Выполнение лабораторных работ (стр. 1 )

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Выполнение лабораторных работ является обязательной составной частью при изучении дисциплины “Физика”. Настоящая работа по разделу “Механика” составлена в соответствии с программой для технических специальностей вузов. В лабораторном практикуме изложены 16 лабораторных работ, которые нужно выполнить в первом (втором) семестре.

Цель практикума научить применять физические законы, изученные в теоретическом курсе, к решению конкретных практических задач. Также при выполнении лабораторных работ студенты приобретают навыки исследовательской работы, учатся пользоваться современными измерительными приборами и аппаратурой, знакомятся с методами измерений различных физических величин и обработкой полученных результатов.

Описание каждой работы содержит краткий теоретический материал, в котором излагается сущность изучаемого физического явления, затем. подробно раскрывается экспериментальная часть метода, положенного в основу изучения каждого опыта, а также приводится порядок выполнения работы и обработки результатов.

Практикум предназначен для студентов всех специальностей очной формы обучения.

 

ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

На каждое лабораторное занятие студент должен приносить с собой:

тонкую тетрадь, физический практикум, в котором дано описание выполняемой лабораторной работы, калькулятор, ручку, карандаш, линейку, миллиметровую бумагу для построения графиков

Студент обязан являться в лабораторию подготовленным. К лабораторным занятиям студенты готовятся в часы их самостоятельной работы. Для этого необходимо тщательно изучить описание работы по лабораторному практикуму, ознакомиться по конспекту и учебнику с теоретическим материалом, необходимым для сознательного выполнения работы. В результате студент должен понимать физическую сущность явлений, которые будут изучаться в предстоящем эксперименте; отчетливо представлять те действия, которые необходимо произвести при работе с установками.

Форма отчета выполняемой лабораторной работы должна быть подготовлена заранее дома.

ФОРМА ОТЧЕТА

Отчет каждой работы следует готовить в отдельной тонкой тетради (можно с двумя листами в зависимости от объема работы). Первый лист оформляется как титульный:

Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет» Институт фундаментальной подготовки Кафедра физики–2 Лабораторная работа № __ “Полное название работы” Работу выполнил: студент ______ гр. №__ дата: ______. Принял работу:

На следующей странице написать:

1) название работы;

2) цель работы;

3) приборы и принадлежности с их характеристиками;

4) расчетная формула с пояснением обозначений входящих в нее величин;

5) таблицы наблюдений (с учетом числа измерений);

6) вычисление искомой величины;

7) вычисление относительной погрешности в % и абсолютной погрешности;

8) окончательный результат с учетом абсолютной погрешности;

9) построение графиков;

10) выводы.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Погрешности измерений физических величин

Под измерением понимается сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения. Измерения разделяют на прямые и косвенные.

При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. К таким измерениям относятся измерения длины линейкой, штангенциркулем, микрометром; измерение массы тела, интервалов времени, величины напряжения или силы тока по шкале соответствующего прибора.

При косвенных измерениях интересующая нас физическая величина определяется вычислением по соответствующей формуле. Конкретная формула включает в себя ряд параметров, определяемых путем прямых измерений.

Например, при определении объёма V цилиндра необходимо измерить его диаметр D и высоту H, а затем по формуле V = πHD2/4 вычислить объём.

Некоторые физические величины, входящие в расчетную формулу, остаются неизменными (параметры измерительной установки, физические и математические константы), а некоторые величины xi при проведении серии опытов измеряются. Причем в общем случае, в каждом из опытов значения измеренной величины x1, x2, …, xn могут быть различными.

Это объясняется тем, что при измерении любой величины мы всегда получаем не истинное, а приближенное значение этой величины. Причина же связана как с измерительной точностью используемых инструментов и приборов, так и невозможностью учета всех внешних факторов, влияющих наконечный результат измерений.

Даже повторные измерения одной и той же величины при одних и тех же условиях и посредством одних и тех же приборов дают несколько различные результаты. Таким образом, любые измерения всегда выполняются с погрешностями или ошибками.

Погрешностью (или ошибкой) измерения называют отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины.

Классификация погрешностей измерений

По характеру проявления погрешности подразделяют на систематические и случайные.

Систематическая погрешность – это составляющая ошибки измерения, которая при повторных измерениях остаётся постоянной или изменяется по определенному закону. Эти погрешности могут быть обусловлены неправильным выбором метода измерения, несовершенством или неисправностью приборов (например, измерения с помощью прибора, у которого смещен нуль).

Для того чтобы максимально исключить систематические погрешности, следует всегда тщательно анализировать метод измерений, сверять приборы с эталонами. В дальнейшем будем считать, что все систематические погрешности устранены, кроме тех, которые вызваны неточностью изготовления приборов и ошибкой отсчета. Эту погрешность будем называть аппаратурной.

Случайная погрешность - это составляющая ошибки измерения, которая изменяется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Причина данной погрешности заранее не может быть учтена. Случайные погрешности зависят от несовершенства наших органов чувств, от непрерывного действия изменяющихся внешних условий (изменение температуры, давления, влажности, вибрация воздуха и т. д.).

Хотя исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, математическая теория случайных явлений дает возможность уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат измерений и установить разумное значение погрешностей. Для этого необходимо выполнить не одно, а несколько измерений той же самой величины, причем, чем меньшее значение погрешности мы хотим получить, тем больше измерений нужно произвести.

Иногда при проведении измерений возникают грубые погрешности или промахи, являющиеся результатом небрежности отсчета по прибору или неожиданных сильных воздействий на измерения, неразборчивости записи показаний. Например, запись результата 26,5 вместо 2,65; отсчет по шкале 18 вместо 13 и т. д. При обнаружении грубой ошибки результат данного измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить.

Обработка результатов прямых измерений

Обычно в реальных измерениях присутствуют и случайные и систематические (аппаратурные) погрешности. Если вычисленная случайная погрешность прямых измерений равна нулю или меньше аппаратурной в два и большее число раз, то при вычислении погрешности косвенных измерений в расчет должна приниматься аппаратурная погрешность. Если эти погрешности отличаются меньше, чем в два раза, то абсолютная погрешность вычисляется по формуле

(1)

Случайная погрешность измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины. Поэтому задача элементарной обработки результатов измерений заключается в установлении интервала, внутри которого с заданной вероятностью находится истинное значение измеряемой физической величины.

Пусть в результате прямых измерений физической величины получен ряд ее значений: x1, x2, ..., xn.

Зная этот ряд чисел, нужно указать значение, наиболее близкое к истинному значению измеряемой величины, и найти величину случайной погрешности. Эту задачу решают на основе теории вероятностей, подробное изложение которой выходит за рамки нашего курса.

Наиболее вероятным значением измеряемой физической величины (близким к истинному) считают среднее арифметическое

(2)

Здесь xi - результат i-го измерения, n - число измерений. В случае малого n правильная оценка погрешности основана на использовании распределения Стьюдента (t – распределения). Случайная ошибка измерения может быть оценена величиной случайной абсолютной погрешности Dxсл., которую вычисляют по формуле

(3)

где t(a, n) - коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности a. Значение доверительной вероятности a задает сам экспериментатор.

Вероятностью случайного события называется отношение числа случаев, благоприятных для данного события, к общему числу равновозможных случаев. Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного - 0.

Значение коэффициента Стьюдента, соответствующее заданной доверительной вероятности a и определенному числу измерений n, находят по табл. 1.

Из таблицы видно, что величина коэффициента Стьюдента и случайная погрешность измерения тем меньше, чем больше n и меньше a. Практически выбирают a = 0,95. Однако простое увеличение числа измерений не может свести общую погрешность к нулю, так как любой измерительный прибор дает погрешность.

Таблица 1

Число	Доверительная вероятность a
измерений n	0,6	0,7	0,95	0,98
2	1,38	2,0	12,7	31,8
3	1,06	1,3	4,3	7,0
4	0,98	1,3	3,2	4,5
5	0,94	1,2	2,8	3,7
6	0,92	1,2	2,6	3,4
7	0,90	1,1	2,4	3,1
8	0,90	1,1	2,4	3,0
9	0,90	1,1	2,3	2,9
10	0,88	1,1	2,3	2,8
11	0,84	1,0	2,0	2,3

Поясним смысл терминов абсолютная погрешность Dx и доверительная вероятность a, используя числовую ось. Пусть среднее значение измеряемой величины <x> (рис. 1), а вычисленная абсолютная погрешность Dx. Отложим Dx от <x> справа и слева. Полученный числовой интервал от (<x> ─ Δx) до (<x> + Dx) называется доверительным интервалом. Внутри этого доверительного интервала находится истинное значение измеряемой величины x.

Рис. 1

Если измерения той же величины повторить теми же приборами в тех же условиях, то истинное значение измеряемой величины xист. попадет в этот же доверительный интервал, но попадание будет не достоверным, а с вероятностью a.

Вычислив величину абсолютной погрешности Dx по формуле (1), истинное значение x измеряемой физической величины можно записать в виде x = <x> ± Dx.

Величина абсолютной погрешности Δx результата измерений еще не определяет точности измерений. Для оценки точности измерения физической величины подсчитывают относительную погрешность, которую обычно выражают в процентах:

(4)

За меру точности измерения принимают величину 1/ε. Следовательно, чем меньше относительная погрешность ε, тем выше точность измерений.

Таким образом, при обработке результатов прямых измерений необходимо проделать следующее:

1. Провести измерения n раз (обычно 5).

2. Вычислить среднее арифметическое значение <x> по формуле (2).

3. Задать доверительную вероятность a (обычно берут a = 0,95).

4. По табл. 1 найти коэффициент Стьюдента, соответствующий заданной доверительной вероятности a и числу измерений n.

5. Вычислить абсолютную погрешность по формуле (3) и сравнить ее с аппаратурной погрешностью. Для дальнейших вычислений взять ту из них, которая больше (см. пример на с. 8).

6. По формуле (4) вычислить относительную ошибку e.

7. Записать окончательный результат

x = <x> ± Dx

с указанием относительной погрешности e и доверительной вероятности a.

Обычно кроме прямых измерений в лабораторной работе присутствуют косвенные измерения.

Обработка результатов косвенных измерений

Пусть искомая физическая величина y связана с другими величинами x1, x2, ..., xn некоторой функциональной зависимостью

y = f(x1, x2, ..., xn). (5)

Среди величин x1, x2, ..., xn имеются величины, полученные при прямых измерениях, и табличные данные. Требуется определить абсолютную ∆y и относительную e погрешности величины y.

В большинстве случаев проще сначала вычислить относительную погрешность, а затем - абсолютную. Из теории вероятностей относительная погрешность косвенного измерения

. (6)

Здесь где - частная производная функции по переменной xi, при вычислении которой все величины, кроме xi, считаются постоянными; ∆xi - абсолютная погрешность величины xi. Если xi получена в результате прямых измерений, то ее среднее значение <x> и абсолютную погрешность ∆x вычисляют по формулам (1) и (3). (Эти величины можно найти при помощи многофункционального калькулятора. Как это сделать смотрите в приложении.) Для всех измеренных величин xi задается одинаковая доверительная вероятность a.

Если какие-либо из слагаемых в выражении (6) меньше на порядок (в 10 раз) других слагаемых, то ими можно пренебречь. Это нужно учитывать при выборе табличных величин (p, g и др.), входящих в формулу относительной погрешности.

Конечный результат записывается в виде:

y = <y> ± Dy.

Здесь <y> - среднее значение косвенного измерения, полученное по формуле (5) при подстановке в нее средних величин xi, а ∆y-абсолютная погрешность косвенного измерения, найденная из определения относительной погрешности Обычно в абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной погрешности.

Действия с приближенными числами

Многие считают, чем больше цифр содержит вычисленная или измеренная величина, тем она точнее. Вопрос о различной точности вычисления очень важен, так как завышение точности вычисления приводит к большому объему ненужной работы. Студенты часто вычисляют искомую величину с точностью до пяти и более значащих цифр. Следует понимать, что эта точность излишняя. Нет никакого смысла вести вычисления дальше того предела точности, который обеспечивается точностью определения непосредственно измерявшихся величин. Проведя обработку измерений, часто не подсчитывают ошибки отдельных результатов и судят об ошибке приближенного значения величины, указывая количество верных значащих цифр в этом числе.

Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях:

1. когда он стоит между значащими цифрами (например, в числе 1071 - четыре значащих цифры);

2. когда он стоит в конце числа и когда известно, что единица соответствующего разряда в данном числе не имеется. Пример. В числе 5,20 три значащих цифры, и это означает, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые, и сотые, а в числе 5,2 - только две значащих цифры, и это значит, что мы учитывали только целые и десятые.

При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем рекомендуют правила (так называемая запасная цифра). Её обычно пишут меньшим размером. В окончательном результате запасная цифра отбрасывается. Если она окажется меньше пяти, ее следует просто отбросить, а если пять или больше пяти, то, отбросив ее, следует предыдущую цифру увеличить на единицу.

Обычно в абсолютной ошибке оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной ошибки.

Приближенные вычисления следует производить с соблюдением следующих правил:

1. При сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством десятичных знаков. Например: 0,8934 + 3,24 + 1,188 = 0,893 + 3,24 + 1,188 = 5,321 ≈ 5,32. Сумму следует округлить до сотых долей, т. е. принять равной 5,32.

2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр. Например, необходимо перемножить 8,632´2,8´3,53. Вместо этого выражения следует вычислять 8,63´2,8´3,53 = 85,3 ≈ 85.

3. Результат расчета значений функций xn, , lg(x) некоторого приближенного числа x должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x. Например:

.

Рассмотрим пример. Пусть необходимо вычислить плотность вещества ρ, из которого изготовлен цилиндр. По определению

где m – масса тела, а V- его объём.

Объём цилиндра определяется формулой

.

Здесь D - диаметр цилиндра, H - его высота.

Следовательно, расчётная формула для плотности вещества будет иметь вид

(7)

Пусть D и H измерены штангенциркулем с ценой деления 0,1 мм, а масса определена на физических весах. В результате многократных измерений найдем средние значения <H> = 10,34 мм и <D> = 40,27 мм, а m = 35,9 г. При подстановке этих данных в формулу (7) получим кг/ м3. Если эту величину считать окончательным результатом, то запасная цифра 6 отбрасывается. Абсолютная погрешность измерения плотности в этом случае будет равна половине единицы последнего разряда, т. е. 5 кг/м3. Так обычно поступают при однократном измерении. В данном примере Н и D измерялись несколько раз, поэтому сначала надо вычислить относительную погрешность косвенного измерения плотности вещества по формуле

(8)

где DD и DH - абсолютные погрешности прямых измерений диаметра и высоты, а затем определить абсолютную погрешность плотности вещества из выражения ∆ρ = eρ. Пусть случайные абсолютные погрешности оказались равными: DDсл.= 0,01 мм; DHсл.= 0,23 мм, а ∆m = 0,05 г. Сравним вычисленные случайные погрешности с аппаратурной, равной цене деления штангенциркуля. DDсл.<0,1, поэтому в формулу (8) подставим DD = 0,1 мм. А так как (DHсл./DHап.)<3, то DH вычисляем по формуле (3) и получаем 0,25 мм.

Значение p нужно выбрать таким, чтобы относительной погрешностью Δπ/π в формуле (8) можно было пренебречь. Из анализа измеренных величин и вычисленных абсолютных погрешностей DD и DH видно, что наибольший вклад в относительную погрешность измерения объема вносит ошибка измерения высоты. Вычисление относительной ошибки высоты дает eH = 0,0057. Если взять p = 3,1, то ep = 0,013, что превышает eH. Следовательно, значение p нужно взять 3,14. В этом случае Δπ/π » 0,00064 (Dp = 3,142-3,14 = 0,002),что значительно меньше eH и относительную погрешность p можно не учитывать.

Вычисления относительной погрешности плотности по формуле (8) даёт значение e = 0,00769, а ∆ρ = 0,0077·2,72· 103 = 20,9 кг/м3. Так как в абсолютной погрешности принято оставлять одну значащую цифру, то конечный результат следует записать в виде:

ρ = (2,72 ± 0,02)103 кг/м3.

Необходимо сделать вывод по ответу. Полученное экспериментально значение величины плотности вещества равное 2,72·103 кг/м3 с точностью до ошибки измерений составляющей ± 0,02·103 кг/м3 совпадает с табличным (теоретическим) значением плотности алюминия равное 2,71·103 кг/м3. Текст, выделенный курсивом, является шаблоном вывода по ответу в любой лабораторной работе.

Примечания:

1. Если измерения производят один раз или результаты многократных измерений одинаковы, то за абсолютную погрешность измерений нужно взять аппаратурную погрешность, которая для большинства используемых приборов равна цене деления прибора (более подробно об аппаратурной погрешности см. в разделе “Измерительные приборы”).

2. Если табличные или экспериментальные данные приводятся без указания погрешности, то абсолютную погрешность таких чисел принимают равной половине порядка (разряда) последней значащей цифры. Например, если m = 2,47 г, тогда Δm = 0,5·0,01 = 0,005 г.

Построение графиков

Результаты, полученные в ходе выполнения лабораторной работы, часто важно и необходимо представить графической зависимостью. Для того чтобы построить график, нужно на основании проделанных измерений составить таблицу, в которой каждому значению одной из величин соответствует определенное значение другой.

Графики выполняют на миллиметровой бумаге. При построении графика значения независимой переменной следует откладывать на оси абсцисс (X), а значения функции - на оси ординат (Y). Около каждой оси нужно написать обозначение изображаемой величины и указать, в каких единицах она измеряется (рис. 2).

Для правильного построения графика важным является выбор масштаба: кривая занимает весь лист, и размеры графика по длине и высоте получаются приблизительно одинаковыми. Масштаб должен быть простым. Проще всего, если единица измеренной величины (0,1; 10; 100 и т. д.) соответствует 1, 2 или 5 см.

Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями откладываемых величин. Каждое полученное экспериментальное значение наносится на график достаточно заметным образом: точкой, крестиком и т. д.

Погрешности указывают для измеряемых величин в виде отрезков длиной в доверительный интервал, в центре которых расположены экспериментальные точки. Так как указание погрешностей загромождает график, то делается это лишь тогда, когда информация о погрешностях действительно нужна: при построении кривой по экспериментальным точкам, при определении ошибок с помощью графика, при сравнении экспериментальных данных с теоретической кривой (рис. 2). Часто достаточно указать погрешность для одной или нескольких точек.

Через экспериментальные точки необходимо проводить плавную кривую. Нередко экспериментальные точки соединяют простой ломаной линией. Тем самым как бы указывается, что величины каким-то скачкообразным образом зависят друг от друга. А это является маловероятным. Кривая должна быть плавной, и может проходить не через отмеченные точки, а близко к ним так, чтобы эти точки находились по обе стороны кривой на одинаковом от нее расстоянии. Если какая-либо точка сильно выпадает из графика, то это измерение следует повторить. Поэтому желательно строить график непосредственно во время опыта. Тогда график может служить для контроля и улучшения наблюдений.

Вывод по графику (шаблон):

Полученный экспериментально график зависимости __________________

название функции словами

от _____________ имеет вид прямой (проходящей через начало координат,

название аргумента

параболы, гиперболы, плавной кривой) и качественно совпадает с теорети-

ческой зависимостью данных характеристик, имеющей вид ______________.

формула

Измерительные приборы и учет их погрешностей

Для прямых измерений физических величин применяют измерительные приборы. Любые измерительные приборы не дают истинного значения измеряемой величины. Это связано, во-первых, с тем, что невозможно точно отсчитать по шкале прибора измеряемую величину, во-вторых, с неточностью изготовления измерительных приборов. Для учета первого фактора вводится погрешность отсчета Δx0, для второго - допускаемая погрешность Δxд. Сумма этих погрешностей образует аппаратурную или абсолютную погрешность прибора Δxпр.:

Допускаемую погрешность нормируют государственными стандартами и указывают в паспорте или описании прибора. Погрешность отсчета обычно берут равной половине цены деления прибора.

Но для некоторых приборов (секундомер, барометр-анероид) - равной цене деления прибора (так как положение стрелки этих приборов изменяется скачками на одно деление) и даже нескольким делениям шкалы, если условия опыта не позволяют уверенно отсчитать до одного деления (например, при толстом указателе или плохом освещении). Таким образом, погрешность отсчета устанавливает сам экспериментатор, реально отражая условия конкретного опыта.