5 класс

5 класс.

Линия – анализ данных, в учебнике «Математика» под редакцией объединяет в себе три направления: элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятности. Изучение этого материала направлено на формирование у школьников общей вероятностной интуиции и конкретных способов оценки данных. Основная задача в этом звене – формирование соответствующего словаря, обучение простейшим приемам сбора, представления и анализа информации, обучению решению комбинаторных задач перебором возможных вариантов, создание элементарных представлений о частоте и вероятности случайных событий.

Тема «Перебор возможных вариантов» включена в главу «Натуральные числа». На ее изучение отводится 4 часа. Тема: «Случайные события» включена в главу « Дроби» и на ее изучение отводится 2 часа. Темы: «Чтение и составление таблиц», «Чтение и построение диаграмм», «Опрос общественного мнения» объединены в главу «Таблицы и диаграммы». На их изучение отводится 3, 2 и 3 часа, соответственно (всего – 8 часов).

Перебор возможных вариантов

Цель: сформулировать первоначальные навыки комбинаторных задач с помощью перебора возможных вариантов.

Рассматриваются комбинаторные задачи на размещения, сочетания, перестановки с повторениями и без повторения элементов. Для решения используют метод непосредственного перебора возможных вариантов (комбинаций). Этот метод целесообразен в тех случаях, когда число вариантов невелико.

Решить комбинаторную задачу – это, значит, выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и т. д., отвечающих условию задачи.

При решении каждой задачи ставиться один и тот же вопрос: как организовать перебор вариантов, чтобы не пропустить ни один из них и избежать повтора?

Один способов перебора вариантов – это построения дерева возможных вариантов. Учащиеся могут сами выбирать способ решения.

Решение комбинаторных задач считается правильным и полным, если учащийся предъявил все возможные варианты, каким бы способом решения он не воспользовался.

Пример №1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение: Способ перебора – выпишем числа в порядке возрастания. Такой способ позволит не пропустить никакое из чисел и в то же время не повторить ни одно из них.

11, 14, 17,

41,44,47,

71,74,77.

Из данных трех цифр можно составить 9 чисел.

Ответ: 9 чисел.

Пример №2. в алфавите племени УАУА имеются только две буквы – «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы можно составить, используя алфавит этого племени?

Решение: Способ перебора – выпишем слова в алфавитном порядке.

Ааа, аау, ауа, ауу,

Ууу, ууа, уау, уаа.

Получили 8 слов.

Ответ: 8 слов.

Эту же задачу можно решить другим способом – построения дерева возможных вариантов. Эту схему так называют, потому что она похожа на дерево, только расположенное вверх ногами и без ствола. Корень дерева обозначают «*»

 

Пример № 3. На прямой отметили четыре точки: A, B, C, D. Сколько получилось отрезков?

Решение: Любые две точки являются концами отрезка.

 

Надо обратить внимание, что у дерева построены только те ветви, которые дают новые отрезки.

Задачи

№ 1. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую цифру только один раз?

Ответ: 16 чисел, 12 чисел.

№ 2. В четверг в первом классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

Указание: Перебирая варианты введите обозначения: Р – русский язык, М – математика, Ф – физкультура.

Ответ: 6 вариантов.

№ 3. Саша выбрал в библиотеке 5 книг, но одновременно можно взять только две книги. Сколько вариантов выбора двух книг есть у Саши?

Ответ: 10 вариантов.

№ 4. Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Сколькими различными способами могут ребята осуществить свое путешествие, если из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе ли поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву – на самолете, теплоходе, поезде или автобусе? Решите задачу с помощью построения дерева.

Ответ: 8 способов.

№ 5. Начертите окружность и отметьте на ней три точки. Обведите получившиеся при этом дуги карандашом разных цветов. Сколько карандашей вам понадобилось? Сколько дуг у вас получилось?

Ответ: 6 дуг.

№ 6. Хоккейная комбинация. На поле пять игроков. Начал комбинацию игрок №1, продолжил игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе один раз. Изобразите в тетради все возможные варианты передачи шайбы между игроками в данной комбинации.

Ответ: 6 вариантов.

№ 7. Девять школьников, сдавая экзамены по математике и английскому языку, получили отметки «4» и «5». Можно ли утверждать, что по крайней мере двое из них получили по каждому предмету одинаковые отметки?

Ответ: Можно.

№8. Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра больше второй?

Ответ: 45 чисел.

Таблицы и диаграммы.

Чтение и составление таблиц.

Цель: Формирование умений извлекать необходимую информацию из несложных таблиц. Научить анализировать табличную информацию и делать на этой основе соответствующие выводы.

Учащиеся знакомятся с приемами составления таблиц и условными обозначениями, которые принято использовать при их построении.

Информация может быть представлена в самых разных формах. Одним из способов представления информации являются таблицы: расписание уроков, таблица умножения, страница школьного дневника, таблица первенства по футболу, таблица шахматного турнира, календарь, программа передач телевидения, расписание движения автобусов и поездов и т. д.

Пример №1

№ п/п	Список учащихся	Октябрь
13	14	15	16	17	20	21	22	23	24
1	Аржанов Иван	4	4						5		5
2	Баталин Олег		3	2			5		4
3	Бибичев Андрей	5	4		4				4
4	Дунаева Ольга		4	4		4			4
5	Захарова Елена		3		4	н	н		2		3
6	Зимин Дмитрий	4	4		3				4
7	Иванов Денис		5	5					5

Таблица состоит из столбцов и строк. Первый столбец (колонка) – номера ребят по списку, второй столбец – список фамилий, записанных по алфавиту. Дальше идут столбцы оценок, полученных учениками в определенный день. Например, 14 и 22 октября (контрольные работы) оценки стоят у всех.

Чаще ученика интересует только одна строка, та в которой стоят его оценки.

Используя Эту таблицу можно ответить на следующие вопросы:

1)  Сколько оценок получил каждый ученик?

2)  У кого из учеников самое большое количество «пятерок»?

3)  Кто закончит четверть ударником?

4)  У кого трудно определить оценку за четверть?

Для анализа информации в таблице нередко нужно просуммировать содержащиеся в ней данные. В таких случаях в таблицу включается специальный столбец или строка под названием «Всего» («Итого») в который записывают полученные суммы.

Пример №2.

Коммунальные услуги	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май	Июнь
Квартплата	160	256	261	303	314	324
Газ	36	36	40	32	29	29
Свет	6	15	15	15	15	15
Телефон	86	86	86	106	106	106
Всего	288	393	402	456	464	474

В таблице приведены расходы семьи за различные коммунальные услуги за несколько месяцев. Эти данные просуммированы по каждому столбцу, и полученные суммы записаны в последней строке таблице. Они показывают, сколько рублей заплатила семья за все коммунальные услуги в каждом месяце.

Примеры таблиц

Частотная таблица – это таблица, в которой значения величины записаны в виде интервала. Такие таблицы позволяют экономно представить информацию, когда рассматриваемая величина имеет много значений.

Пример № 3. В школе проводилась олимпиада по математике. При правильном решении всех задач можно было получить 40 баллов. Работы оценивались по следующим правилам:

от 1 до 10 баллов – слабо;

от 11 до 20 баллов – удовлетворительно;

от 21 до 30 баллов – хорошо;

от 31 до 40 баллов – отлично.

Было решено за отличные результаты давать приз, а за хорошие – грамоту.

Итоги результатов представили в виде таблицы:

Число баллов	Подсчеты	Число учащихся
1 – 10 11 – 20 21 – 30 31 - 40	/// //// // //// / ////	3 7 6 4
	Всего	20

/ - 1 человек; //// - 5 человек.

Используя эту таблицу можно ответить на следующие вопросы:

1)  Сколько участников показали низкие результаты?

2)  Сколько участников показали отличные результаты?

3)  Сколько участников получат грамоты?

4)  Сколько участников получат приз?

5)  Сколько человек принимали участие в олимпиаде?

Турнирная таблица – это таблицы, в которые записывают ход соревнований и его окончательные результаты.

Пример №4.

Таблица итоговых результатов шахматного турнира.

Участникам турнира присвоены номера: Виноградов - №1; Галкин - №2 и т. д. В клетках таблицы на пересечении строк и столбцов помещены результаты партий шахматистов. Используются следующие обозначения: 1 – победа; 0 – проигрыш; - ничья.

Результат каждой игры записывается в двух клетках таблицы. Например, Виноградов проиграл №2 в клетке на пересечении строки «1» и столбца «2» стоит 0, а Галкин выиграл у №1, т. к. на пересечении строки «2» и столбца «1» стоит 1.

Шахматисты не могут играть сами с собой, по этому клетки на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами закрашены.

Пиктограмма – это таблицы, в которых для обозначения численности предметов используются различные картинки. Эти картинки могут быть связаны по смыслу с изображаемой ими информацией.

Учащимся можно предложить найти таблицы в учебниках, газетах, журналах. Составить список вопросов, на которые можно ответить, используя эту таблицу.

Чтение и построение диаграмм.

Цель: Формирование умений извлекать необходимую информацию из столбчатых диаграмм, представление информации в форме столбчатой диаграммы. Научить анализировать информацию представленную в виде диаграмм и делать соответствующие выводы.

Диаграмма является компактной и наглядной формой представления количественной информации. Особенно удобно ее использовать в тех случаях, когда ставиться цель сравнить между собой данные, характеризующие некоторое явление или процесс.

Виды диаграмм: столбчатая и круговая. А также разновидность столбчатых – линейные диаграммы.

Пример № 1. Пятиклассники выясняли, какая погода преобладала в начале октября. Они получили следующие результаты:

Наблюдаемая погода	Количество дней
Ясно	2
Облачно	4
Шел дождь	8

Ребята изобразили полученные данные в виде столбчатой диаграммы. Для этого они начертили прямой угол. На горизонтальной стороне указали погоду, а на вертикальной стороне, выбрав единицу измерения, отметили число дней и построили три столбика. На диаграмме

хорошо видно, что погода в начале октября была в основном дождливой или облачной.

При построении столбчатых диаграмм можно выбрать любую ширину столбиков и любое расстояние между столбиками. Однако все столбики должны быть одинаковой ширины и расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.

Изобразив вместо столбиков линии той же высоты, получим линейную диаграмму.

Учащимся можно предложить найти различные виды диаграмм в учебниках, газетах, журналах и составить список вопрос, на которые можно ответить, используя эту диаграмму. Так же можно использовать программу Microsoft Word, в которой представлены различные виды диаграмм.

Опрос общественного мнения

Цель: Сформировать первоначальные представления о приемах сбора необходимых данных.

Для того чтобы узнать мнения людей по различным вопросам проводят специальные опросы населения, или опросы общественного мнения. Полученную при этом информацию представляют в виде таблиц и диаграмм.

Пример № 1. Для праздничного вечера решили купить что–ни будь вкусное. Однако оказалось, что единого мнения нет. Провели опрос общественного мнения, предложив всем гостям ответить на вопрос: «Что ты любишь больше всего: пирожные, конфеты, пряники или печенье?» Каждый выбирал что-то одно из предложенного списка. Результаты внесли в таблицу.

Любимые	Подсчеты	Число гостей
Конфеты	//// //// //// ////	19
Пирожные	//// ////	10
Пряники		0
Печенье	/	1

Эти данные можно представить в виде диаграммы.

По данным таблицы и диаграммы можно определить, что к чаю лучше купить конфеты и пирожные.

Учащимся можно предложить темы для исследовательской групповой работы. В ходе которой будет проведен опрос общественного мнения, составлена таблица и построена диаграмма по полученным результата опроса. По итогам работы учащиеся должны сделать определенные выводы.

Темы работ:

1)  Куда бы ты хотел пойти в выходной день?

2)  Сколько часов ты проводишь каждый день у телевизора?

3)  Какой цвет тебе нравиться?

4)  Какой зимний вид спорта ты предпочитаешь?

5)  Как ты любишь отдыхать (спортзал, книга, телевизор, двор)?

Случайные события.

Цель: сформулировать на интуитивном уровне начальные вероятностные представления.

Учащиеся учатся оценивать вероятность наступления несложного случайного события, используя свой жизненный опыт и опираясь на здравый смысл. Эта оценка проводится только на качественном уровне, количественный подсчет вероятностей в цели изучения в 5 классе не входит.

Случайным называется событие, которое в одних и тех же условиях может произойти, а может и не произойти.

Равновозможными или равновероятными событиями называют события возможности наступления, которых одинаковы.

Маловероятные (более вероятные) события – события возможность наступления, которых мала (велика).

Достоверные события – события, которые в обычных условиях происходят всегда, обязательно.

Невозможные события – события, которые в данных условиях никогда не происходят.

Достоверные и невозможные события встречаются в жизни сравнительно редко, можно сказать, что мы живем в мире случайных событий.

Возможность наступления случайного события зависит от условий. В которых оно рассматривается.

Умение оценивать вероятность наступления события очень полезно при принятии обоснованного решения, на пример стоит участвовать в лотерее или игре.

Пример №1. Наташа предложила Даниле сыграть в следующую игру. Каждый из них по очереди бросает игральный кубик, на двух гранях которого написано число 1, на двух гранях – 2, и на двух гранях – 3. Если выпадет нечетное число, то одно очко получает Наташа, а если четное число, то одно очко получает Данила. Первый, кто наберет 30 очков считается победителем. Можно ли считать эту игру справедливой? Равны ли шансы на выигрыш у участников.

Решение: При бросании кубика чаще будет выпадать нечетное число, так как на четырех гранях написаны нечетные числа и только на двух четное число. Значит У Наташи больше шансов выиграть, чем у Данилы. Такая игра несправедлива.

Задачи.

№1. Оцените возможность наступления событий, используя для этого слова: «достоверное событие», «случайное событие», «невозможное событие», а также «очень вероятное событие» и «маловероятное событие».

A: «завтра будет хорошая погода».

B: «вас пригласят в гости».

C: «в январе в городе пойдет снег».

D: «в 12 часов в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце».

E: «на день рождения вам подарят говорящего крокодила».

F: «вам подарят живого крокодила».

G: «вы получите «5» за контрольную работу по математике».

H: «круглая отличница получит двойку».

I: «сорванный цветок погибнет»

J: «вас пригласят сниматься в кино».

K: «камень, брошенный в воду утонет».

L: «вы выиграете в лотерею миллион».

M: «вы выходите на улицу, а навстречу идет слон».

N: «вы купили мороженое и выбросили его».

O: «следующий год будет високосным».

P: «вас пригласят лететь на Луну».

Q: «Новая электролампочка не загорится ».

R: «выпадет желтый снег».

S: «вас изберут президентом США».

T: «вас изберут президентом России».

№2. Три господина, придя в ресторан, сдали в гардероб свои шляпы. Расходились по домам они последними, и притом в полной темноте, поэтому разобрали свои шляпы наугад. Какие из следующих событий случайные, невозможные, достоверные?

A: «каждый надел свою шляпу».

B: «все надели чужие шляпы».

C: «двое надели чужие шляпы, а один - свою».

D: «двое надели свои шляпы, а один - чужую».