О ЧИСЛЕННОМ РЕШЕНИИ КЛАССА ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ ЛЕОНТЬЕВСКОГО ТИПА
Южно-Уральский государственный университет, Челябинск
ABOUT NUMERICAL SOLVING OF PROBLEMS CLASSES
OF OPTIMAL CONTROL FOR LEONTIEFF TYPE SYSTEMS
A. V. Keller
South Ural State University, Chelyabinsk
This tezis contains of the results obtained bythe author during last years in the sphere of a numerical methods of solving optimal control problem for the Leontief type system with the Showalter-Sidorov initial condition. The report includes computational solution for some concrete problems.
Динамические балансовые модели экономической системы, представленные в виде вырожденной линейной системы уравнений (системы леонтьевского типа)
(1)
впервые рассматривал В. Леонтьев [1], здесь 
и 
– квадратные матрицы порядка 
, причем условие 
в экономических приложениях является естественным.
В докладе представлены результаты численного исследования решений класса задач оптимального управления для систем леонтьевского типа.
Системы леонтьевского типа являются конечномерным частным случаем уравнений соболевского типа. Поэтому, при изучении их будем использовать идеи, методы и результаты общей теории [2, гл. 2], адаптированные к конечномерной ситуации. Следуя [3], матрицу назовем 
–регулярной, если существуют число 
такое, что 
, и число 
равное нулю, если в точке 
–резольвента 
матрицы имеет устранимую особую точку; и равное порядку полюса в точке матриц–функции в противном случае.
Для постановки класса задач оптимального управления введем в рассмотрение пространство управлений 
и пространство решений 
. В пространстве 
выделим замкнутое выпуклое множество 
– множество допустимых управлений.
Поставим задачу оптимального управления (базовая задача оптимального управления). Найти пару 
почти всюду на 
, удовлетворяющую системе леонтьевского типа
(2)
с начальным условием Шоуолтера–Сидорова
(3),
при этом
. (4)
Здесь 
и 
– норма и скалярное произведение в 
соответственно, 
– квадратная матрица порядка , 
– симметричные положительно определенные матрицы, 
.
Рассматривая задачу (2) – (4) как модель леонтьевского типа – динамическую балансовую модель предприятия – будем полагать: 1) рассмотрение уже работающего предприятия, начальное состояние системы – есть накопленный к этому периоду запас материальных благ предприятия; 2) критерием эффективности управления является некий компромисс между достижением плановых значений некоторого показателя 
и величиной управляющего воздействия, т. е. оптимальным будет признано такое управление в текущий момент времени, которое обеспечивает наиболее близкие к плановым значения показателя при наименьшем вмешательстве за счет внешнего управляющего воздействия.
Теорема 1. Пусть матрица –регулярна, , 
, причем 
. Тогда для любых 
, существует единственное решение 
задачи (2)–(4)
(5)
Задача жесткого оптимального управления (задача жесткого управления). Найти пару почти всюду на , удовлетворяющую системе леонтьевского типа (2) с начальным условием Шоуолтера–Сидорова (3), при этом
. (6)
Отличие задачи жесткого управления от базовой задачи в том, что критерием эффективности управления является только достижение плановых значений показателя , при этом величина управляющего воздействия в текущий момент времени может быть любой, обеспечивающей план. Кроме экономического приложения для задачи жесткого управления имеет место техническое приложение, открывающее перспективное направление исследований в теории и практике динамических измерений [4].
Теорема 2. Пусть матрица –регулярна, , , причем . Тогда для любых , существует единственное решение задачи (2), (3), (6) вида (5).
Задача стартового оптимального управления (задача стартового управления). Найти пару 
почти всюду на , удовлетворяющую системе леонтьевского типа (1) с начальным условием Шоуолтера–Сидорова
(7)
при этом
. (8)
Рассматривая задачу (1), (7), (8) как модель леонтьевского типа – динамическую балансовую модель предприятия – будем полагать: 1) рассмотрение либо вновь созданного предприятия, либо выходящего из кризисного состояния, тогда начальное состояние системы – есть внешнее воздействие, обеспечивающее нееобходимый на предстоящий период запас материальных благ предприятия; 2) критерием эффективности управления является компромисс между достижением плановых значений некоторого показателя и величиной управляющего воздействия, т. е. оптимальным будет признано такое управление в начальный момент времени, которое обеспечивает наиболее близкие к плановым значения показателя при наименьшем вмешательстве за счет внешнего управляющего воздействия, при этом полагается, что в ходе планового периода иного управляющего воздействия не будет.
Теорема 3. Пусть матрица –регулярна, , , причем . Тогда существует единственное решение задачи (1), (7), (8)
(9)
Задача стартового жесткого оптимального управления (задача стартового жесткого управления). Найти пару почти всюду на , удовлетворяющую системе леонтьевского типа (1) с начальным условием Шоуолтера–Сидорова (7), при этом
(10)
Отличие задачи жесткого стартового управления от задачи стартового управления в том, что критерием эффективности управления является только достижение плановых значений показателя , при этом величина управляющего воздействия в текущий момент времени может быть любой, обеспечивающей план.
Теорема 4. Пусть матрица –регулярна, , , причем . Тогда существует единственное решение задачи (1), (7), (10) вида (9).
Основной идеей при нахождении приближенного решения задач является представление вектор-функции управления в виде
(11)
Алгоритмы численного решения приведенных задач, имея различия обусловленные постановкой задач, построены по одной схеме []. Она предусматривает три основных этапа: 1) определение значения 
, c которого можно начинать считать приближенные операторы;
2) нахождение опорного решения задачи, при 
;
3) нахождение приближенного решения задачи, как поиск таких 
, при которых достигается минимум функционала.
В докладе приводятся результаты численных экспериментов, проведенных на базе предприятия г. Челябинска МУП «Производственное объединение водоснабжения и водоотведения».
Список литературы
1. Леонтьев экономика. – М.: Экономика, 1997.
2. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semi-groups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. – Utrecht; Boston; Tokyo: VSP, 2003.
3. Sviridyuk G. A. Numerical solutions of systems of equations of Leontieff type / G. A. Sviridyuk, S. V. Brychev // Rus. Math. – 2003. – V.47, № 8. – P.44-50.
4. Шестаков, измерения как задача оптимального управления / , , // Обозрение прикладной и промышл. математики. – 2009. – Т. 16, вып. 4. – С. 732 – 733
5. Келлер, решение задачи оптимального управления вырожденной линейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями Шоуолтера–Сидорова / // Вестник ЮУрГУ, серия Математическое модели-рование и программирование. – 2010.– №– С.50–56.
