Модуль: Векторное и смешанное произведение. (М3)

Модуль: Векторное и смешанное произведение. (М3)

Цель: Научиться вычислять векторное, смешанное произведение векторов.

Учебные элементы	Содержание	Учебные действия
УЭ1	Векторное произведение. Три некомпланарных вектора взятые в указанном порядке, образуют правую (левую) тройку векторов, если с конца вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совещающимся против часовой стрелки (по часовой стрелки). Векторным произведением неколлинеарных векторов и называется вектор , определяемый условиями: 1) вектор перпендикулярен векторам и , т. е. , ; 2) длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, т. е. 3) тройка ,, - правая. Векторное произведение обозначается или . Если вектора коллинеарны, то по определению Свойства векторного произведения : 1)  антиперестановочности множителей ; 2)  сочетательности относительно скалярного множителя ; 3)  распределительности относительно сложения 4)  если (в частности ) Если вектора и заданы своими координатами , , то векторное произведение равно или Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах и применяется формула Пример 1. Даны два вектора , для которых . Найти Решение. 1)  По формуле находи модуль векторного произведения: 2)  Согласно свойствам векторного произведения получаем: Пример.2. Даны два вектора .Найти их векторное произведение, синус угла между ними и площадь параллелограмма построенного на этих векторах. Решение. Векторное произведение вычисли с помощью формулы по формуле находим площадь параллелограмма : Синус между данными векторами равен Пример.3. Вычислить площадь треугольника с вершинами . Решение. Найдем координаты векторов . Так как площадь треугольника составляет половину площади параллелограмма, построенного на этих векторах, получаем Векторное произведение вычисли с помощью формулы Задания: 1)  Найти координаты вектора , если , 2)  Дано: . Найти: 3)  Даны векторы Найти: . 4)  Найти площадь треугольника с вершинами . 5)  Векторы и образуют угол 450 . Найти площадь треугольника, построенного на векторах и , если .	Записать в тетрадь необходимую информацию. Примеры запишите в тетрадь. Решить задания, проверить ответы.
УЭ2	Смешанное произведение векторов Смешанным произведением трех векторов , называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор . Обозначение: . Геометрически смешанное произведение интерпретируется как число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на ребрах. Смешанное произведение векторов положительно, если данные вектора образуют правую тройку, и отрицательно – если левую. Свойства смешанного произведения векторов: 1. =====. 2. =+; 3. ==, где -число. 4. если компланарны. Если вектора заданы своими координатами , , , то смешанное произведение равно Пример.4. Проверить компланарны ли данные вектора , ; в случае их некомпланарности выяснить какую тройку (правую или левую) они образуют, вычислить объем построенного на них параллелепипеда. Решение. a)  Вычислим смешанное произведение векторов : Так как смешанное произведение равно нулю, то вектора компланарны. b)  Вычислим смешанное произведение векторов : Так как смешанное произведение не равно нулю, то вектора не компланарны; , значит образуют левую тройку векторов. Пример.5. Даны вершины пирамиды . Найти объем пирамиды и длину ее высоты, опущенной из вершины А. Решение. Найдем координаты векторов , на которых построена пирамида . Вычислим их смешанное произведение: Искомую высоты определим из формулы , Задания: 1)  Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах . 2)  Какую тройку векторов образуют вектора , 3)  Даны вершины пирамиды . Найти объем пирамиды и длину ее высоты, опущенной из вершины А. 4)  Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках . Найти координаты четвертой вершины, если известно, что она лежит на оси ординат. 5)  Вектор перпендикулярен векторам ; Найти .	Прочитать, коротко записать материал.. Пример записать в тетрадь Выполнить задания, проверить.