Случайные величины и их распределения

ЧАСТЬ 2

Случайные величины и их распределения

Функции распределения и их свойства

Дискретные распределения

Абсолютно непрерывные распределения. Плотности распределений

Случайные векторы. Многомерные функции распределения

Независимость случайных величин

Формула свертки ( для функций распределения и плотностей)

Случайные величины и их распределения

Пусть дано (Á,-вероятностное пространство.

Рассмотрим =: Â.

Def

Случайная величина- измеримое отображение в Â.

Рассмотрим вещественную ось Â. Можно рассмотреть борелевскую алгебру B.

, B

Случайная величина измерима, т. е. B1 Á.

Для B можно определить .

Каждому B1 случайная величина сопоставляет вероятность.

-распределение случайной величины .

Пример:

Пусть принимает два значения , при чем , если , и, если .

Если ;

Если или совпадает соответственно с и .

Если Ø.

-вероятностная мера, заданная на пространстве (R,B).

Действительно, каждому элементу алгебры B сопоставляется неотрицательное число.

Если R, то .

Проверим счетную аддитивность:

Пусть , где ∩= Ø.

Из определения распределения следует, что и .

Т. е. распределение - нормированная мера.

Замечание: Фиксируем какую-либо вероятностную меру , заданную на борелевских множествах B . Взяв Á=B,R и , можно убедиться, что имеет распределение .Следовательно, всегда можно построить вероятностное пространство и случайную величину, для которых будет служить распределением.

Функции распределения и их свойства.

Определение

Рассмотрим борелевское множество Bx = (-¥, x) и сужение функции на множество вида Вx.

Функция называется функцией распределения.

Обозначение:

Если мы знаем функцию распределения, то можно восстановить распределение случайной величины:

B=[x, y)

и т. д.

Пример

Бросаем монету.

W={г, р}, где г - герб, р - решка.

s-алгебра Á: Æ, W, {г}, {р}

вероятность Р: 0, 1, ,

x(г)=-10

x(р)=10

Посмотрим, как выглядит распределение:

Ø, {г}, {р},

Свойства функции распределения:

0£F(x)£1 F(x) неубывающая функция F(x) непрерывна слева

F(x) имеет не более чем счетное число точек разрыва.

Типы распределения случайных величин.

(Ω,Á,P)-вероятностное пространство.

1.  Дискретные распределения

Случайная величина имеет дискретное распределение, если существует B={x1,x2,…}:.

События Аk несовместны.

x1	x2	x3	…
p1	p2	p3	…

, ВÎB1.

Пусть В=(-∞,x)

1)  Вырожденное распределение.

2) Дискретное равномерное распределение.

x1, x2,…, xn

3) Биномиальное распределение.

~B (n, p)- запомним обозначение!

=0,1,2,…, n 0≤p≤1

4) Геометрическое распределение.

Задача: до первого появления решки подбрасываем (не обязательно) асимметричную монету. P{герб}=р, P{решка}=1-р. Пусть x - число выпавших гербов.

5) Пуассоновское распределение.

~ Π(λ), λ>0 =0,1,2, …

2.  Абсолютно непрерывные распределения

абсолютно непрерывна, если существует p(t)³0:

ВÎB1, .

Тогда для почти всех x, называется плотностью распределения случайной величины .

Если существует функция p(t): , то такая функция является плотностью распределения некоторой случайной величины.

6) Равномерное распределение.

~ U([a, b]), -∞<a<b<+∞

7) Экспоненциальное распределение

~E(λ), λ>0

≥0

-стандартное экспоненциальное распределение.

8) Распределение Коши.

Пусть h~, а x=tgh. Тогда x имеет распределение Коши:

9) Нормальное распределение.

~N(a,σ2), -∞<a<+∞, σ >0

Рассмотрим η~N(0,1)

-плотность распределения стандартного нормального закона.

3.  Сингулярные распределения

	функция распределения	точки роста
дискретные	разрывная	мера 0
абсолютно непрерывные	непрерывная	мера>0
сингулярные	непрерывная	мера 0

Распределение случайных векторов:

Рассмотрим вероятностное пространство (, Á,).

Определим Другими словами,

Имеем отображение:R.

Чтобы назвать данный вектор случайным , необходимо условие измеримости:B можно найти {Á.

Получается, что нет существенной разницы между случайными величинами и случайными векторами. Каждая из компонент будет случайной величиной.

Def

Измеримое отображение из R называется случайным вектором, компонентами которого являются случайные величины.

B можно ввести многомерное распределение.

- распределение случайного вектора.

Перейдем к более простым функциям. Можно в качестве борелевских множеств брать множества вида .

Если взять определенный набор таких , то имеем:

F=F=.

F- функция распределения случайного вектора.

Такую функцию часто называют совместной функцией распределения случайных величин

Рассмотрим F и ее свойства:

1 F ;

2 F, где .

3 F при ;

3 F при ;

4 F непрерывна слева по любому , где .

Известно, что . Имея F( можем

записать аналогичное соотношение:

Пусть n=2; - двухмерная случайная величина. Рассмотрим для нее виды распределений.

=

. Если существует такой набор точек, то тогда вектор имеет дискретное распределение.

Пусть имеем набор точек: ,. и вероятности

имеем дискретное распределение.

Абсолютно непрерывное распределение:

ÎВ. = . (*)

Говорим, что вектор имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует

p(u, v) : выполняется (*).

p(u, v)- совместная плотность распределения случайных величин .

.

Можно переписать определение:

F.

Рассмотрим F;

FF(.

Пусть имеем и F.Как выразить F?

F= F- маргинальное распределение.

Пусть имеется p(u, v) и . Как выглядит и существует ли плотность у случайной величины ?

F(x)= F(-это неотрицательная функция. Следовательно (по определению) .

Формулы свертки.

Пусть независимые случайные величины. Введем =. Пусть известны F,F.Что тогда можно сказать о F?

1)  Пусть π(), ~ π () независимы. Как будет выглядеть распределение случайной величины ?

, n=0,1,…

, m=0,1,…

=0,1,2,…

=

~ π()

Пусть и независимы. Если

x	x
p	p

:

независимы.

y	y
r	r

:

Рассмотрим =.

F= -общая формула свертки для дискретных случайных величин.

Если и независимы, p(x) и g(y)- плотности распределения и соответственно.

Пусть =. Введем - борелевское множество на плоскости.

{.

Рассмотрим событие .

F==.

Таким образом, получаем, что

F. Здесь использовалось то, что и имеют плотности.

- формула свертки.

Пример: Рассмотрим равномерное распределение на отрезке .

Т. е. ~U() и ~U().

Пусть , и независимы, =. Можно утверждать, что

.

При имеем .

Аналогично при имеем .

Т. о., .

.

Независимые случайные величины.

Определение

Случайные величины независимы, если функция распределения случайного вектора :

Если существует плотность, то

Для дискретных величин имеем:

Критерий независимости: , где - произвольные функции.

Определение

Вектора называются независимыми, если

.

Имеем случайные величины . Как проверить какие из них независимы? Посмотрим можно ли представить функцию распределения случайного вектора в виде произведения функций меньшей размерности:

.

Можно сделать вывод: вектора независимы, т. е. любой элемент из первого вектора независим с любым элементом из второго и третьего.

Пусть x и h независимы.

n=f(x), m=g(h) – независимы.

Эквивалентное определение независимости:

x, h-независимы. B, C ÌB1

Этот факт справедлив и для большей размерности.