Программа дисциплины «Спецфункции»

Ссылка на резервное размещение материала

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет Математики

Программа дисциплины «Спецфункции»

для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы: , д. ф.-м. н, *****@***ru,

Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.

Председатель

Утверждена УС факультета математики «___»_____________2012 г.

Ученый секретарь ________________________

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

2  Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Программа разработана в соответствии с:

·  ГОС ВПО;

·  Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

·  Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.

3  Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины «Спецфункции» являются получение базовых знаний о классических специальных функциях, их приложений в различных областях математики и математической физики, развитие навыков обращения со специальными функциями, развитие навыков применения специальных функций в различных прикладных и теоретических задачах.

4  Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

·  Знать основные специальные функции, включая Г-функцию Эйлера, дзета функцию Римана, гипергеометрические функции и их вырождения.

·  Уметь решать конкретные задачи с использованием специальных функций

·  Иметь навыки (приобрести опыт) применения специальных функций в различных прикладных и теоретических задачах.

В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:

Компетенция	Код по ФГОС/ НИУ	Дескрипторы – основные признаки освоения (показатели достижения результата)	Формы и методы обучения, способствующие формированию и развитию компетенции
умение формулировать результат	ПК-3	Правильно воспроизводит чужие результаты Правильно формулирует собственные результаты	Компетенция формируется в любом сегменте учебного процесса Формируется в процессе активных занятий (участие в семинарах, выполнение курсовых и дипломных работ).
умение строго доказать утверждение	ПК-4	Воспроизводит доказательства стандартных результатов, услышанных на лекциях Оценивает строгость и корректность любых текстов по специальным функциям	Изучение базового курса За счет повышения обще-физической и математической культуры в процессе обучения
умение грамотно пользоваться языком предметной области	ПК-7	Распознает и воспроизводит названия основных физических моделей и объектов, а также математических структур, возникающих при изучении данной дисциплины Владеет и свободно использует профессиональную лексику, использующую класические специальные функции	Продумывание и повторение услышанного на семинарах и лекциях. Беседы с преподавателями во время консультаций. Компетенция достигается в процессе накопления опыта работы со специальными функцями, общения с преподавателями.
понимание корректности постановок задач	ПК-10	Понимает постановки только опорных задач теории специальных функций Адекватно оценивает корректность использования тех или иных физических предположений и математических методов, применяемых при формулировке и решении задач по теории и практике специальных функций	Продумывание базовых понятий курса Вырабатывается в процессе решения задач, самостоятельного чтения, работы над курсовыми заданиями
выделение главных смысловых аспектов в доказательствах	ПК-16	Понимает и воспроизводит ключевые физические принципы и математические приемы базовых рассуждений и построений теории специальных функций Обосновывает и оценивает мотивировки и логические ходы при построении произвольных задач с применениями теории специальных функций	Продумывание ключевых моментов лекций Вырабатывается путем активного решения задач, самообразования, общения с преподавателями.

5  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу дисциплин теоретического обучения и блоку дисциплин по выбору.

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

·  Математический анализ

Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями:

·  Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной; начала комплексного анализа

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин:

·  дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных, теория вероятностей, математическая физика

6  Тематический план учебной дисциплины

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоя­тельная работа
Лекции	Семинары	Практические занятия
1	Г-функция Эйлера		20			16
2	Дзета-функция Римана		22			16
3	Гипергеометрические функции		22			16
	Итого:	64/0				48

7  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	1 год	Параметры **
1	2	3	4
Текущий (неделя)	Контрольная работа	8				домашняя письменная работа
Итоговый	Зачет		V			в форме собеседования по письменной работе

7.1  Критерии оценки знаний, навыков

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

Основная форма текущего контроля – решение задач из домашних заданий (5-7 задач по каждой теме). Задачи подбираются так, чтобы их решение потребовало от студента свободного владения основными понятиями и умения пользоваться техническими (вычислительными) приемами, которые изучаются в соответствующем разделе курса. Часть задач повышенной сложности носят исследовательский характер и предполагают самостоятельное изучение студентами материала, не излагавшегося на лекциях. В случае решения более половины из предложенных задач по каждой теме курса студент имеет возможность досрочного сдачи зачета.

Экзамен (зачет) состоит в устном собеседовании по материалам выданного заранее домашнего задания, включающего в себя теоретические вопросы и задачи по курсу.

8  Содержание дисциплины

1.  Раздел 1 Г-функция Эйлера

№	Тема	Всего часов	Лекции и семинары	Самостоятельная работа
1.	Представление Г-функции в виде бесконечного произведения и эйлеровского интеграла. Константа Эйлера. Вывод функционального уравнения. Свойства Г-функции, вычисление с ее помощью определенных интегралов и бесконечных произведений.	6		5
2.	Бета-функция (эйлеров интеграл 1 рода). Логарифмическая производная Г-функции. Формула дополнения. Формула удвоения и ее обобщения. вычисление объемов и интегралов Дирихле. Разложение котангенса в ряд Эйзенштейна.	8		6
3.	Числа и полиномы Бернулли. Формула суммирования Эйлера-Маклорена. Асимптотическое разложение Г-функции.	6		5
	Итого:	20		16

2.  Раздел 2. Дзета-функция Римана

№	Тема	Всего часов	Лекции и семинары	Самостоятельная работа
4.	Определение дзета-функции, интегральное представление Эйлера. Свойства дзета-функции. Аналитическое продолжение. Вычисление дзета-функции в целых точках элементарными методами.	13		6
5.	Преобразование Меллина и его свойства. Асимптотические разложения и полюса преобразования Меллина.	13		5
6.	Функциональное уравнение Римана.. Выводы с использованием интеграла типа Ханкеля и представления Римана тета-функции.	13		5
	Итого:	22		16

3.  Раздел 3. Гипергеометрические функции

№	Тема	Всего часов	Лекции и семинары	Самостоятельная работа
7.	Гипергеометрический ряд. Гипергеометрическое уравнение. Решение дифференциальных уравнений с регулярными особыми точками. Уравнение Римана В задачах: выражение элементарных функций через тригонометрические. Соотношения между гипергеометрическими рядами.	13		6
8.	Гипергеометрический интеграл Гаусса. Значение гипергеометрической функции в единице. Связь с комбинаторными тождествами. Контурные интегралы Барнса. Гипергеометрические преобразования	13		5
9.	Вырожденные гипергеометрические функции. Понятие об иррегулярных особых точках обыкновенных дифференциальных уравнений. Функции Бесселя. Ортогональные многочлены.	13		5
	Итого:	22		16

9  Образовательные технологии

В ходе работы семинара планируется приглашение ряда российских ученых для освещения тем, в которых они являются признанными мировыми специалистами.

10  Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

10.1  Тематика заданий текущего контроля

Примеры тем для выступлений студентов на семинаре:

Теорема Бора-Моллерапа

Формула удвоения Гаусса.

Интегралы Дирихле.

Интегральные представления логарифма Гамма-функции.

Формула Гурвица для отрицательных значений дзета-функции.

Полное решение гипергеометрического уравнения.

Формулы суммирования Заальтщутца.

11  Порядок формирования оценок по дисциплине

Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется

по 10-балльной системе.

Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:

Отекущий = n1* Ок/р + n2* Осам. работа

Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным (итоговым) контролем.

Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.

Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.

Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.

Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.

В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

12  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

12.1  Базовый учебник

Е. Уиттекер, Г. Ватсон. Курс современного анализа. Том 2. М.: УРСС

Г. Бейтмен, А. Эрдейи, Высшие трансцендентные функции, т" Наукa"

12.2  Дополнительная литература

G. E. Andrews, R. Askey, R. Roy, Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its ap plications, vol 71., Cambridge University Press 1999

M. Artin, The Gamma function, Holt, Rinehart, and Winston, New York, 1964

Ф. Гантмахер, Теоря матриц, Издательство “Наука”, Москва 1967.

Е. Уиттекер, Г. Ватсон. Курс современного анализа. Том 1. М.: УРСС

Дж. Гаспер, М. Рахман, Базисные гипергеометрические ряды. “Мир”, 1993

А. Вейль, Элиптические функции по Эйзенштейну и Кронекеру, “Мир”, 1978.