Дифференциальные уравнения теплопроводности и конвективного теплообмена

18 Дифференциальные уравнения

теплопроводности и конвективного

теплообмена

18.1 Дифференциальное уравнение теплопроводности

В соответствии с первым законом термодинамики теплота, передаваемая твёрдому телу из окружающей среды, при отсутствии работы деформации полностью трансформируется во внутреннюю энергию тела.

Уравнение теплового баланса для элемента с величиной рёбер (рисунок 18.1) в однородном твёрдом теле имеет вид:

, (18.1)

где - элементарная теплота, передаваемая через грани выделенного элемента в направлении осей x, y,z ; dU - изменение внутренней энергии элемента.

В направлении оси x через грань dydz за время dt поступает в соответствии с законом Фурье теплота

За то же время через противоположную грань, расположенную на расстоянии dx от первой и имеющую температуру , из элемента передается теплота

Результирующая теплота, подведенная теплопроводностью к элементу в направлении оси х, равна

(18.2)

Аналогично определяется результирующая теплота в направлении осей y и z :

(18.3)

Изменение внутренней энергии элемента составляет

(18.4)

C учетом (18.2-18.4) уравнение (18.1) имеет вид:

(18.5)

После сокращений в уравнении (18.5) получается:

(18.6)

Выражение (18.6) называют дифференциальным уравнением теплопроводности. Его записывают и в таком виде:

, (18.7)

где - коэффициент температуропроводности, характеризующий темп изменения температуры;

- оператор Лапласа.

Уравнение (18.7) описывает в самом общем виде процесс теплопроводности и устанавливает связь между временными и пространственными изменениями температуры тела. Для его решения применительно к определенной задаче необходимо математическое описание конкретных условий, называемых условиями однозначности, которые включают:

временные или начальные условия, определяющие распределение температуры в теле в начальный момент;

геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела;

физические условия, задаваемые теплофизическими параметрами вещества, составляющего рабочее тело;

граничные условия, определяющие характер взаимодействия тела с окружающей средой на границе соприкосновения.

Начальные условия имеют смысл при нестационарной теплопроводности и обычно задаются законом распределения температур по всему объему тела для момента времени t = 0.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Если для любого момента времени известно распределение температур на границе тела, то это называют граничными условиями первого рода.

При граничных условиях второго рода задаётся поверхностная плотность теплового потока (а, следовательно, и температурный градиент) в каждой точке поверхности тела для любого момента времени. Температура на поверхности тела при этом неизвестна.

Граничные условия третьего рода предполагают, что известна температура окружающей среды и закономерность взаимосвязи между этой температурой и температурой тела. В условиях конвективного теплообмена связующим является уравнение Ньютона-Рихмана.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности позволяет получить температурное поле исследуемого тела для любого частного случая в любой момент времени. Такое аналитическое решение позволяет в ряде случаев избавиться от проведения сложных и дорогостоящих экспериментальных работ.

18.2 Распределение температур в однослойной

плоской стенке

Пусть теплота передается через плоскую стенку (рисунок 15.2а) толщиной d. Размеры стенки в направлении осей о-z и o-y не ограничены. Тепловой поток постоянный и не зависит от времени. Температура горячей поверхности стенки равна , температура холодной поверхности - .

Для этого случая одномерной задачи уравнение теплопроводности (18.7) имеет вид:

(18.8)

При принятых граничных условиях первого рода () последовательное интегрирование формулы (18.8) даёт:

(18.9)

Выражение (18.9) показывает линейную зависимость температуры по толщине стенки.

Для определения констант интегрирования используются граничные условия:

После подстановки констант в формулу (18.9) выражение для определения температуры в любом сечении стенки предстанет в таком виде:

, (18.10)

где x - отстояние сечения от начала координат

18.3 Теплопроводность при нестационарном режиме

Нестационарные процессы теплопроводности встречаются при нагревании и охлаждении металлических заготовок в литейном и кузнечном производствах, при обжиге кирпича, при запуске дизельных дизельных или карбюраторных двигателей, при прогреве холодных зданий, при замерзании рек и водохранилищ и т. д.

Как отмечалось в п 15.1 , нестационарная теплопроводность характеризуется уравнением

Указанная зависимость может быть определена из решения дифференциального уравнения теплопроводности (18.6) при граничных условиях третьего рода методами теории подобия.

Для одномерной нестационарной задачи изменение температуры по оси х и во времени определяется выражением, полученным из уравнения теплопроводности (18.7), которое для этого случая имеет вид:

Обработка этого выражения методами теории подобия выявляет число Фурье:

(18.11)

Обработка уравнения (18.11) , характеризующего граничные условия третьего рода, выявляет число подобия Био:

где l - характерный линейный размер геометрической системы, λ – теплопроводность стенки.

Число Био отличается от числа Нуссельта тем, что оно содержит теплопроводность материала тела, а не теплопроводность движущейся около тела жидкой или газообразной среды. Это число определяет соотношение теплоты, переданной конвективным способом, и теплоты, переданной внутри тела теплопроводностью.

Искомая функция в виде безразмерной температуры определяется в общем случае выражением

. (18.12)

В качестве примера ниже рассматривается процесс охлаждения равномерно прогретой пластины с начальной температурой t , которая омывается с обеих сторон жидкостью или газом с температурой при коэффициенте теплоотдачи a. Размеры пластины в направлении осей y и z считаются неограниченными, а физические характеристики материала пластины - теплопроводность l, теплоёмкость с и плотность r - постоянными.

Решение задачи представляется в виде:

(18.13)

где - температуры на поверхности и в центральном сечении пластины.

Отсутствие в формулах (18.13) линейного симплекса объясняется тем, что в средней плоcкости и на поверхности пластины температуры постоянны и изменяются только в направлении оси x.

Теплота, передаваемая пластиной в окружающую среду за время t, равно изменению внутренней энергии пластины за период охлаждения.

Начальная внутренняя энергия пластины, отсчитанная от внутренней энергии при температуре среды как от нуля, равна

(18.14)

Отношение теплоты, переданной за период t, к начальной внутренней энергии пластины определяется также безразмерными числами Био и Фурье:

(18.15)

Конкретные решения уравнений (18.13,18.15) обычно представлены в виде графиков или в табличной форме (cм. таблицу 18.1). При решении конкретной задачи вначале подсчитывают числовые значения определяющих критериев, а затем, пользуясь таблицей, находят искомые значения.

Решения, аналогичные вышеизложенному, имеются для других геометрических систем - цилиндрических тел, шаров и др.

Таблица 18.1 - Расчётные зависимости для пластины

Bi	0,001	0,01	0,1	0,5	1	4	10	20	50
Fo	θп/θ = f 1(Fo, Bi)
0,05 0,1 0,5 1 2 5 10 20 50	1 1 1 1 0,99 0,98 0,96	1 0,99 0,99 0,98 0,95 0,90 0,82 0,61	1 0,97 0,92 0,83 0,62 0.37 0,14 0,01	1 0,87 0,70 0,46 0,13 0,02 0	1 0,78 0,54 0,31 0,03 0	1 0,98 0,56 0,25 0,06 0	1 0,97 0,46 0,16 0,02 0	1 0,96 0,41 0,13 0,01 0	1 0,95 0,39 0,12 0,01 0
Fo	θц/θ = f 2(Fo, Bi)
0,02 0,05 0,1 0,5 1 2 5 10 20 50	1 1 1 1 1 1 1 0,99 0,98 0,96	0,99 0,99 0,99 0,99 0,98 0,97 0,95 0,90 0,81 0,60	0,98 0,98 0,97 0,92 0,88 0,79 0,59 0,36 0,13 0,01	0,93 0,89 0,85 0,69 0,56 0,37 0,10 0,01 0	0,86 0,79 0,73 0,51 0,35 0,17 0,02 0	0,59 0,46 0,37 0,170,08 0,02 0	0,34 0,23 0,17 0,06 0,02 0	0,19 0,12 0,06 0,01 0	0,08 0,05 0,04 0,01 0
Fo	Ф/θ = f 3(Fo, Bi)
0,02 0,05 0,1 0,5 1 2 5 10 20 50	0,01 0,02 0,04	0,01 0,02 0,05 0,10 0,18 0,39	0,01 0,02 0,05 0,10 0,17 0,39 0,62 0,81 0,92	0,01 0,03 0,09 0,17 0,31 0,62 0,84 0,93 0,99	0,01 0,02 0,05 0,20 0,35 0,59 0,88 0,99 1	0,02 0,04 0,08 0,32 0,53 0,78 0,98 1	0,05 0,12 0,20 0,58 0,81 0,96 1	0,09 0,18 0,27 0,69 0,89 0,98 1	0,12 0,23 0,34 0,75 0,92 0,99 1

18.4 Дифференциальные уравнения конвективного

теплообмена

Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена учитывают особенности гидродинамики потока и влияние различных факторов на теплообмен между потоком и поверхностью твердого тела.

Гидродинамика потока описывается уравнением движения вязкой жидкости (уравнением Навье-Стокса) и уравнением неразрывности (сплошности) потока.

Уравнение движения учитывает влияние сил инерции (левая часть

уравнения), сил вязкостного трения (третье слагаемое в правой части), сил статического давления (второе слагаемое в правой части) и гравитационных сил (первое слагаемое в правой части). Оно определяет поле скоростей во времени, а также в пространстве, и в проекции на ось х имеет следующий вид:

(18.16)

где выделенное скобками в левой части выражение представляет собой полную или субстанциальную (в пространственных и временных координатах) производную от скорости . С учетом этого

(18.16а)

Аналогично записываются уравнения в проекции на оси y и z:

(18.16б)

(18.16в)

В формулах (18.16): r - плотность вязкой жидкости, - проекции скорости на соответствующие оси x, y и z , p - давление, m - коэффициент динамической вязкости.

Уравнение сплошности выводится на основе закона сохранения массы и говорит о том, что в любом сечении неразрывного потока жидкости или газа массовый расход имеет одно и то же значение:

(18.17)

В основу вывода дифференциального уравнения энергии для движущегося потока сжимаемой вязкой жидкости положен закон сохранения энергии. Это уравнение определяет изменение температуры жидкости во времени и в пространстве. В отличие от дифференциального уравнения теплопроводности в уравнении энергии учитывается то обстоятельство, что в движущемся потоке температура изменяется не только за счет нагревания или охлаждения, но и в связи с изменением положения этой жидкости в пространстве. Этим объясняется появление в правой части формулы (18.19) субстанциальной производной от скорости:

(18.19)

Дифференциальное уравнение, описывающее процесс теплообмена на границе жидкости и стенки (16.3) , уже было применено ранее в п. 16.2.

18.5 Условия гидродинамического подобия

Для двух подобных систем, в которых протекают подобные процессы, записываются уравнения движения

(18.20)

Для подобных процессов

Если выразить переменные второй системы через переменные первой системы и множители подобного преобразования, то получится

(18.21)

Тождественность уравнений (18.20) и (18.21) возможно при следующем условии:

Из равенства получается индикатор подобия и число гомохронности

Из условия получается индикатор подобия , которому соответствует число Фруда

Следующее равенство даёт индикатор подобия и число Эйлера

Из условия следует индикатор подобия и число Рейнольдса

где - кинематическая вязкость.

Из полученных чисел подобия определяющим в гидродинамических задачах является число Эйлера

(18.22)

Для стационарных гидродинамических процессов, когда фактор времени не имеет значения, выражение (18.22) упростится

(18.23)

При естественной конвекции скорость потока определить чрезвычайно сложно, поэтому часто число Фруда преобразуют в более удобное число Грасгофа, которое равно произведению числа Фруда на квадрат числа Рейнольдса и отношение плотностей свободно движущейся среды:

, (18.24)

где b - температурный коэффициент объемного расширения жидкости.

Замена отношения плотностей произведением температурного объемного коэффициента на разность температур объясняется тем, что причиной естественной конвекции является разность плотностей жидкости, которая образуется из-за изменения температуры.

Анализ уравнения сплошности (18.17) показывает, что новых чисел подобия, кроме тех, что получены из уравнений энергии, движения и теплообмена, это выражение не дает.

18.6 Тепловое подобие

Ранее, в главе 16, было показано, что из дифференциального уравнения, описывающего процесс теплообмена на границе между жидкостью и стенкой, получается число Нуссельта

Уравнения, описывающие процесс энергообмена в потоке жидкости, для двух подобных систем

Множители подобных преобразований равны

Переменные второй системы выражаются через переменные первой системы и множители подобного преобразования:

Условия подобия определяются равенством

Из первого равенства следует индикатор подобия и уже знакомое (см. п.18.3) число Фурье

Из второго равенства получается индикатор подобия и число Пекле

При делении числа Пекле на число Рейнольдса получается новый безразмерный комплекс - число Прандтля:

Условия теплового подобия процессов в общем виде выглядит так:

(18.25)

Для стационарных процессов числа подобия, имеющие в своем составе время, не являются определяющими, и уравнение (6.23) в этом случае упрощается

(18.26)

При свободной конвекции, когда вынужденное движение отсутствует, число Рейнольдса, характеризующее этот режим, отсутствует

(18.27)

Конкретный вид критериальных зависимостей для различных случаев конвективного теплообмена дан ранее в главе 17 .