МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Московский государственный институт электроники и математики
(технический университет)
Кафедра управления и информатики
в технических системах
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Методические указания
к лабораторной работе по курсу
«Метрология, стандартизация, сертификация»
Москва 2007
Составители: д. т.н., профессор ,
аспирант
Изучаются методы статистической обработки результатов измерений в процессе экспериментальных исследований. Лабораторная работа выполняется в объеме 4 часов.
Для студентов второго курса специальности «Управление и информатика в технических системах», изучающих дисциплину «Метрология, стандартизация, сертификация».
УДК 621.317
Обработка результатов измерений: Метод. указания к лаб. работе по курсу «Метрология, стандартизация, сертификация» / Моск. гос. ин-т электроники и математики; Сост.: , . М. 2007, 10 с.
©
©
Табл. 1. Ил. 4. Библиогр.: 2.
ISBN -4
- 3 -
1. ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ
Изучение методов статистической обработки результатов измерений в процессе экспериментальных исследований промышленной сети питания переменными напряжениями 220 В, 50 Гц.
2. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
В состав систем автоматического управления (САУ) входят многочисленные средства измерения: датчики физических величин, аналого-цифровые преобразователи и др. В процессе их разработки, аттестации и поверки проводятся экспериментальные исследования их метрологических характеристик, включающие обработку результатов измерений. В данной работе методы статистической обработки результатов измерений изучаются на примере исследования поведения промышленной сети питания переменными напряжениями 220 В, 50 Гц.
От этой сети питаются средства измерения САУ. Действующее значение и частота переменного напряжения в сети не должны значительно отклоняться от номинальных – заданных значений. В процессе подключения и отключения потребителей от сети параметры напряжения питания подвергаются случайным отклонениям от номинальных значений. Поэтому при обработке случайных результатов измерений необходимо применять статистические методы обработки.
Схема экспериментальных исследований приведена на рис. 1.
Рис. 1. Схема эксперимента
- 4 -
Переменное близкое к синусоидальному напряжение сети 
поступает на лабораторный стенд, в котором в целях безопасности трансформируется в напряжение 
с коэффициентом трансформации 
:
|
. (1)Пониженное напряжение подается на вход цифрового вольтметра переменного напряжения высокой точности. С помощью вольтметра снимается серия результатов измерений действующего значения U напряжения 
- объемом n, где i - номер измерения в серии.
Номинальные действующие значения напряжения сети и входного напряжения вольтметра равны: 
, 
.
Цифровой вольтметр измеряет действующее значение подаваемого на его вход переменного напряжения. Пренебрегаем небольшими по величине погрешностями цифрового вольтметра. Тогда можно приближенно считать, что представляет собой серию результатов измерений действующего значения U напряжения 
.
Найдем в серии набор оригинальных значений 
, где, как правило, m< n. Определим частоту 
и относительную частоту (частость) 
появления каждого из оригинальных значений 
. Частота равна числу появлений значения в серии, частость определяется как 
, где n – объем серии результатов измерений. В случае правильного определения частот и частостей должны выполняться следующие соотношения:
, 
.
Набор пар 
- это аналитическое выражение найденного
экспериментально - эмпирического частотного распределения действующих значений напряжения 
.
- 5 -
С помощью выражения (1) найдем значения 
и эмпирический закон распределения действующих значений напряжений сети 
за время наблюдения. Графики эмпирического частотного распределения называются гистограммой и полигоном (рис. 2) .
Рис. 2. Гистограмма а) и полигон б) частотного распределения
Рассмотрим построение гистограммы и полигона. На плоскость наносится m точек , отстоящих друг от друга на расстояние 
. При построении гистограммы через каждую точку проводится ступенька шириной и все ступеньки соединяются прямыми. При построении полигона на горизонтальную ось наносятся две точки - 
и 
- и все соседние точки соединяются прямыми линиями.
Найдем среднее арифметическое значение, эмпирические дисперсию, и среднее квадратическое отклонение (СКО) результатов измерений:
, 
, 
.
Численные характеристики напряжения сети питания равны:
, 
, 
.
- 6 -
Систематические абсолютное и относительное отклонения напряжения сети от номинального значения
, 
, % .
Случайные абсолютные и относительные отклонения напряжения сети относительно среднего значения 
характеризуются показателями:
, 
, % .
Найденное частотное распределение и численные характеристики не являются точными из-за ограниченного объема серии измерений, Кроме того, они характеризуют поведение сети только за время ее наблюдения. В другие день или время суток напряжение сети может значительно меняться.
Определим вид частотного распределения. Наиболее распространенные теоретические законы распределения непрерывных случайных величин x представлены на рис. 3 функциями плотностей вероятностей p(x).
Рис. 3. Графики теоретических распределений: а) равномерного; б) треу-
гольного; в) нормального; г) экпоненциального; д) гамма-распределения
- 7 -
Первый способ заключается в сравнении полигона эмпирического частотного распределения с представленными на рис. 3 графиками и визуальном определении ближайшего теоретического закона распределения.
Второй способ заключается в определении асимметрии и эксцесса эмпирического частотного распределения и сравнении их с аналогичными численными характеристиками теоретических законов распределения. Асимметрия А характеризует несимметричность эмпирического частотного распределения относительно вертикальной оси, проходящей через среднее значение . Асимметрия определяется следующим образом:
.
Эксцесс E характеризует островершинность эмпирического частотного распределения по сравнению с нормальным распределением. Эксцесс определяется следующим образом:
.
Асимметрии и эксцессы рассмотренных выше теоретических распределений приведены в таблице. Асимметрия равномерного, треугольного и нормального распределений равна нулю. Эксцесс нормального распределение равен нулю, равномерного – меньше нуля, экспоненциалього – больше нуля.
Таблица
Вид закона распределения | Асимметрия - А | Эксцесс - E |
Равномерное | 0 | -1,2 |
Треугольное | 0 | -0,6 |
Нормальное | 0 | 0 |
Экспоненциальное | 2 | 6 |
Гамма-распределение | 1,4 | 3 |
- 8 -
Следует отметить, что полученные значения A, E являются приближенными и случайными из-за ограниченного объема серии измерений. Определение ближайшего теоретического закона распределения по двум параметрам - А и Е - несколько затруднительно.
Нормированная корреляционная функция (НКФ) характеризует изменчивость случайной величины x с течением времени. Она определяет корреляцию (связь, близость) двух соседних значений случайной величины x, отстоящих друг от друга на время, равное 
, и обозначается как 
.
НКФ называется нормированной, так как ее значения не превышают по модулю 1: 
. Кроме того, она обладает следующими свойствами:
1) 
(так как при =0 величина х совпадает сама с собой);
2) =
– свойство четности функции;
3) 
= 0 – корреляция убывает с течением времени до нуля.
Модуль НКФ имеет большее значение, по сравнению со знаком функции. Чем ближе модуль НКФ к 1, тем медленнее изменяется случайная величина х с течением времени .
Пусть измерения действующего значения напряжения сети проводятся регулярно с периодом их проведения Т. Значения НКФ вычисляются для различных следующим образом:
; 
,
где q < n – число участвующих в вычислении результатов измерений;
, где q 
n – k, k = 1,2,… – целое.
С помощью линейной интерполяции по дискретным значениям НКФ – 
, 
, …, 
– может быть построен приближенный график НКФ действующего значения переменного напряжения сети (рис. 4).
- 9 -
Рис. 4. График нормированной корреляционной функции
3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Включите питание лабораторного стенда и цифрового вольтметра. Проведите серию из 100 измерений переменного напряжения u(t). Рекомендуется проводить не чаще 1 измерения в секунду. Запишите результаты измерений 
. Для упрощения обработки представляйте результаты измерений не точнее, чем с 1 цифрой после запятой.
2. Определите оригинальные значения в серии результатов измерений, частоты, частости. Запишите выражение эмпирического частотного распределения 
. Постройте гистограмму, полигон. Определите средние значения 
, 
; эмпирические дисперсии 
, 
; СКО – 
, 
. Оцените систематические 
, 
и случайные отклонения , 
действующего значения напряжения сети. Сделайте выводы.
3. Определите вид теоретического закона распределения, наиболее близкого к полученному эмпирическому распределению: 1) визуально; 2) рассчитав асимметрию и эксцесс и сравнив полученные значения с данными таблицы.
- 10 -
4. По укороченной серии из 10 произвольных результатов измерений (для упрощения расчетов) определите значения НКФ – , , 
, 
. Постройте приближенный график НКФ - 
. Имейте в виду, что в расчетах необходимо использовать новые значения 
, 
укороченной серии:
, , 
.
Сделайте вывод об изменчивости напряжения сети.
4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем состоит цель лабораторных исследований.
2. Поясните термин - «статические методы обработки».
3. Дайте определения частоты, частости, частотного распределения.
4. Нарисуйте гистограмму и полигон.
5. Запишите выражения, используемые при расчете среднего арифметического, эмпирических дисперсий и СКО.
6. Нарисуйте график трех наиболее распространенных теоретических законов распределения непрерывной случайной величины.
7. Поясните значение численных показателей: асимметрии и эксцесса.
8. Поясните значение нормированной корреляционной функции изменяющейся во времени непрерывной случайной величины.
5. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. , Ялунина метрологии, М.: Стандарты, 2001.
2. Макаров и электрические измерения, М.: МГИЭМ, 2001.
Учебное издание
Обработка результатов измерений
Составители: а МАКАРОВ Владимир Васильевич КУЗНЕЦОВ Денис Васильевич |
Редактор
Технический редактор
http://www. miem. *****/rio
*****@
Подписано в печать. Формат 60х84/16.
Бумага типографская №2. Печать - ризография.
Усл. печ. л. Уч-изд. л. Тираж 50 экз.
Заказ - . Бесплатно. Изд № .
Московский государственный институт электроники и математики
109028 Москва, Б. Трехсвятительский пер. 1-3/12, стр. 8
Отдел оперативной полиграфии Московского государственного
института электроники и математики.
113054 Москва, .
