Гидродинамические модели

Введение. Гидродинамические модели широко используются для исследования динамики плазмы. Особенно часто применяются одножидкостные модели (например, МГД – уравнения), в которых считается равной нулю масса электрона. Представляет значительный интерес построение одножидкостной гидродинамической теории плазмодинамики без этого допущения. В этой работе указан конкретный способ такого построения, составляющий содержание так называемой двухжидкостной ЭМГД – теории (ЭлектроМагнитной ГидроДинамики).

Как известно, МГД пригодна для исследования преимущественно крупномасштабных процессов в плотной плазме. Формально требуется, чтобы погонное число частиц плазмы было достаточно большим. Для изучения мелкомасштабных процессов и процессов в разреженной плазме обязателен учет инерции электронов, что с необходимостью приводит к рассмотрению двухжидкостной гидродинамики плазмы. Оказывается, однако, что двухжидкостную гидродинамику нерелятивистской плазмы удается свести к одножидкостной [1]. Это простое, но неочевидное наблюдение приводит в итоге к формально одножидкостным уравнениям двухжидкостной электромагнитной гидродинамики – ЭМГД – уравнениям, применимость которых уже не зависит от величины погонного числа частиц. Формальная одножидкостность позволяет успешно решать многие задачи плазмодинамики, а получаемые при этом результаты приводят к интересным и нетривиальным двухжидкостным эффектам коллективного течения электронов и ионов.

Основные идеи развиваемого подхода были изложены почти 20 лет назад [1]. С тех пор в условиях целенаправленного уничтожения отечественной фундаментальной науки удалось продвинуться по ряду важных направлений [2,3,4,5,6]. В данной работе на новом уровне понимания изложены ключевые положения двухжидкостной ЭМГД – теории: уравнения динамики плазмы, закон сохранения энергии, дисперсионные соотношения, условия на разрыве, предельные переходы и пр..

§1. Основные уравнения (бездиссипативный случай).

Набросаем схему учёта инерции электронов в контексте одножидкостного формализма, возвращаясь впоследствии к более детальному рассмотрению отдельных её этапов.

Исходной точкой является двухжидкостная гидродинамическая модель плазмы (для простоты ниже рассматривается только бездиссипативный случай и предполагается отсутствие гравитационных и прочих внешних сил):

(1)

(2)

Выше для электронного и ионного газов написан стандартный гидродинамический формализм (1), который замыкается уравнениями электродинамики Максвелла (2). Предполагая плазму нерелятивистской , зачеркнем в системе (1,2) все члены релятивистского порядка малости. Таких членов всего два, и они содержатся в уравнениях Максвелла – это (ток смещения) и (Ниже эта процедура будет выполнена математически корректно, поэтому здесь ограничимся сказанным.). В итоге приходим к системе (1,3), где

(3)

Система (1,3) получалась как промежуточный этап в ряде работ, но всегда браковалась по следующей причине: считалось что в ней из–за отбрасывания тока смещения в уравнениях Максвелла, отсутствует уравнение для электрического поля . Это, как мы увидим, ошибочное заключение приводило к ошибочным действиям: чтобы получить уравнение на , в уравнении импульсов для электронов выбрасывался инерционный член , что мотивировалось малостью отношения <<1. Не останавливаясь на критическом разборе указанных тезисов, констатируем, что, в действительности, система (1,3) является замкнутой и определенной ( количество неизвестных совпадает с количеством уравнений). Плазма, согласно этой системе, будет квазинейтральной , а электромагнитное поле – квазистационарным. Что касается уравнения для , оно получается заменой неизвестных в системе (1,3):

(4)

Вектор обычно называется коллективной, или массовой гидродинамической скоростью плазмы и равен скорости движения центра масс единичного объема плазмы. Обратное преобразование имеет вид:

(5)

Замена неизвестных (4) имеет смысл, поскольку из двух неизвестных плотностей независимой является (ввиду условия квазинейтральности и соотношений ) только одна, и то же верно для неизвестных скоростей , ввиду закона Ампера:

Подставляя в (1,3) выражения (5), после несложных преобразований получим следующую систему:

(6)

(7)

Система (6,7) называется уравнениями двухжидкостной электромагнитной гидродинамики плазмы, или ЭМГД – уравнениями.

Уравнения неразрывности и импульсов (6) получаются сложением, соответственно, уравнений неразрывности и импульсов системы (1), а уравнение для электрического поля системы (7) (обобщенный закон Ома) получается вычитанием из "+" – уравнения импульсов системы (1) , умноженного на , " –" – уравнения импульсов, умноженного на . Системы (6,7) и (1,3) математически эквивалентны, поскольку в силу условий квазинейтральности и закона Ампера "±" – уравнения неразрывности системы (1) равносильны.

Решив систему (6,7) и найдя, в частности , по формулам (5) восстановим гидродинамические параметры плазменных компонент. Принципиально важно, что электроны и ионы с получаемыми таким образом параметрами удовлетворяют точным законам сохранения массы, энергии, импульса (1). В то же время, как следует из (6,7), ЭМГД – уравнения дают одножидкостную, но двухтемпературную гидродинамическую модель плазмы.

Следует подчеркнуть, что изначально вовсе не очевидно, что двухжидкостную систему (1,3) математически корректно удасться свернуть в одножидкостную. Именно этот простой, но важный факт лежит в основе успешного аналитического и численного исследования двухжидкостной системы (1,3), поскольку сводит такое исследование к изучению решений одножидкостных уравнений (6,7), что значительно проще. Например, при численном моделировании рассчитать эволюцию непосредственно из уравнений системы (1,3) неудобно поскольку эти неизвестные функции не являются независимыми и значит их дискретизация в каждый момент времени должна удовлетворять дискретизациям уравнений связи ( условию квазинейтральности и закону Ампера), что связано с дополнительными непростыми проблемами.

Преимущество системы (6,7) по сравнению с системой (1,3) фактически объясняется удачной заменой переменных (4). Хотя сама замена (4) была известна давно, но её применение к системе (1,3), вероятно, впервые было проанализировано в [1].

Сравним ЭМГД – уравнения с уравнениями холловской МГД [7] – типичной одножидкостной гидродинамической моделью плазмы, предполагающей массу электронов равной нулю. Рассмотрим наиболее употребительный случай, когда электроны и ионы суть идеальные политропные газы с общим показателем адиабаты :

(8)

Уравнения (8) образуют замкнутую систему относительно неизвестных функций . Поле исключается из числа неизвестных с помощью равенства, называемого обобщенным законом Ома. Система (8) получается из ЭМГД – уравнений (6,7), если там формально положить всюду . Тогда . При этом вместо энтропийных уравнений следует записать уравнения для давлений . Это вынужденная мера, поскольку при имеем , а , становятся бесконечными, и возникают проблемы с уравнениями состояния и термодинамикой электронов. Ниже будет показано, как получить холловскую МГД без этих неприятностей (количество которых увеличится. если считать электроны неидеальным газом ). Сравнивая (6,7) с (8), заключаем, что ЭМГД – уравнения отличаются от традиционных МГД – уравнений, во–первых, дополнительной силой

, (9)

действующей на единичный объем плазмы, и, во–вторых, существенным усложнением обобщенного закона Ома. Теперь поле не вычисляется по явной формуле через остальные параметры плазмы, а ищется как решение (вырожденной) эллиптической системы уравнений относительно компонент . С другой стороны, в правой части уравнения для появилось несколько новых ''холловских'' членов помимо классического холловского слагаемого – это комбинации , , , . Они ответственны за дополнительную генерацию поля , особенно существенную в разреженной плазме, а вторая производная может привести к появлению больших градиентов компонент поля

(пограничные и внутренние слои) даже в плотной плазме.

Физический смысл силы и дивергентный вид ЭМГД – уравнений. Несложно проверить, учитывая (5) и (9), что:

(10)

Квадратная скобка в (10) равна ускорению частицы, двигающейся в поле скоростей . Поэтому по второму закону Ньютона правая часть (10) равна суммарной силе, действующей на электроны и ионы в единичном объеме со стороны движущейся со скоростью плазмы и вызывающей их относительные движения со скоростями . Тогда по третьему закону Ньютона на движущуюся со скоростью плазму со стороны электронов и ионов действует суммарная сила, равная, согласно (10), . Тем самым плазма выступает как новая, "эффективная" сплошная среда с плотностью , гидродинамической скоростью , тензором внутренних напряжений ++ (см. ниже), законом сохранения полной энергии и т. д., обладающая "коллективными" свойствами, не сводящимися к простому сложению свойств слагающих её электронов, ионов и электромагнитного поля.

Рассмотрим тензоры:

. (11)

Учитывая равенства

, ,

получим дивергентные выражения для силы и правых частей уравнения импульса и обобщенного закона Ома:

,

где тензор имеет вид:

. (12)

В итоге приходим к следующей дивергентной форме ЭМГД – уравнений:

(13)

где тензоры вычисляются по (11) и (12).

Закон сохранения энергии в ЭМГД. Из термодинамических тождеств легко вытекают соотношения (индексы '' '' у всех величин опущены):

,

, (14)

.

Два последних тождества в (14) сильно упрощаются для идеального политропного газа (см. ниже):

.

Соотношения (14) позволяют вместо пары энтропийных уравнений написать пару уравнений относительно любой другой термодинамической характеристики среды (или ). Для плотности внутренней энергии это легко сделать в общем случае:

(15)

Для температуры и давления простые явные выражения получаются в случае идеальных политропных газов:

(16)

Заметим, что в последние два равенства масса входит несингулярным образом (что выше уже обыгрывалось при формальном переходе к холловской МГД).

Стандартным способом из уравнений (1) получается закон сохранения полной энергии для компонент:

.

Складывая эти равенства между собой и с законом сохранения электромагнитной энергии для квазистационарного электромагнитного поля:

,

получим закон сохранения полной энергии в ЭМГД:

.

Подставляя сюда соотношения (5), получим окончательное выражение:

(17)

где:

– объёмная плотность внутренней энергии плазмы,

.

Таким образом, у ЭМГД – плазмы имеется дополнительная внутренняя энергия с объёмной плотностью

,

а полная энергия переносится не только вдоль вектора гидродинамической скорости и вектора Умова-Пойнтинга , но и вдоль вектора плотности тока .

Вырожденная эллиптичность обобщенного закона Ома.

Обобщенный закон Ома в ЭМГД, согласно (13), имеет вид:

, (18)

где:

, .

Уравнение (18) является системой уравнений в частных производных

относительно компонент вектора , причем вырожденной, поскольку, как нетрудно проверить, характеристическая форма [8] этой системы тождественно равна нулю. Тем не менее решение системы (18), как сейчас будет показано, сводится к решению некоторой эллиптической системы уравнений. Это дает основание рассматривать обобщенный закон Ома (18) как, хотя и вырожденную, но все же эллиптическую систему уравнений.

Введем новую неизвестную

. (19)

Тогда из (18) выразим через :

. (20)

Подставляя (20) в (19), получим уравнение на :

где использованы очевидные равенства:

,

Итак, если удовлетворяет (18), то векторная функция , вычисляемая по (19), удовлетворяет, очевидно, системе уравнений:

(21)

и условию

. (22)

Обратно, пусть решение (21) удовлетворяет условию (22). Тогда поле , вычисляемое по (20), удовлетворяет уравнению(18). В самом деле, повторяя предыдущую выкладку, получим:

в силу (21) и (22). Но тогда (18) следует из (20).

Итак, для решения системы (18) необходимо и достаточно решить эллиптическую систему (21) с дополнительным ограничением (22), при этом решения систем (18) и (21) связаны формулой (19). Теперь убедимся, что условие (22) есть ограничение только на граничные значения (подразумевается, что система (21) решается в области с границей ). Для этого перепишем систему (21) в виде:

..

Применяя оператор к обеим частям последнего равенства, получим:

.

Отсюда для функции получаем эллиптическое уравнение:

Поскольку всюду в , то из принципа максимума для эллиптических уравнений [9] следует, что в тогда и только тогда, когда .

Итак, является решением системы (18) в области тогда и только тогда, когда функция является решением в эллиптической системы уравнений (21) с дополнительным граничным условием =0. Таким образом, граничные условия для системы (21) должны удовлетворять дополнительному соотношению . В появлении дополнительного граничного условия и состоит вырождение эллиптической системы (18). Этот вывод относится преимущественно к трёхмерным задачам (и для них наличие дополнительного граничного условия, скорей всего, благо). Для одномерных и двумерных задач система (18) сводится к паре эллиптических уравнений без всяких дополнительных граничных условий. Рассмотрим характерный пример двумерной осесимметричной задачи.

Тогда система (18) даёт:

(18`)

Второе уравнение системы (18`) является эллиптическим относительно (а в него не входят) и дополненное краевыми условиями позволяет найти . Для нахождения из первого и третьего уравнений системы (18`), введем новую неизвестную

(19`)

Тогда из (18`):

, (20`)

Подставляя (20`) в (19`), получим эллиптическое уравнение для нахождения :

(21`)

Дополненное граничными условиями, оно позволяет найти , после чего по (20`) вычисляются , которые, очевидно, дают решение (18`). Итак, решение системы (18) в осесимметричном случае сводится к решению пары эллиптических уравнений без всяких дополнительных граничных условий. Аналогично в случае цилиндрической симметрии из (18`) следует, что ищется в конечном виде, а для нахождения получаем тоже пару эллиптических уравнений без дополнительных граничных условий.

§2 Уравнения ЭМГД – теории с учетом диссипаций.

Учтем теперь влияние на динамику плазмы вязкости и теплопроводности электронов и ионов, омического сопротивления и других диссипативных факторов. Тогда исходная система (1) перепишется в виде:

(1`)

где , причем каждое уравнение системы (1`) являет набор двух уравнений для газов заряженных частиц с массами и зарядами , а все величины в (1`), за исключением и , имеют индексы .

Положим:

– тензор деформаций,

– тензор вязких напряжений,

– объемная сила трения между компонентами,

– тепло, передаваемое компонентами плазмы друг другу

при упругих столкновениях,

– закон Фурье для потока тепла в каждой компоненте плазмы.

Переходя к нерелятивистскому пределу в системе (1`, 2), являющейся

исходным пунктом построения, получим систему (1`, 3). Делая в ней замену переменных (4), переходим к следующей системе ЭМГД – уравнений с учетом диссипаций, которую сразу выпишем в дивергентном виде:

(13´)

Уравнение (13`а) получается сложением уравнений (1`,а, а уравнение (13`,б ) – сложением уравнений (1`,б) , уравнение (13`,г ) получается вычитанием из уравнения (1`,б), умноженного на , уравнения (1`,б), умноженного на . Тензоры имеют вид:

(23)

Здесь и ниже – единичный тензор, тензоры вычисляются по (11), а тензоры имеют вид:

(24)

где – тензоры деформаций. Наконец,

(25)

,

где – электропроводность плазмы, – магнитная вязкость.

В системе (13׳) след легко выражается через , если воспользоваться выражениями:

.

Итак, полная система ЭМГД – уравнений с учетом диссипаций образована уравнениями систем (13׳, 3). Заметим, коэффициент у дифференциального оператора в(13',г) равен где – локальная плазменная частота, . Энтропийные уравнения (13׳, в) можно заменить на уравнения:

А если компоненты плазмы – идеальные газы, то на одну из следующих пар уравнений:

(26)

Установим закон сохранения полной энергии для ЭМГД – уравнений с учетом диссипаций. Воспользуемся уравнением для плотности внутренней энергии каждой компоненты плазмы:

.

Складывая это уравнение с уравнением (1', б) , скалярно умноженным на , получим закон сохранения энергии для каждой плазменной компоненты:

.

Складывая последние уравнения между собой и с законом сохранения электромагнитной энергии (см. §1), получим искомый закон сохранения полной энергии для ЭМГД – уравнений с учетом диссипаций:

(27)

В случае, когда вязкостью и теплопроводностью электронов и ионов можно пренебречь, закон сохранения (27) после подстановки соотношений (5) редуцируется к уже полученной ранее форме (17).

Отметим, что существуют более сложные способы вычисления тензоров , векторов и величин [10], учитывающие, в частности, анизотропию замагниченной плазмы. Их анализ в контексте ЭМГД – модели не порождает серьёзных проблем и может оказаться исключительно важным для исследования тонких эффектов динамики плазмы.

§3. Предельные переходы.

Дадим теперь математически корректный рецепт получения основных гидродинамических моделей плазмы типа ЭМГД, холловской и классической МГД. Предварительно сделаем несколько общих замечаний.

Запись физических законов в виде математических уравнений, как правило, зависит от выбора единиц измерения физических величин. Чтобы избавиться от этой зависимости, необходимо, обезразмерить все величины, участвующие в уравнениях. При этом возникает зависимость уравнений от безразмерных параметров – чисел подобия, количество которых определяется имеющимися соотношениями между характерными масштабами. Сами числа подобия тоже определяются неоднозначно: любое взаимно – однозначное гладкое преобразование чисел подобия снова даёт числа подобия. Формально, чисел подобия заполняют множество , а физический предельный переход сводится к следующей математической конструкции. Фиксируется гладкая поверхность в и её предельная точка (быть может бесконечно удаленная). Предполагая решение обезразмеренной системы уравнений аналитически зависящим от точки на , разложим его в степенной ряд по в окрестности , предварительно выбрав локальные координаты на . Тогда уравнения на нулевые коэффициенты разложений дадут физический предел исходной системы уравнений при . Физическое содержание предельного перехода определяется выбором поверхности , локальных координат и . Есть и математическое требование: цепочка уравнений на коэффициенты уравнений должна расцепляться, в частности, все коэффициенты разложений в принципе могут быть найдены. Как правило, за счет удачного выбора координат в пространстве чисел подобия удаётся добиться, чтобы было пересечением гиперплоскости вида с а для некоторого .

Рассмотрим теперь безразмерный вид ЭМГД – уравнений. Для простоты из диссипативных эффектов учитываем только омическое сопротивление и предполагаем электроны и ионы идеальными политропными газами с общим показателем адиабаты.

(29)

где тензор имеет вид:

.

Числа подобия вычисляются по формулам:

где квадратные скобки означают характерный масштаб соответствующей величины, – характерная альфвеновская скорость. При этом приняты следующие соотношения:

(29)

где – постоянная Больцмана. Если отказаться от каких–то соотношений (29), то в системе (28) появятся новые числа подобия. Однако часто, наоборот, вводят ещё одно соотношение между характерными масштабами: . Тогда где – параметр удержания. В частности, решения идеальной ЭМГД зависят только от двух безразмерных параметров и .

МГД – предел. Ищем решение системы (28) в виде рядов по степеням :

(30)

(Формально,

, – предельная точка ). Коэффициенты разложений (30) зависят от времени,

пространственных координат и, как от параметров, чисел подобия . Подставляя разложения (30) в систему (28) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в каждом уравнении системы, получим бесконечное семейство уравнений. Несложно устанавливается следующий результат.

Теорема 1. Семейство уравнений на коэффициенты разложений можно разбить в последовательность групп уравнений, занумерованных целыми числами 0, 1, 2, …, так что:

1)  Уравнения – ой группы, , образуют замкнутую определенную линейную систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно , коэффициенты и правые части которой зависят только от коэффициентов разложений с индексами ; причем коэффициенты линейной системы зависят только от коэффициентов разложений с нулевыми индексами, а дифференциальный оператор уравнений – группы, , не зависит от .

2)  Уравнения 0 – ой группы образуют замкнутую определенную нелинейную систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно , в размерном виде совпадающую с уравнениями классической двухтемпературной МГД (31)

В частности, сложением ± – уравнений для давлений из неё получается система уравнений классической (однотемпературной) МГД.

Итак, уравнения классической МГД получаются из ЭМГД – уравнений предельным переходом и никак не связаны, вопреки существующему мифу, с малостью отношения масс (для электрон – ионной плазмы). Из выражения для следует, что предельный переход физически соответствует неограниченному увеличению погонного числа частиц (в данном случае электронов), и, следовательно, МГД – теория описывает крупномасштабные процессы в плотной плазме. Из безразмерных

выражений

вытекает, что в пределе для нулевых коэффициентов разложений . Поэтому в МГД – пределе электроны и ионы, сцепившись, двигаются как единое целое с общей гидродинамической скоростью . Этот вывод вступает в противоречие с исходной идеей, согласно которой в плазме электроны оторваны от ионов и могут свободно перемещаться, сдерживаемые лишь силами электрического и магнитного взаимодействия (не считая внешних сил). Указанное противоречие свидетельствует о переупрощенном характере МГД – теории. Наконец, из Теоремы 1 следует, что цепочка уравнений на коэффициенты разложений (30) расцепляется, и все коэффициенты в принципе могут быть найдены.

Предел холловской МГД. Рассмотрим отрезки разложений (30), состоящие из первых двух членов:

, , …

Несложно проверить, что с точностью до слагаемых ~ функции ,

, … удовлетворяют следующей размерной системе уравнений:

(32)

При этом:

. (32`)

Получили почти холловскую МГД. Если положить в (32) и (32`) , то приходим к традиционной холловской МГД (см. систему (8) из §1).

Развивая предыдущую идею, можно получить систему уравнений, выполненных с точностью до слагаемых ~ для отрезков разложений (30), состоящих из слагаемых:

, , … .

Однако, возникающие таким образом системы "суперхолловских" МГД – (назовем их холловскими МГД порядка ) необходимо забраковать. Причина этого поучительна, в том числе и для понимания места самой классической холловской МГД в плазмодинамике, поэтому остановимся на этом подробнее.

При выводе уравнений для … необходимо использовать выражения для предыдущих приближений. Например, для функции … удовлетворяют с точностью до членов ~ следующей размерной системе уравнений:

(33)

Система (33) отличается от ЭМГД – уравнений только упрощенным обобщенным законом Ома: для вычисления теперь не надо решать систему дифференциальных уравнений, а можно воспользоваться явной формулой. То же будет и для : система уравнений на … отличается от ЭМГД – уравнений только обобщенным законом Ома, который сводится к явной, хотя и весьма громоздкой формуле для . При рекуррентная формула для имеет вид:

,

где вычисляются по формулам систем (31), (32), (33) соответственно.

Чтобы оценить полученные системы уравнений, рассмотрим акустику однородной неподвижной идеальной плазмы в силу системы уравнений холловской МГД порядка для . Дисперсионное уравнение для волн ~ имеет вид:

, (34)

где

, ,

, , .

В частности, для классической холловской МГД (32) имеем дисперсионное уравнение:

, (35)

где

– коллективная скорость звука,

– плазменная частота,

– альфвеновская скорость,

–квадраты быстрой (+) и медленной магнитозвуковых скоростей.

Напомним, – параметры невозмущенной плазмы, а символы означают проекции вектора вдоль и поперек волнового вектора , определяющего направление распространения волны.

Дисперсионное уравнение (35) позволяет выявить узкое место классической холловской МГД, а уравнение (34) заставляет забраковать холловские МГД порядка n при n>1. Согласно (35), уравнения акустики однородной неподвижной плазмы в силу классической холловской МГД имеет три ветви колебаний. Ветвь, имеющая асимптотику в нуле (называемая БМ3 – ветвью), на бесконечности имеет асимптотику , а значит её групповая скорость стремится к при . Но групповая скорость равна скорости пространственного перемещения волнового пакета колебаний с длиной волн . Поскольку решение уравнений акустики распадается в сумму волновых пакетов по всем и всем веткам дисперсионной кривой, то из неограниченности групповой скорости для БМ3 – ветви следует, что начальное возмущение однородной плазмы мгновенно, с бесконечной скоростью распространится на все пространство, что физически абсурдно. Это не так лишь в случае , т. е. для поперечного распространения волн.

Неудивительно поэтому, что успешные приложения холловской МГД относятся именно к случаям течения плазмы поперек силовых линий магнитного поля (Z–пинчи, плазменные ускорители, плазменные двигатели и пр.). К сожалению, подавить бесконечный рост групповой скорости с помощью системы уравнений холловской МГД порядка n при n>1 на функции , ,… не удается. Более того, неприятности начинаются и при поперечном распространении волн. Действительно, как следует из (34), при для БМ3–ветви:

Но при n четном, очевидно,

и значит для всех достаточно больших k последнее подкоренное выражение отрицательно, поэтому для всех достаточно больших k колебания с длиной волны заведомо неустойчивы.

При n нечетном имеем

~,

что приводит к физически абсурдному бесконечному росту групповой скорости уже и для БМ3–ветви. Но это значит, что, на первый взгляд разумные, холловские МГД порядка n на самом деле непригодны при n>1 даже для описания (и тем более, численного исследования) течений плазмы поперек магнитного поля. В то же время, хотя традиционная холловская МГД применима для моделирования поперечных течений квазинейтральной нерелятивистской плазмы, но она в принципе непригодна для исследования течений под произвольным углом к магнитному полю.

Принято считать [7], что параметр учитывает различие электронной и ионной скоростей. В полном объеме это различие содержится в ЭМГД – уравнениях, в 1–м приближении – в уравнениях холловской МГД (32), во 2–м приближении – в системе (33) и т. д. Но, как только что было показано, такой способ приближенного учета различия электронной и ионной скоростей неудачен. Поэтому укажем ещё один путь теоретически сколь угодно точного учета этого различия. Имеем систему уравнений, выполненных с точностью до слагаемых ~ :

(36)

Если для какого–то nверхний индекс <0, то соответствующее слагаемое выпадает. В частности, – это классическая (двухтемпературная) МГД. Система позволяет на каждом временном шаге за n итераций вычислить с точностью , обращая на каждой итерации один и тот же дифференциальный оператор классической МГД с правой частью, вычисляемой по предыдущим приближениям. Возможны различные стратегии счета на каждом шаге: либо делать заданное (быть может, зависящее от шага) число итераций, либо итерировать до установления и т. д.

ЭМГД–предел. Рассмотрим математически корректный способ вывода ЭМГД– уравнений. За отправной пункт возьмем уравнения общей теории относительности (ОТО) Эйнштейна [11] и для простоты ограничимся случаем идеальной плазмы. Из уравнений ОТО для смеси электронного, ионного газов и электромагнитного поля легко выводятся [12] уравнения релятивистской электромагнитной газодинамики (РЭМГД–уравнения):

(37)

,

,

,

,

, ,

где гидро – и термодинамические уравнения суть пары уравнений для

электронов и ионов, а все величины, за исключением , имеют индексы “±” . Здесь – плотность массы покоя, – давление и температура в собственной системе координат, – плотность внутренней энергии и энтропии на единицу массы покоя. В системе (37) помимо диссипативных эффектов не учитывается производство энергии за счет ядерных, химических реакций и гравитации. Если электроны и ионы – идеальные политропные газы с общим показателем адиабаты , то энтропийные уравнения заменяются на следующие:

.

В безразмерном виде РЭМГД – система (для идеальной плазмы с политропными электронами и ионами) сводится к уравнениям:

(38)

где – числа подобия:

и приняты соглашения о характерных масштабах:

, .

Здесь квадратные скобки означают характерный масштаб величины; – характерный заряд, – характерная масса, – характерная длина и т. д.

Если ввести, как это часто делается, дополнительные соотношения между характерными масштабами:

, ,

то остается только три независимых числа подобия , – параметр удержания, , а остальные равны , , . Ищем решение безразмерной системы РЭМГД – уравнений (38) в виде рядов по степеням:

, , … (39)

где коэффициенты разложений зависят от времени, пространственных координат и, как от параметров, чисел подобия Подставляя разложения (39) в уравнения системы (38) и приравнивая в каждом уравнении коэффициенты при одинаковых степенях , получим семейство уравнений на коэффициенты разложений.

Теорема 2. Семейство уравнений на коэффициенты разложений (39) распадается в последовательность групп уравнений, занумерованных целыми числами 0, 1, 2, …, так что:

1)Уравнения к – ой группы, к>0 образуют замкнутую определенную линейную систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно , коэффициенты и правые части которых зависят только от коэффициентов разложений с индексами <к, причем коэффициенты системы зависят только от нулевых коэффициентов разложений, а дифференциальный оператор уравнений к – ой группы, к>0 не зависит от к.

2) Уравнения 0 – ой группы образуют нелинейную замкнутую определенную систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно , в размерном виде совпадающую с ЭМГД – уравнением для идеальной плазмы с политропными электронами и ионами:

,

,

,

Заметим, что сами доказательства Теорем 1,2 и им подобных сводятся к несложной проверке. Ключевым и неочевидным моментом является выбор параметров разложения, обеспечивающих, с одной стороны, нахождение всех коэффициентов разложения (цепочка уравнений на коэффициенты разложений должна расцепляться), а, с другой, – получение нужной предельной системы.

§4. Благодарности.

Автор выражает благодарность , , и другим коллегам по работе за участие в обсуждении различных вопросов, относящихся к двухжидкостной плазмодинамике.

Автор признателен также Российскому Фонду Фундаментальных Исследований за финансовую поддержку этой работы.

Автор выражает благодарность за качественный набор текста.

Литература.

1.  . Линейные волны в нерелятивистской магнитной гидродинамике. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АНСССР,1988,N199.

2.  . Апериодические колебания холодной плазмы. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АНСССР. 1991, N33.

3.  , . Двухкомпонентная квазинейтральная плазма в плоском канале (установившееся течение) Сб. Динамика неоднородных систем под ред. ИСА РАН, N8, 2004, стр.186-211.

4.  , . Установившееся течение двухкомпонентной вязкой плазмы в цилиндрической трубе и цилиндрическом слое. Препринт ИПМ им. М.И. Келдыша РАН, 2004, N7.

5.  , . О вынужденных колебаниях плазмы в круглой цилиндрической трубе. Часть I. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2005, N76.

6.  , . Уравнение равновесий плазмы в двухжидкостной плазмостатике. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2005, N74.

7.  , , Стационарное течение плазмы в магнитном поле. Вопросы теории плазмы. Сб. статей под ред. . Вып.8, М., Атомиздат, 1974, стр. 3-87.

8.  . Уравнения математической функции. М., "Наука", 1976, стр.9-15.

9.  . Введение в теорию эллиптических уравнений. Изд-во МГУ, 1979, стр.6-12.

10.  . Вопросы теории плазмы. Сб. статей под ред. М.А. Леонтовича. Вып.1, М. Госатомиздат, 1963, стр.183-272.

11.  Einstein A. // Ann. D. Phys., 1916, Vol.49, p.769.

12.  . К релятивистской гидродинамике. Препринт ИАЭ, N3362/1, М., 1980. (. Собрание трудов в двух томах, т. II. М., "Наука", 2001, стр7-34).