МЕХАНИКА. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ.
dP/dt = R; (1)
Где R = N∑i =1 Fi ;
Fi - сила i N∑i =1 Fi - векторная сумма сил – F1 + F2 + F3 + …+ FN = R – равнодействующая сила.
if R = 0; dP/dt = 0, следовательно, P = const, т. е. полный импульс (количество движения mvx; mvy; mvz;) сохраняется.
Работа ΔA = (F, Δs) (F, Δs) – скалярное произведение. F – действующая сила. Δs – вектор элементарного перемещения.
(F, Δs) = |F| |Δs| Cos(ÐF, Δs) или (F, Δs) = (Fx Δsx + Fy Δsy +Fz Δsz )
Fx – проекция силы F на ось ох. Аналогично с Fy и Fz.
Δsz - аналогично – Δsx ; Δsy - проекции вектора перемещения на оси оz; и на оси ох; и оу соответственно.
Например, сила тяжести вблизи поверхности Земли равна mg, где g – ускорение свободного падения. Для того, чтобы поднять тело вертикально на высоту Δh нужно совершить работу (mg, Δh) или mg Δh = ΔA.
Поднимая тело массой m на высоту h, мы совершаем работу А = ∑ ΔA или ò - интегралу ò mg Δh = mgh. При этом говорят, что масса, поднятая на высоту h, обладает потенциальной энергией, равной mgh =U(h).
Для сил, величина и направление которых зависит только положения тела, от координат (x, y, z), которыми описывается это положение в системе координат можно ввести потенциальную энергию тела.
Так для упругой силы при малых растяжениях пружины Fx = - kx, где к – коэффициент упругости, а х величина растяжения. В этом случае ΔA = - kx Δx Потенциальная энергия растянутой пружины при этом будет равна
òkx dx = kx2/2, т. е. U(x) = kx2/2.
Обратите внимание, что при этом сила F = ΔU/Δx или, корректнее - dU/dx.
Сильно упрощая расчеты, можно показать, что потенциальная энергия частицы с массой m в поле тяготения Земли или просто в поле тяготения массы M равна U(r) = γM/r, где γ – коэффициент, r – расстояние по радиусу от M до m.
Проделаем эти расчеты:
По закону всемирного тяготения F = γmM/r2 Тогда элементарная работа будет равна ΔA = (γmM/r2)dr, а потенциальная энергия поля притяжения (гравитационного поля), созданного массой M, будет равна:
U(r) = ò(γM/r2)dr или U(r) = γM òdr /r2. Выполняя интегрирование, получим:
U(r) =- γM/r и, аналогично предыдущему примеру F = - dU/dr, но, умноженной на m, т. е. F = [-dU/dr]m. (Внимание! m в выражение потенциальной энергии поля притяжения (гравитационного поля), созданного массой M, не входит!)
В случае силы Кулона для взаимодействия двух точечных зарядов F = Qq/r2, по аналогии с предыдущим можем получить
U(r) =- Q/r. И, аналогично, F = [-dU/dr]q
Возвращаясь к второму закону Ньютона dP/dt = R; (1), считая для простоты только одну действующую силу (R = F), запишем dP/dt = F. Спроектируем это уравнение на оси
dPx/dt = Fx; dPy/dt = Fy; dPz/dt = Fz.
Представим теперь проекции сил через производные от потенциальной энергии, т. е. Fx =- dU/dx; Fy =- dU/dy; Fz =- dU/dz
Теперь, если умножить уравнение, его правую и левую часть dP/dt = F скалярно на скорость v т. е.((v, dP/dt) = (v, F), мы получим:
mvxdvx/dt+ mvydvy/dt+ mvzdvz/dt = vx dU/dx + vy dU/dy + vz dU/dz
Учитывая, что 1/2d(vx2)/dt = vxdvx/dt и аналогично по компонентам y и z, запишем d (mv2/2)/dt = - dx/dt dU/dx +dy/dt - dU/dy + dz/dt - dU/dz и перепишем вновь d (mv2/2)/dt = - dU/dt или
d(mv2/2 + U)/dt = 0 т. е. mv2/2 + U = const
Так из уравнения второго закона Ньютона мы получили при определенных, оговоренных выше, условиях известные вам законы сохранения
импульса (P = const) и закон сохранения механической энергии (mv2/2 + U = const).
Заметим, что, если действующие силы не зависят от времени, а могут зависеть лишь от положения частицы, т. е. являются только функцией координат, то:
Импульс сохраняется, если F = 0, т. е. Fx = dU/dx =0; Fy = dU/dy =0; Fz = dU/dz = 0 т. е. потенциальная энергия не зависит от координат. Иначе, все точки пространства не отличаются друг от друга. В этом случае говорят, что пространство однородно.
Таким образом, закон сохранения импульса связан с однородностью пространства.
В аксиоматическом подходе к физике определяют: Физическая величина, сохранение которой следует из однородности пространства, называется импульсом.
Обратимся теперь к полученному результату d(mv2/2 + U)/dt = 0. Независимость от времени полной механической энергии Е = mv2/2 + U = const можно трактовать как однородность времени для данной механической системы. Тогда, закон сохранения энергии следует связывать с однородностью времени.
Это позволяет в аксиоматическом представлении физики говорить, что:
Физическая величина, сохранение которой следует из однородности времени, называется энергией.
