Цифровая обработка сигналов (стр. 4 )

Для преобразования делаем замену:

, где т. к.

с. - период дискретизации.

- частота среза исходного ЦФ ФНЧ.

- частота среза преобразованного ЦФ ФНЧ1.

Нахождение H(z) для ФНЧ1:

, где ,

,,

, .

Структурная схема ЦФ ФНЧ1

АЧХ ЦФ ФНЧ (пунктир) и ЦФ ФНЧ1 (сплошная)

5.3.5.2. Преобразование ФНЧ в ФВЧ

Для преобразования возьмем системную функцию ЦФ синтезированного по методу Z-форм:

,

где ,,,,.

Для преобразования делаем замену:

, где т. к.

с. - период дискретизации,

- частота среза исходного ЦФ ФНЧ,

- частота среза преобразованного ЦФ ФВЧ.

Нахождение H(z) для ФВЧ:

, где ,

,

,

, .

Структурная схема ЦФ ФBЧ

АЧХ ЦФ ФНЧ (пунктир) и ЦФ ФBЧ (сплошная)

5.3.5.3. Преобразование ФНЧ в ПФ

Для преобразования возьмем системную функцию ЦФ синтезированного по методу Z-форм:

,

где ,,,,.

Для преобразования делаем замену:

,

,

, где

- частота среза исходного ЦФ ФНЧ, Т=10-5 с,

, .

Нахождение H(z) для ПФ: H(z)=

В результате упрощений была получена системная функция ПФ:

,

где ,

,

,

,

,

,,

.

Численные значения коэффициентов цифрового ПФ:

Структурная схема цифрового ПФ

АЧХ ЦФ ФНЧ (пунктир) и ПФ (сплошная)

A(w)-АЧХ исходного ЦФ, An(w)-АЧХ ЦФНЧ, Av(w)-АЧХ ЦФВЧ (точки),

Apf(w)-АЧХ ПФ (пунктир)

5.3.6. Нахождение нулей и полюсов

Возьмем системную функцию ЦФ, синтезированного по методу Z-форм

,

где .

Чтобы найти значения нулей и полюсов, перейдем к положительным степеням z: .

Найдем значения полюсов, для этого приравняем знаменатель системной функции к нулю, чтобы получить характеристическое уравнение:, найдем корни этого уравнения:

,

.

Значения полюсов: и .

Для нахождения значения нулей вынесем общий множитель 0,06514 из числителя, чтобы получить характеристическое уравнение:, корни этого уравнения:

, .

Значения нулей: и .

Картина нулей и полюсов на комплексной Z-плоскости

5.3.7. Проверка условия устойчивости фильтра

Устойчивость фильтра определяется значениями коэффициентов b1 и b2.

.

Корни этого уравнения:, .

Фильтр устойчив, когда ïZï 1.или , т. е. .

Рассмотрим два случая:

7.1.  Когда дискриминант больше либо равен нулю , отсюда:

в результате решения этого неравенства получаем четыре попарно равных неравенства: .

7.2.  Когда дискриминант меньше нуля , то:

.

По полученным неравенствам построим треугольник устойчивости:

Треугольник устойчивости

Так как точка с координатами ( b1,b2 ) внутри треугольника устойчивости, то ЦФ ФНЧ является устойчивым.

Колебательные системы (КС): .

Апериодические системы (АС): .

Судя по треугольнику устойчивости, данный ЦФ ФНЧ является колебательной системой.

5.3.8. Расчет первых 10 отсчетов импульсной и переходной характеристик, выражение для системной функции и АЧХ ЦФ

Выражение для передаточной функции фильтра рассчитанного по методу Z-форм

,

где

Расчет АЧХ для фильтра синтезированного по методу Z-форм:

,

В системной функции H(z) производится замена z-1 à exp(-jwT):

,

разложение экспоненты через синусы и косинусы:

, где

,

.

АЧХ: .

С помощью передаточной функции запишем разностное уравнение:

, n³0.

Для расчета первых 10 отсчетов импульсной характеристики производится замена: , где ,

.

Численные значения первых 10 отсчетов импульсной характеристики:

График импульсной характеристики

Для расчета первых 10 отсчетов переходной характеристики в разностном уравнении производится замена: ,

где

Численные значения первых 10 отсчетов переходной характеристики:

График переходной характеристики

5.3.9. Структурная схема фильтра для прямой и канонической форм реализации

Системная функция ЦФ ФНЧ, синтезированного в пункте 4:

.

Структурная схема фильтра для прямой формы реализации

Структурная схема фильтра для канонической формы реализации

5.3.10. Алгоритм обработки фильтра для прямой и канонической форм реализации и объем вычислительных операций на один отсчет выходного сигнала

Исходя из структурной схемы фильтра для прямой и канонической форм реализации следует записать разностное уравнение и пояснить алгоритм формирования выходного сигнала по каждому из тактов его обработки.

5.3.11. Расчет среднеквадратического значения шума квантования всех источников

Т. к. , то для уменьшения схему ЦФ можно упростить. Эквивалентная шумовая схема фильтра для прямой формы реализации учитывая то что т. е. умножения не происходит, и то что при умножении на целое число шумы не вносятся:

Эквивалентная шумовая схема фильтра для прямой формы реализации

Где - это шумы АЦП, это шумы вносимые при умножении на коэффициент , и это шумы вносимые при умножении на коэффициенты и соответственно. Нахождение среднеквадратического значения шума АЦП:

.

,

,

,

где и корни характеристического уравнения , а и корни характеристического уравнения .

То есть .

.

В результате преобразования и подстановки, получаем:

.

, , где С разрядность АЦП.

Принимаем разрядность АЦП равной 8. Тогда:, отсюда .

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при умножении на k0:

.

,

,

.

Произведя расчет аналогичный расчету среднеквадратического значения шума АЦП, запишем аналитическое выражение для среднеквадратического значения шума вносимого при умножении на k0:

.

Среднеквадратическое значение шума вносимого при умножении на k0 в численном виде: , отсюда .

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при умножении на коэффициент b1:

.

,

,

.

.

В результате преобразования и подстановки, получаем:

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при умножении на коэффициент b1 в численном виде:

, отсюда: .

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при умножении на коэффициент b2:

.

Вывод аналитического выражения для коэффициента b2 и расчет численного его значения аналогичен, приведенному выше для коэффициента b1.

Среднеквадратическое значение шума вносимого при умножении на коэффициент b2 в численном виде:

, отсюда .

Эквивалентная шумовая схема фильтра для канонической формы реализации

Нахождение аналитического выражения для , вносимого со стороны АЦП, и , вносимого при умножении на коэффициент k0, аналогично проведенному выше для прямой формы реализации ЦФ. Численные значения также будут совпадать.

,

,

, .

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при умножении на коэффициент b1:

.

В численном виде:, .

Нахождение среднеквадратического значения шума вносимого при умножении на коэффициент b2 аналогично:

.

В численном виде: , отсюда .

5.3.12. Изменение значений нулей, полюсов и частотной характеристики при изменении коэффициентов ЦФ

Системная функция ЦФ ФНЧ синтезированного в пункте 4:

,

где

а) а1 = 0; системная функция имеет вид:,

Чтобы найти значения нулей и полюсов, перейдем к положительным степеням z:

Значения полюсов не изменяются т. к. не изменяется знаменатель H(z).

Найдем значения нулей:

т. к. , то , т. е., .

АЧХ исходного ЦФ - пунктир, АЧХ ЦФ, при а1 = 0 - сплошная

б) а2 = 0; системная функция имеет вид:,

Значения полюсов не изменяются т. к. не изменяется знаменатель H(z).

Найдем значения нулей: т. к. , то ,

Получили значения нулей: .

АЧХ исходного ЦФ - пунктир, АЧХ ЦФ при а2 = 0 - сплошная

в) а1 = а2= 0; системная функция имеет вид:,

Значения полюсов не изменяются т. к. не изменяется знаменатель H(z).

Найдем значения нулей: , получили значения нулей: .

АЧХ исходного ЦФ - пунктир, АЧХ ЦФ при а1 = а2= 0 - сплошная

г) b2 = а2= 0; системная функция имеет вид:, .

Найдем значения полюсов: Для этого приравняем знаменатель системной функции к нулю, чтобы получить характеристическое уравнение: , Значение полюса: .

Найдем значения нулей: т. к. , то ,

Получили значения нулей: .

АЧХ исходного ЦФ - пунктир, АЧХ ЦФ при b2 = а2= 0.- сплошная

д) b1 = 0; системная функция имеет вид:, .

Найдем значения полюсов: Для этого приравняем знаменатель системной функции к нулю, чтобы получить характеристическое уравнение: , Получили значения полюсов: ,

Значения нулей не изменятся.

АЧХ исходного ЦФ – пунктир, АЧХ ЦФ при b1 = 0 – сплошная.