Учитесь мыслить нестандартно (стр. 5 )

138. Обозначим строки римскими цифрами, а столбцы буквами латинского алфа­вита:

Число в строке IV четырехзначное, а в строке III трехзначное. Значит, в позиции F строки 11 стоит цифра 1.

Ясно, что в разряде Е строки IV стоит цифра 8. Отсюда находим цифру в позиции Е строки III. Это 9. Такая же цифра стоит в этом же разряде строки 1.

Так как в разрядах Е и F строки I стоят цифры 9, то и в позиции D строки IV, и в позиции С строки V будут цифры 9.

При умножении цифры из разряда D строки I на 2 получается четное число. Учитывая перенос, равный I, из разряда D в разряд С строки IV, по­лучаем в позиции С этой строки нечетную цифру.

В строке VI будет перенос из разряда D в разряд С. Учитывая этот пе­ренос и то, что в разряде С строки V стоит 9, чтобы получить 0 в этом разря­де строки VI, в строке IV в этой же позиции должна находиться цифра 9. Отсюда находим цифру в разряде D строки I. Это 9.

Ясно, что перенос из разряда В в разряд Л строки VI равен 1. Поэтому в позиции А строки V стоит цифра 3. Тогда в позиции D строки II стоит цифра 4.

После всех рассуждений исходный пример выглядит следующим обра­зом:

139.

140.

91

141.

142.

3396325 143. Обозначим строки и столбцы исходного примера так:

ABCDEFGH JKLMN

Сначала определим цифру в позиции / строки I. Это 1, так как в разря де Е строки IX стоит цифра 7.

Цифра в разряде К строки I может быть или 7, или 8, или 9.

Цифра в позиции / строки II—3 вследствие того, что в позиции А строки II стоит цифра 5.

Также находим цифру в разряде А" строки II. Это 2.

Так как в позиции D строки II цифра 5, то и в позиции М строки I циф ра 5. Ясно, что цифры в разряде Е строки IV, в разряде Н строк IX и Х бу­дут нули.

Цифра в позиции В строки VI может быть только единицей. Аналогично и в разряде С строк VII и VIII.

Цифра в разряде L строки II должна быть больше 5, иначе бы не полу­чилось пятизначное число в строке VI. Цифра в позиции М строки II больше цифры из разряда L этой же строки (сравните строки V и VII). Значит, циф­ра в разряде М строки II больше 6.

Сравнивая цифры из разрядов С и D строки VII с цифрой из разряда Е строки IX, находим, что число в строке VIII меньше удвоенного числа в строке IX. Получается, что цифра в разряде М строки II меньше 8. Отсю­да становится ясно, что в разряде М строки II цифра 7, а в разряде L этой же строки стоит 6.

Теперь нам полностью стали известны цифры в разрядах J—N строки II (цифры частного).

Перепишем промежуточный результат:

Так как в строке Х в позициях О и Н находятся нули, то цифра в пози­ции L строки I может быть или 2, или 7.

Предположим, что эта цифра 7. Тогда перенос из позиции F в позицию Е строки VIII равен 5. В этом случае при умножении цифры в позиции К строки I на 7 получится число, оканчивающееся на 2, т. е. в позиции К дол­жна была бы стоять шестерка. Но, как сказано выше, эта цифра может иметь значение либо 7, либо 8, либо 9. Значит, в позиции L строки I стоит 2.

В этом случае перенос из позиции F в позицию Е строки VI II должен быть равен 1. Значит, при умножении цифры из позиции К строки I на 7 должно получиться число, оканчивающееся на 6. Таким образом, в пози­ции К строки I находится 8.

После приведенных рассуждений исходный пример приобретает следую­щий законченный вид:

144.

93

145. Обозначим строки и столбцы примера:

Легко находятся цифры в разряде G строк III и VII и в разряде Е стро­ки V. Все они четверки.

Цифра в позиции D строки II не может быть больше 2, но строки V и VI различны. Поэтому искомая цифра строки И—это 1. Также будет единицей и цифра в этом же разряде строки I, и цифра в позиции А строки VI.

Так как в позиции А строки VII стоит цифра 2, то есть перенос из разря­да и в разряд А этой строки.

Учитывая, что максимальная цифра в разряде В строки V может быть 3 и максимальный перенос из разряда С в разряд В в строке VII может быть равен 2, минимальная цифра в позиции В строки VI может быть 7. От­сюда следует, что цифра в разряде В строки V — это 3. Аналогичная цифра стоит в разряде D строки III.

Цифра в разряде F строки I может быть или 1, или 6, чтобы получить 2 в этом же разряде строки III.

Цифра в разряде F строки II не больше 5, иначе бы в строке IV получи­лось пятизначное число.

Так как минимальная цифра строки III в позиции Е не меньше 4, то строка IV не равна ни строке III, ни строке VI. Значит, в позиции F строки II может находиться или 3, или 4, или 5.

Рассмотрим разряд С. В строке IV в этом разряде минимальная цифра может быть 5, в строке V минимально возможная цифра 4, а в строке VI — 1. Поэтому должен быть перенос из разряда С в разряд В строки VII. Зна­чит, в разряде В строки VI не может быть цифры 9. Остаются возможными цифры 7 и 8.

Перенос из разряда Е в разряд D строки IV—О, 1, 2 или 3. Поэтому при умножении цифры из разряда Е строки I на цифру из разряда F строки II должно получиться число, оканчивающееся на 2, 1, 0 или 9. Для множи­мого 7 или 8 и множителя 3, 4 или 5 возможны следующие комбинации:

7.3=21, 8-4=32 и 8-5=40.

Предположим, что в разряде Е строки I находится цифра 7. Тогда в по­зиции F строки II должна находиться цифра 3, а в позиции F строки 1 бу­дет 6.

В этом случае в разряде С строк IV и V будут цифры 5, а в том же раз­ряде строки VI должна быть шестерка. Тогда перенос из разряда С в раз­ряд В строки VII равен 1. В этом случае не может получиться цифра 2 в по­зиции В строки VII. Значит, цифра 7 в разряде Е строки I стоять не может. Остается единственно возможный вариант — цифра 8.

94

Предложим, что в позиции F строки II стоит цифра 5. Тогда перенос из разряда Е в разряд D строки IV должен быть равен 2. Получается, что ни цифра 1, ни цифра 6 в позиции F строки I не удовлетворяют этому условию.

Значит, в позиции F строки II стоит четверка. В этом же разряде строки I находится цифра 1.

Полностью расшифрованный пример окончательно примет вид:

146. 1) Обозначим строки и столбцы ребуса следующим образом

Из строки III видно, что при сложении двух трехзначных чисел получа­ется четырехзначное число. Следовательно, буква К будет иметь числовое значение, равное 1(К=1). Из этой же строки легко находится значение буквы Р, равное 9(Р=9).

Анализ столбцов Сир позволяет найти числовое значение буквы Э. Так как сложение букв Т и О с буквой Э и в том и в другом случае в результате дает опять те же буквы, можно однозначно утверждать, что буква Э имеет значение, равное нулю (Э ==0).

Рассмотрев столбец /, находим, что при умножении на 9 некоторой циф­ры получается число, оканчивающееся на ту же самую цифру. Такой циф­рой может быть только пятерка (легко убедиться в этом, вспомнив таблицу умножения на 9). Значит, Д == 5.

Тогда сразу становится ясно, что буква С обозначает цифру 2, а буква Е — цифру 4 (С = 2, Е == 4).

Из столбцов А, В и С видно, что СР+ИД=РЕ, т. е. 29 + И5 = = 94. Значит, И = 6.

Из столбцов D, Е и F видно, что И + КП = КР, т. е. 6 + 1П = 19. От­сюда П = 3.

Для букв Т и О остаются цифры 7 и 8. Рассматривая строку I, находим, что РТ—ИО=СР, т. е. 9Т — 60 = 29, или IT—0=9. Значит, буква Т имеет числовое значение 7, а буква О равна 8 (Т =7, О = 8).

После всех приведенных рассуждений получим:

95

Теперь, расположив буквы по возрастанию их числовых значений, про читаем зашифрованное слово:

2) Обозначим строки и столбцы с помощью римских цифр и латинских букв:

Сразу очень быстро находится значение буквы Р из столбца /. Числово1 значение Р в данном ребусе есть цифра 0.

Из анализа столбцов А, В, С и строки II видно, что при умножении дву значного числа ПБ на двузначные числа СИ и ЕК в обоих случаях получа ются трехзначные числа.

Значит, значение П меньше пяти. Анализируя столбцы G и Н, находим, что К + П > 10, откуда К > 6.

Рассмотрим строку 11. При умножении цифры Б на К получается число, оканчивающееся на 0 (нуль). Значит, Б = 5. Учитывая тот факт, что значе­ние К больше 6 и должно быть четно, находим, что К == 8.

Из строки III с учетом предыдущих рассуждений находятся соответству­ющие значения букв А и Е (А = 9, Е = 1).

Из столбца F находим цифру, которая закодирована буквой П. Записав Б+К=П+10 и подставив уже известные значения, получим 5+8= = П + 10, или П = 3.

Из выражения (см. строку I) СИ + ЕБП=ЕКР, или СИ + 153= 180 определяем, что С = 2, а И = 7.

При большинстве уже известных числовых значений букв ребуса из стро ки III довольно просто определяется значение буквы У. Действительно

АУБ—ЕПБ=КЕР,

или

9У5— 135=810,

где У =4.

Осталась одна лишь буква Л. Ее можно найти из строки П. Хотя можно поступить и проще, памятуя о том, что для всех остальных букв ребуса уже найдены числовые эквиваленты. В данной головоломке буква Л принимае! значение 6.

После этого полностью разгаданный ребус имеет вид:

147. Обозначим сумму цифр А, В, С и О буквой Е. Тогда A+B+C+D=E.

Число Е должно быть меньше 10, иначе 10''=—число пяти­значное.

Также Е должно быть больше 5, так как 54 = 625 есть число трех­значное.

Значит, Е может быть одним из чисел — 6, 7, 8 или 9.

Предположим, что Е = 6. Тогда E4=E2 • Е2 = 36 • 36. Это число окан­чивается на 6. В таком случае сумма цифр в числе ABCD будет больше 6, т. е. число 6 не подходит.

Рассмотрим вариант, в котором Е = 8. В этом случае

Е* = Е2 • Е2 = 64 • 64 > 60 • 60 = 3600.

Число Е4 = ABCD будет оканчиваться на 6, а первая цифра этого числа бу­дет не меньше 3, т. е. сумма цифр числа ABCD будет больше 8, а это не удовлетворяет условию.

Аналогичные рассуждения можно провести для значения Е, равного 9:

£•4 =9" =6561.

Видно, что Е = 9 не подходит. Остается проверить Е =7. Действительно,

Е* = 74 = 2401.

Тогда искомыми значениями для букв А, В, С и D будут числа 2, 4, О и 1 (Л = 2, В = 4, С = О, D = 1).

РАЗДЕЛ 4. ЛОГИКА БЕЗ ВЫЧИСЛЕНИЙ

148. Для начала составим расписание работы школьных кружков.

Кружок	Поне- дель ник	Вторник	Среда	Четверг	Пятница	Суббота
Математический	ххххх
Астрономический		ххххх
Физический				ххххх
Художественной са модеятельности		ххххх		ххххх		ХХХХХ

Теперь запишем известные нам условия:

1) Никто из ребят никогда не пропускает занятий в кружках.

2) Сегодня в школе работают все кружки.

3) Алексей и Женя встретились сегодня впервые на этой неделе.

4) Завтра Илья не идет на занятия кружка.

5) Костя посетил кружок и вчера и позавчера.

6) Женя был на занятиях кружка вчера и пойдет завтра.

Но условию 2 сегодня в школе работают все кружки. Взглянув на рас­писание работы кружков, легко можно определить, что сегодня или среда, или пятница. Но так как по условию 1 ребята не пропускают занятий, а по условию 3 Алеша и Женя встретились сегодня впервые на этой неделе, то сегодня — среда.

Из условия 5 и из расписания работы кружков видно, что Костя занима­ется в физическом кружке.

В соответствии с условием 6 и расписанием находим, что Женя ходит в математический кружок.

По условию 1 никто не пропускает занятий, а по условию 4 завтра Илья не идет на кружок, т. е. его кружок завтра не работает. По расписанию на­ходим, что это может быть либо физический, либо кружок художественной самодеятельности. Но физический кружок уже «занят» (его посещает Кос­тя). Таким образом, Илья занимается в художественной самодеятельности.

Остается один Алеша. Он посещает с удовольствием астрономический кружок.

Итак, получились следующие пары:

математический — Женя, астрономический — Алексей, физический — Костя, художественной самодеятельности — Илья.

149. Задача решается достаточно просто. Так как Борис моложе клерка, то он не клерк. А так как уволенный из учреждения старше всех, то Борис — не уво ленный. Значит, Борис — начальник отдела. У Григория есть дети, а уволен ный детей не имеет. Поэтому Григорий — клерк, а уволенный — Михаил

150. Задачи такого типа чаще всего решаются методом исключения. Рассмотрим условия, которые нам известны.

1) Борис и Евгений служа г в армии второй год.

2) Ташкентец служит первый год.

3) Хабаровчанин выше Александра.

4) Оренбуржец старше Владимира.

5) Борис и минчанин учились в техникуме.

6) Владимир и хабаровчанин учились в ПТУ.

7) Александр и минчанин — водители.

8) Дмитрий и солдат из Липецка — автоматчики.

9) Ташкентец и Владимир — пулеметчики.

Из вышеперечисленных можно сделать ряд дополнительных условий. Так, из условия 5, Борис — не минчанин.

Составим таблицу логических рассуждений, в которой будем отмечать соответствующие клетки на основании известных условий. Цифры в клетках будут обозначать номер условия или номера условий, на основании которых мы принимаем решение, что эту клетку можно из рассмотрения удалить, т. е. подобное сочетание (человек — город) противоречит условиям задачи.

В столбцах таблицы стоят начальные буквы имен солдат, а в строках — названий городов.

	А	Б	В	Г	Д	Е
М	7	5	7,9	—	7,8	+
Л	7,8	+	8,9	—	8	—
К	—	—	+	—	—	—
т	7,9	1,2	9	+	8,9	1,2
о	+	—	4	—	—	—
х	3	5,6	6	—	+	—

Из таблицы сразу становится ясно, что Геннадий — ташкентец, а Вла­димир — из Казани.

Обозначим знаком «-(-» пересечение столбца «Г» и строки «Т». В остальные свободные клетки столбца «Г» поместим знак «—». Аналогично сделаем в строке «К».

99

После этого находим, что Евгений — минчанин. Ставим прочерки во всех остальных клетках столбца «Е». Повторяя аналогичные действия в таб­лице в соответствии с условиями задачи, находим, что Борис до призыва в армию жил в Липецке, Дмитрий — хабаровчанин, Александр — орен-буржец. 151. Запишем условия, известные из задачи.

1) Помощник и следователь не имеют разногласий.

2) Прокурор и следователь состоят в хороших отношениях.

3) Борис и Александр часто конфликтуют.

4) Александр и прокурор увлекаются шахматами.

Решать задачу удобно методом исключения. Составим таблицу, в кото­рой сроки будут обозначать должности, а столбцы — инициалы сослужив­цев. Знаком «-(-» будем обозначать факт полного соответствия между фами­лией и занимаемой должностью, цифрами — номера условий, по причине ко­торых нет такого соответствия, знаком «—» — факт исключения из рассмот­рения клеток «должность — фамилия».

Так, из условия 4 однозначно вытекает, что Александр не может быть прокурором, а из условий 1, 2 и 3—следователь не конфликтует ни с кем и Борис и Александр — не следователи.

	А. Р.	Б. П.	Е. З.
Прокурор	4	+	—
Помощник	+	—	—
Следователь	1,2,3	1,2,3	+

Из таблицы сразу видно, что Егор Знаменосцев — следователь. После этого находим, что Борис Палкин — прокурор, а Александр Русов — помощ­ник прокурора. 152. Перепишем и пронумеруем известные нам условия, несколько их упростив.