Прогрессии
Теория
Арифметическая прогрессия:
- Последовательность 
называется арифметической прогрессией, если 
- Число 
называется первым членом прогрессии, 
разностью прогрессии.
- Формула общего члена арифметической прогрессии
- Формула суммы первых 
членов арифметической прогрессии 
- Признак арифметической прогрессии: числа 
являются последовательными членами арифметической прогрессии, тогда и только тогда, когда 
Геометрическая прогрессия:
- Последовательность называется геометрической прогрессией, если 
- Число называется первым членом прогрессии, 
знаменателем прогрессии.
- Формула общего члена геометрической прогрессии
- Формула суммы первых членов арифметической прогрессии 
- Признак геометрической прогрессии: числа являются последовательными членами геометрической прогрессии, тогда и только тогда, когда 
Задачи
1. Найдите сумму всех двузначных положительных чисел.
2. 
- арифметическая прогрессия, 
Найдите 
3. Найдите сумму всех трехзначных положительных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 1.
4. Между числами 1, 256 вставить три числа так, что бы все пять образовывали геометрическую прогрессию.
5. Сумма трех чисел составляющих геометрическую прогрессию, равна 15. Известно, что 
составляют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.
6. Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии равна 56, сумма четырех последних равна 112, 
Сколько членов прогрессии было?
7. Числа 
- последовательные члены геометрической прогрессии, их сумма равна 19, 
- последовательные члены арифметической прогрессии. Найдите эти числа.
8. Числа 
- последовательные члены арифметической прогрессии, 
Найдите эти числа, если 
9. Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 27, а сумма первых пяти - 80. Сумма какого числа первых членов равна 486?
10. Числа - последовательные члены арифметической прогрессии, их сумма равна 21, 
- последовательные члены геометрической прогрессии. Найдите эти числа.
11. Сумма первых трех членов возрастающей геометрической прогрессии равна 13, их произведение – 27. Вычислите 
12. Сад имеет форму правильного треугольника, причем в первом ряду посажено одно деревою во втором - два, в третьем - три и т. д. Может ли такой сад иметь 105 деревьев?
13. Сумма третьего и пятого членов арифметической програессии равна 5, а их произведение – 6. Найдите 
14. Пусть 
- арифметическая прогрессия. Найдите 
если 
15. Найдите количество всех трезначных чисел, которые делятся на 7.
16. Найдите сумму всех четырехзначных числе, делящихся на 30.
17. Найдите сумму всех трехзначных чисел, не делящихся ни на 2, ни на 3.
18. Найдите 
если 
19. Числа 
образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма членов этой прогрессии с нечетными номерами на 15 больше суммы членов с четными номерами. Найдите 
если 
20. Даны две арифметические прогрессии 
Докажите, что 
- арифметические прогрессии.
21. Даны две геометрические прогрессии Докажите, что 
- геометрические прогрессии.
22. Найдите сумму первых 10 членов геометрической прогрессии, у которой 
, 
. (1023)
23. Найдите сумму первых 9 членов арифметической прогрессии, если сумма первых 5 ее членов равна 40, а сумма первых 13 членов - 26.
24. Числа 
, 
, 
, 
являются последовательными членами геометрической прогрессии. Известно, что 
, 
. Найдите 
.
25. Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны 1. Известно, что сумма вторых членов прогрессий равна 3, а сумма пятых равна 161. Найдите сумму шестых членов прогрессий.
26. Вычислите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 1000 и не делящихся на 13.
27. Числа 
образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если 
28. Числа - последовательные члены геометрической прогрессии. Найдите эти числа, если известно, что 
- последовательные члены арифметической прогрессии, а числа 
– последовательные члены геометрической прогрессии.
29. Сумма первых членов некоторой геометрической прогресии при любом вычислятся по формуле 
Найдите пятый член этой прогрессии.
30. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если известно, что сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого равна 10.
31. Сумма первых десяти членов арифметической прогрессии равна 30. Четвертый, седьмой и пятый члены этой прогрессии образуют геометрическую прогрессию. Найдите разность прогрессии.
32. Второй член арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, равен 2, а сумма квадратов третьего и четвертого меньше 4. Найдите первый член прогрессии.
34. Сумма первых пяти членов арифметической прогрессии на 1,5 больше суммы первых трех членов. Пятый член прогрессии равен третьему, умноженному на 4. Найдите четвертый член, если известно, что знаменатель положителен.
35. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна ее первому члену, умноженному на 5, а сумма первых пятнадцати равна 100. Найдите сумму первого, шестого и одиннадцатого членов прогрессии.
36. В арифметической прогрессии первый член и разность положительны, а сумма первых десяти равна разности квадратов шестого и пятого. Найдите разность прогрессии.
37. Какое наибольшее число членов может содержать конечная арифметическая прогрессия с разностью 4 при условии, что квадрат ее первого члена в сумме с остальными не превосходит 100?
38. Найдите все числа, одновременно являющиеся членами двух арифметических прогрессий 3,7,11, и 2,9.16,
39. Найдите числа, одновременно являющиеся членами арифметической прогрессии 12, 15, 18, ... и геометрической 1, 3, 9, ..., если каждая содержит по 100 членов.
40. Найдите числа, являющиеся членами двух арифметических прогрессий: 
и 
41. Найдите трехзначное число, цифры которого являются последовательными членами геометрической прогрессии, а цифры числа, меньшего данного на 400, являются последовательными членами арифметической прогрессии.
42. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45.
43. Сумма первых двадцати членов арифметической прогрессии 
в пять раз меньше суммы первых двадцати членов арифметической прогрессии 
. Найдите отношение разностей этих прогрессий, если эти разности отличны от нуля и 
44. Первый, второй и третий члены геометрической прогрессии равны соответсвенно третьему, шестому и восьмому членам некоторой арифметической прогрессии, а их произведение равно 125. Найдите первый член геометрической прогрессии.
45. В возрастающей прогрессии сумма первого и последнего членов равна 164, а произведение второго и предпоследнего равно 324. Найдите последний член прогрессии.
46. Пусть 
– корни уравнения 
– корни уравнения 
Известно, что 
образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Найдите 
47. Пусть 
и 
- корни уравнения 
, а 
и 
- корни уравнения 
. Известно, что , , , - последовательные члены арифметической прогрессии. Найдите и .
48. Сумма первых четырех членов арифметической прогрессии равна 56. Все члены прогрессии – натуральные числа. Известно, что двенадцатый – больше 67, но меньше 74. Найдите 
49. Найдите все числа 
при которых уравнение 
имеет ровно три действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.
50. Докажите, что 
число 
кратно 31 .
51. Докажите, что если числа являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, то и числа 
тоже являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.
52. Докажите, что если числа
являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии, то и числа 
тоже являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии.
53. Последовательность 
такова, что 
Найдите формулу общего члена последовательности.
54. Могут ли числа 12, 20, 35 быть членами одной геометрической прогрессии?
55. Могут ли числа 10, 11, 12 быть членами одной геометрической прогрессии?
56. Могут ли числа 
быть членами одной геометрической прогрессии?
57. Докажите, что числа 
, 
, 
не являются членами одной арифметической прогрессии.
58. Могут ли числа 
быть членами одной арифметической прогрессии?
59. Могут ли числа 11, 12, 13 быть членами одной геометрической прогрессии?
60. Последовательность 
такова, что сумма 
первых ее членов равна 
. Докажите, что эта последовательность является арифметической прогрессией.
61. Решите уравнение 
, где , , , - последовательные члены арифметической прогрессии.
62. Из полного бака, содержащего 729 л чистой кислоты, отлили л и долили бак водой. После полного перемешивания (до получения однородного раствора) из бака опять отлили л раствора, снова долили бак водой и тщательно перемешали. После того как такая операция была повторена шесть раз, жидкость в баке содержала 64 л чистой кислоты. Определить величину .
63. Пусть 
, 
и 
- три последовательных члена арифметической прогрессии. Докажите, что тогда 
, 
и 
также являются последовательными членами арифметической прогрессии.
64. Стороны прямоугольного треугольника образуют геометрическую прогрессию. Найдите тангенсы его острых углов.
65. В сосуд с чистой водой налили 6 л 64%-го (по объему) раствора спирта, а затем, после полного перемешивания, вылили равное количество (т. е. 6 л) получившегося раствора. Сколько воды было первоначально в сосуде, если после троекратного повторения этой операции в сосуде получился раствор спирта 37%-ой (по объему) концентрации?
66. - арифметическая прогрессия. Найдите 
если 
67. - арифметическая прогрессия. Найдите 
если 
68. Найдите общий член последовательности 
обладающей свойством, что разности между соседними членами этой последовательности составляют арифметическую прогрессию.
69. Найдите сумму 
70. Найдите геометрическую прогрессию с действительными членами, если сумма первых ее четырех членов равняется 15, а сумма их квадратов равна 85.
71. Найдите число членов арифметической прогрессии 
если 
72. В арифметической прогрессии 
Найдите
если 
73. Найдите 
в арифметической прогрессии, если 
74.В геометрической прогрессии 
Найдите 
75. Первый член прогрессии равен 
ее разность равна 
Найдите сумму членов прогрессии с 7-го по 21-ый включительно.
76. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 31, а сумма первого и третьего равна 26. Найдите седьмой член прогрессии.
77. Могут ли числа, выражающие длину сторон и периметр треугольника. Образовывать арифметическую прогрессию?
78. Четыре числа, сумма которых равна 2, взятые в определенном порядке, составляют арифметическую прогрессию. Если к каждому числу прибавить соответственно числа 1, 2, 3, 4, то получится геометрическая прогрессия. Найдите произведение разности и первого члена арифметической прогрессии.
79.Четыре числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Сумма крайних членов равна 8, а сумма средних – 4. Найдите значение выражения 
где – первый член, а 
– знаменатель прогрессии.
80. Известно, что числа 
образуют арифметическую прогрессию, причем разность 
является квадратом натурального числа. Найдите сумму квадратов всех
таких чисел и 
81. Найдите наибольшую сумму значений параметров и 
если известно, что числа 
- последовательные члены геометрической прогрессии, причем сумма 
является квадратом натурального числа.
82. Найдите число целочисленных пар 
если известно, что числа 
- последовательные члены арифметической прогрессии и 
83. Найдите все значения параметра 
при которых уравнение 
имеет ровно пять различных корней, которые, будучи упорядоченными по возрастанию, образуют арифметическую прогрессию.
84. Сумма первых четырнадцати членов арифметической прогрессии равна 
Известно, что ее первый и одиннадцатый члены натуральные числа. Чему равен восемнадцатый член прогрессии?
Ответы:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
12 |
13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |
37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 |
135,630,765 |
43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 |
49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 |
нет |
55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
нет | нет | нет | нет |
61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 |
67 | 68 | 69 | 70 | 71 |
|
| 1,2,4,8 и 8,4,2,1 | 100 |
72 | 73 | 74 | 75 | 76 |
6 | 17 | 25 | -555 | 15625 |
77 | 78 | 79 | 80 | 81 |
нет | -1 |
| 85 | 11 |
82 | 83 | 84 | 85 | 86 |
3 |
