(Идеологические конфликты)ВластьЗаговоры и переворотыГражданская позицияМиграцияРелигии и верования(Конфессии)ХристианствоМифологияРазвлеченияМасс МедиаСпорт (Боевые искусства)ТранспортТуризм
Войны и конфликты: АрмияВоенная техникаЗвания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работыНаучно-технический прогрессПедагогикаРабочие программыФакультетыМетодические рекомендацииШколаПрофессиональное образованиеМотивация учащихся
Предметы: БиологияГеографияГеологияИсторияЛитератураЛитературные жанрыЛитературные героиМатематикаМедицинаМузыкаПравоЖилищное правоЗемельное правоУголовное правоКодексыПсихология (Логика) • Русский языкСоциологияФизикаФилологияФилософияХимияЮриспруденция

Мир

Регионы: АзияАмерикаАфрикаЕвропаПрибалтикаЕвропейская политикаОкеанияГорода мира
Россия: • МоскваКавказ
Регионы РоссииПрограммы регионовЭкономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумаги: • УправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги - контрольЦенные бумаги - оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудит
Промышленность: • МеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетика
СтроительствоАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Каталог авторов (частные аккаунты)

Авто

АвтосервисАвтозапчастиТовары для автоАвтотехцентрыАвтоаксессуарыавтозапчасти для иномарокКузовной ремонтАвторемонт и техобслуживаниеРемонт ходовой части автомобиляАвтохимиямаслатехцентрыРемонт бензиновых двигателейремонт автоэлектрикиремонт АКППШиномонтаж

Бизнес

Автоматизация бизнес-процессовИнтернет-магазиныСтроительствоТелефонная связьОптовые компании

Досуг

ДосугРазвлеченияТворчествоОбщественное питаниеРестораныБарыКафеКофейниНочные клубыЛитература

Технологии

Автоматизация производственных процессовИнтернетИнтернет-провайдерыСвязьИнформационные технологииIT-компанииWEB-студииПродвижение web-сайтовПродажа программного обеспеченияКоммутационное оборудованиеIP-телефония

Инфраструктура

ГородВластьАдминистрации районовСудыКоммунальные услугиПодростковые клубыОбщественные организацииГородские информационные сайты

Наука

ПедагогикаОбразованиеШколыОбучениеУчителя

Товары

Торговые компанииТоргово-сервисные компанииМобильные телефоныАксессуары к мобильным телефонамНавигационное оборудование

Услуги

Бытовые услугиТелекоммуникационные компанииДоставка готовых блюдОрганизация и проведение праздниковРемонт мобильных устройствАтелье швейныеХимчистки одеждыСервисные центрыФотоуслугиПраздничные агентства

Блокирование содержания является нарушением Правил пользования сайтом. Администрация сайта оставляет за собой право отклонять в доступе к содержанию в случае выявления блокировок.