Анализ устойчивости систем

Аннотация

Производится анализ устойчивости многомерной линейной стационарной системы управления, который заключается в определении коэффициента усиления звена с помощью алгебраических и геометрических критериев. Алгебраические критерии позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения, а геометрические критерии – по виду её частотных характеристик. Геометрические критерии являются графоаналитическими и позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка, а также имеют простую геометрическую интерпретацию.

В работе проведен анализ устойчивости многомерной системы и по результатам анализа вычислен коэффициент обратной связи, при котором система устойчива. Анализ производился алгебраическим методом, а также с помощью алгебраического (Льенара-Шипаро) и геометрического (Михайлова) критериев.

В процессе решения поставленной задачи с целью ускорения вычислений в работе, а так же для построения графиков частотных и временных характеристик предлагается использовать средства автоматизированного вычисления Mathcad и Mapple.

Система Mapple предназначена для символьных вычислений, хотя имеет ряд средств для численного решения дифференциальных уравнений и нахождения интегралов. Обладает развитыми графическими средствами. Имеет собственный язык программирования, частично подобный Паскалю.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОНИКИ И МАТЕМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра ИКТ

Расчетно-графическая работа по дисциплине

«Основы теории управления»

«Анализ устойчивости систем»

Выполнил студент группы С-54:

Проверил:

Москва, 2010 год

Оглавление

Техническое задание. 4

Алгоритм решения. 6

Разделение многомерной системы на две системы: по входу и по возмущению.. 6

Поиск передаточной функции системы (эквивалентного звена) с помощью эквивалентных преобразований. 6

Критерий Льенара-Шипаро. 8

Критерий Михайлова. 9

Анализ устойчивости по управлению.. 10

Поиск передаточной функции. 10

Проверка алгебраическим критерием Льенара-Шипаро. 12

Проверка геометрическим критерием Михайлова. 13

Временная характеристика. 16

Частотные характеристики. 17

Анализ устойчивости по возмущению.. 20

Поиск передаточной функции. 20

Проверка алгебраическим критерием Льенара-Шипаро. 21

Проверка геометрическим критерием Михайлова. 22

Интегральная кривая. 26

Частотные характеристики. 27

Заключение. 30

Список литературы.. 31

Техническое задание

Для заданной модели определить коэффициент звена системы с тем, что система будет:

а.  Устойчивой

б. 
Неустойчивой

Построить частотные и временные характеристики.

Анализ устойчивости проводить алгебраическим методом и использовать алгебраический (Льенара-Шипаро) и геометрический (Михайлова) критерии.

Анализ технического задания

Анализируемая система является многомерной, многоконтурной, линейной, непрерывной, стационарной, детерминированной системой управления с сосредоточенными параметрами и аналоговыми сигналами.

В процессе решения возникает проблема вычисления корней полиномов высокой степени, а также вычисления определителей матриц высокого порядка. С целью ускорения таких вычислений в работе применено средство автоматизированного вычисления Maple 12.

Алгоритм решения

Разделение многомерной системы на две системы: по входу и по возмущению

Реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.

где, х - вектор состояний, с- скаляр, L - линейный оператор.

Поиск передаточной функции системы (эквивалентного звена) с помощью эквивалентных преобразований.

В структурных схемах системы реализуются только операции умножения и суммирования передаточной функции и звеньев.

Поскольку эти операции коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны, то задача построения структурной схемы системы может решаться неоднозначно, т. е. можно получить несколько вариантов графического представления, после соответствующих преобразований оказывающихся эквивалентными.

A = <M,Ω>

Л = {∙, +} f: W2 ─> W

М = {W}i =1,n f = W×W

Множество возможных преобразований строится на основе двух основных свойств звеньев (сложение и умножение)

·  Совокупность последовательно соединенных n однородных звеньев можно заменить одним звеном, передаточная функция которого равна произведению передаточных функций исходных звеньев.

Действительно, т. к. y1= W1(p)V1, … , y= Wn(p)yn-1, то исключив из этой системы y1…yn-1 получим y = W1(p)*W2(p)*…*Wn(p)*V

·  Совокупность параллельно соединенных однородных звеньев можно заменить одним звеном, передаточная функция которого есть сумма передаточных функций звеньев.

y1 = W1(p)*V, y2 = W2(p)*V, … , yn = Wn(p)*V

Сложив эти n уравнений имеем:

Поиск характеристического уравнения системы.

Анализ характеристического уравнения алгебраическим методом или с помощью алгебраических или геометрических критериев.

Критерий Льенара-Шипаро

Этот критерий является модификацией критерия Гурвица. Все вычисления сводятся к вычислению главных миноров только четного или нечетного порядка.

Пусть — передаточная функция системы, а

— характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином в виде

Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица Δ по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от до

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули.

Тогда согласно критерию Лгенара-Шипаро:

Любое из следующих четырех условий является необходимым и достаточным для того, чтобы все корни векового уравнения (аi - действительное число, а0>0) имели отрицательные действительные части.

Критерий Михайлова

Все корни характеристического уравнения с действительными коэффициентами и а0=1 имеют строго отрицательные действительные части тогда и только тогда, когда комплексная функция от действительной переменной описывает в комплексной плоскости Z кривую (годограф Михайлова), начинающуюся на положительной действительной полуоси, не попадающую в начало координат и последовательно проходящую против хода часовой стрелки n квадрантов, где n – степень характеристического уравнения.

Анализ устойчивости по управлению

Поиск передаточной функции

Схема, управляемая входом X(p)

Преобразуем к эквивалентному звену:

Откуда найдем эквивалентное звено (для краткости, произведены замены вида wi(p) – wi):

Проверка алгебраическим критерием Льенара-Шипаро

Коэффициенты знаменателя:

Матрица Гурвица через коэффициенты ai

Из предлагаемых условий критерия Льенара-Шипаро выбираем следующее:

Условие выполняется при 0 < k < 20.. Это значит, что при значениях k, принадлежащих указанному интервалу, система устойчива по управлению.

Проверка геометрическим критерием Михайлова

k = 5;

ω = 0..infinity

Из графика видно, что годограф Михайлова начинается на положительной полуоси (не в нуле) и пересекает 8 квадрантов, что соответствует степени характеристического уравнения. Это значит, что по критерию Михайлова система является устойчивой.

Временная характеристика

Частотные характеристики

При k=5

Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Амплитудно-частотная характеристика

Вещественно-частотная характеристика

Мнимо-частотная характеристика

Фазово-частотная характеристика

Анализ устойчивости по возмущению

Поиск передаточной функции

Проверка алгебраическим критерием Льенара-Шипаро

Коэффициенты знаменателя:

Матрица Гурвица через коэффициенты ai

Из предлагаемых условий критерия Льенара-Шипаро выбираем следующее:

Условие выполняется при 0 < k < 20.. Это значит, что при значениях k, принадлежащих указанному интервалу, система устойчива по управлению.

Проверка геометрическим критерием Михайлова

k = 5;

ω = 0..infinity

Из графика видно, что годограф Михайлова начинается на положительной полуоси (не в нуле) и пересекает 8 квадрантов, что соответствует степени характеристического уравнения. Это значит, что по критерию Михайлова система является устойчивой.

Временная характеристика

Частотные характеристики

При k=5

Амплитудно-фазовая частотная характеристика

Амплитудно-частотная характеристика

Вещественно-частотная характеристика

Мнимо-частотная характеристика

Фазово-частотная характеристика

Заключение

В данной работе был проведен анализ устойчивости многомерной системы и по результатам анализа вычислен интервал значений коэффициента обратной связи (k=, при котором система устойчива.

Анализ производился с помощью алгебраического (Льенара-Шипаро) и геометрического (Михайлова) критериев. Критерии позволяют оптимизировать анализ устойчивости системы. Математические пакеты позволяют во много раз ускорить вычисления требуемых величин.

Список литературы

·  «Основы теории управления».

·  , , «Основы теории автоматического регулирования и управления».

·  Справочная информация Maple 12