Введение

Введение.

В сопротивлении материалов изучается напряженно-деформированное состояние элементов конструкций, в основном брусьев (стержней). Установлено, что существенное значение при этом имеют геометрические характеристики поперечного сечения, представляющего собой плоскую геометрическую фигуру. Теория сопротивления материалов построена на определенной системе координат x, y,z (рис. 1), где ось x – геометрическая ось стержня С-С, оси y, z – главные центральные оси поперечного сечения бруса. Поэтому определение местоположения центральных координатных осей y, z, которому посвящены настоящие методические указания является обязательным первоначальным этапом во всех расчетах сопротивления материалов. Наряду с этим во многих расчетных формулах используются геометрические характеристики сечения относительно указанной системы координат: главные центральные моменты инерции, главные центральные радиусы инерции.

Рис. 1. Поперечное сечение бруса. y, z – главные центральные оси.

Перечислим основные геометрические характеристики произвольной плоской геометрической фигуры (рис. 2), приведя их строгие математические определения в интегральной форме.

Рис. 2. Произвольная плоская геометрическая фигура.

- Площадь: > 0 [м2] (1)

- Статические моменты: относительно осей y, z соответственно:

; > = < 0 [м3] (2’)

, > = < 0 [м3] (2”)

- - центр тяжести всей фигуры: ; (3)

Примечание: относительно центральных осей ; (4)

- Моменты инерции: осевые (5’)

центробежный (5”)

полярный

При параллельном переносе осей (рис. 2) используют формулы:

(6)

Примечание: для простейших геометрических фигур аналитические выражения, перечисленных геометрических характеристик (1, 5’, 5’’) относительно их центральных осей yc, zc, приведены в прил. 1, где приняты стандартные обозначения: h – характерный размер вдоль оси y, b – характерный размер вдоль оси z, r – радиус окружности (части окружности).

Среди всех взаимно ортогональных центральных осей yc, zc (рис. 2), полученных путем вращения вокруг центра тяжести фигуры, выделяют главные центральные оси, они имеют следующие свойства:

1.  взаимно ортогональны;

2.  проходят через центр тяжести фигуры;

3.  осевые моменты инерции в них принимают экстремальные значения ,

4.  центробежный момент инерции равен нулю.

Найденные в главных центральных осях моменты инерции , называют главными центральными моментами инерции. Их расчет выполняют по формуле:

(7)

Примечание: ось симметрии фигуры всегда совпадает с одной из главных осей.

Расположение главных осей по отношению к центральной системе координат yc, zc определяется через угол , для которого: (8)

Примечание: ось симметрии фигуры всегда совпадает с одной из главных осей.

Значения главных радиусов инерции вычисляют по формуле:

; (9) !!!!

Они используются для изображения главного центрального эллипса инерции, который отражает инерционные свойства фигуры, т. е. как бы «притянут» к ней. Кроме того, при необходимости с помощью указанного эллипса инерции можно определить момент инерции относительно произвольной оси.

Для удобства расчетов в формулах сопротивления материалов найденные таким образом главные центральные оси I, II обычно обозначают через y, z.

1.  Задание

Студенту выдается схема плоской сложной фигуры, составленной из простейшей геометрической фигуры и прокатного профиля по сортаменты металлопроката (прил. 2, 3).

Требуется:

1.  Изобразить заданную сложную фигуру с разбиением на простейшие; указать их центральные оси и характерные размеры.

2.  Определить площади простейших фигур, а так же положения их центров тяжести.

3.  Определить положение центра тяжести всей фигуры и ее центральных осей.

4.  Вычислить осевые и центробежный моменты инерции каждой простейшей фигуры относительно собственных центральных осей.

5.  Вычислить осевые и центробежный моменты инерции всей фигуры.

6.  Найти главные моменты инерции и установить положение главных центральных осей.

7.  Построить главный центральный эллипс инерции в найденных осях.

2.  Рекомендации по выполнению работы

Поскольку к расчету предлагается фигура, которая состоит из нескольких простейших (треугольник, прямоугольник, сектор, прокатный профиль и т. д.), то расчетные формулы 1-5 можно существенно упростить путем замены интегралов на их суммы. Приведем их ниже.

2.1 Изображение заданной сложной фигуры с разбиением на простейшие с указанием их центральные оси и характерные размеры.

2.2 Определение площади простейших фигур, а так же положения их центров тяжести. Вычисляют площади составных частей и их суммы

Фигуру относят к прямоугольной системе координат осей yCz. Расположением их задаются из соображений удобства последующего расчета. Например, с началом координат в центре одной из простейших фигур.

Устанавливают расстояния , от выбранных осей до центров тяжести составляющих частей. Вычисляют статические моменты

2.3 Определение положения центра тяжести всей фигуры и ее центральных осей.

Координаты центра тяжести С заданной фигуры в осях ZOY находят соответственно по формулам

Изображают центральные оси с началом координат в точке С. Вычисляют расстояния , от этих осей до центров тяжести и также показывают на рисунке.

Если в пределах точности произведенных вычислений удовлетворяются условия

то выполняют следующий пункт. В противном случае предварительно устраняют ошибки в расчете.

2.4 Вычисление осевых и центробежного моментов инерции каждой простейшей фигуры относительно собственных центральных осей.

Для каждой из составляющих фигур по формулам прил. 1 определяют осевые моменты инерции и центробежный момент инерции относительно собственных центральных осей , параллельных . Заметим, что если прокатных профиль повернут на 90° по сравнению с изображенным в прил. 2 и 3, то следует принимать соответственно равными , представленным в ГОСТ, а .

2.5 Вычисление осевых и центробежного моментов инерции всей фигуры.

Используя теорему о зависимости моментов инерции относительно параллельных осей, находят центральные моменты инерции и центральный центробежный момент инерции заданной фигуры

2.6 Определение главных моментов инерции и установить положение главных центральных осей. Значения главных моментов инерции вычисляют по формулам 7

Тангенс угла наклона к оси главной центральной оси I, момент инерции относительно которой , находят из выражения 8

В случае ось I изображают под углом , отмеряемым от против хода часовой стрелки, а при - по направлению движения часовой стрелки. Вторую главную ось II, относительно которой , проводят через центр тяжести перпендикулярно I.

В переделах точности выполненных вычислений должны удовлетворяться равенства

2.7 Построение главного центрального эллипса инерции. Определяют главные радиусы инерции по формуле 9.

Изображают заданную фигуру. Проводят главные центральные оси инерции. На которых в обе стороны от центра тяжести откладывают радиусы инерции ( по оси II, по оси I). После чего любым из известных способов строят эллипс инерции с полуосями, равными и

Контрольные вопросы.

1.  Запишите выражение для площади плоской фигуры в интегральной форме.

2.  То же для статического момента. Какую размерность он имеет?

3.  Каковы расчетные формулы для статических моментов сложной фигуры, составленной из нескольких простейших?

4.  Какие оси называются центральными?

5.  Как определяются координаты центра тяжести плоской фигуры?

6.  Запишите выражение для осевых моментов инерции и центробежного момента инерции плоской фигуры в интегральной форме.

7.  По какой формуле вычисляются радиусы инерции?

8.  Какая зависимость имеет место между моментами инерции относительно параллельных осей, из которых одна – центральная?

9.  То же относительно трех взаимно перпендикулярных осей.

10.  Запишите зависимость между моментами инерции при повороте осей.

11.  Какие оси называются главными?

12.  Сколько главных осей инерции можно провести через центр тяжести произвольной фигуры?

13.  Дайте определение главным моментам инерции.

14.  По какой формуле вычисляются модули главных моментов инерции?

15.  Как установить относительно какой из главных осей момент инерции максимальный?

16.  Как построить эллипс инерции?

17.  Как с помощью эллипса инерции вычислить момент инерции относительно произвольной оси?

18.  Для каких плоских фигур любая центральная ось является главной? Какой вид в этом случае имеет эллипс инерции?

19.  Какова цель расчетно-графической работы?