Об одном методе преследования по направлению в линейных дифференциальных играх

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПРЕСЛЕДОВАНИЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ В ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ИГРАХ

Н. Мамадалиев

Национальный университет Узбекистана, Ташкент

ON A DIRECTED METOD IN A LINEAR DIFFERENTIAL GAMES

N. Mamadaliyev

National university of Uzbekistan, Tashkent

The work is devoted to investigate games problem of the control by pencil trajectories with delays. It is obtained sufficient condition for solvability problem of control by pensile trajectories.

Введение

Работа посвящена изучению игровой задачи управления пучками траекторий при наличии запаздывания. Получено достаточное условие разрешимости задачи управления пучками траекторий. При изучении игры (1) мы отождествляем себя с преследователем. Через , обозначим множество (пучок) всех траекторий уравнения (1), исходящих в момент из точек начального множества при допустимых управлениях преследующего и убегающего игроков, соответственно.

В этом случае наша цель заключается в приведении пучка траекторий на терминальное множество . Задача управления пучками траекторий состоит в нахождении числа и конструировании при каждом значения параметра так, чтобы каждая траектория , пучка попала на терминальное множество за время не превосходящее , т. е. для каждой траектории , пучка при некотором должно иметь место включение . Число называется временем перевода. В случае, когда задача управления пучками траекторий разрешима, то говорят, что в игре (1) пучок траекторий из начального множества можно перевести на терминальное множество за время .

Заметим, что когда начальное множество одноточечное, такие задачи изучались многими авторами [2-4]. Поэтому с точки зрения развития теории дифференциальных игр представляет интерес случай, когда содержит более одного элемента. Так как в случае одного элемента стратегия преследователя строится, в частности, исходя из данного начального положения , то в случае, когда содержит более одного элемента, трудность заключается в том, что для всех начальных положений из множества строится одна и та же стратегия преследователя. Случай, когда множество содержит более одного элемента, изучался в работах [5,6]. Для рассматриваемой задачи стратегия преследователя строится в виде , при условии, что для любого допустимого управления , убегающего игрока функция , измерима и является допустимым управлением преследующего игрока. В частности, измеримость , гарантируется, если непрерывна по при фиксированном и измерима по при фиксированном [7].

Постановка задачи

В пространстве рассматривается квазилинейная дифференциальная игра преследования, описываемая уравнением [1]

(1)

где , ; , ; постоянные квадратные матрицы, размерности которых , , соответственно; фиксированное действительное число, величина запаздывания; Вектора называются управляющими параметрами преследующего и убегающего игроков, соответственно, они выбираются в виде измеримых векторных функций , , определенных на отрезке . Кроме того, они удовлетворяют ограничениям вида

, , , (2)

где и - непустые компактные подмножества пространств и ; непрерывная функция.

В дальнейшем измеримые функции и , , удовлетворяющие ограничениям (2) , назовем допустимыми управлениями преследующего и убегающего игроков, соответственно.

В пространстве выделено некоторое непустое множество , которое называется терминальным множеством. В дальнейшем предполагаются: а) терминальное множество имеет вид , где - линейное подпространство пространства , - подмножество подпространства , ортогональное дополнение к подпространству в (т. е.); б) матрица оператора ортогонального проектирования из на подпространство ; в) под интегралом однозначной или многозначной функции (многозначного отображения) понимается ее интеграл Лебега [2]; г) под операцией понимается операция геометрической разности [2]. Кроме того, задано начальное множество . В качестве начального множества берется множество измеримых ветвей многозначного отображения , : .

Пусть и допустимые управления определены на отрезке . Тогда для решения уравнения (1) при начальном условии , в силу формулы Коши (после его проектирования на ) имеет место представление (см.[1])

где матричная функция, обладающая следующими свойствами:

а) , , нулевая матрица порядка ; б) , единичная матрица порядка ; в) элементы матрицы принадлежит классу ; г) матричная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению

, . (3)

Существование и единственность матричной функции , удовлет­воряющей условиям а)-г) могут быть доказаны обычным методом последо­вательного интегрирования уравнения (3).

Пусть произвольное компактнозначное многозначное отоб­ражение, удовлетворяющее условию

Введем следующие множества

,

Положим

где произвольная суммируемая функция, для всех . Пусть

где произвольный единичный вектор из .

Определим числовую функцию следующим образом:

а если , то считается

Предположение. Существуют положительное число , многозначное отображение суммируемая функция такие, что:

а) функция а также суперпозиция функции , при произвольной суммируемой функции являются суммируемыми;

б) выполнено неравенство

(4)

Теорема. Если выполнено сформулированное выше предположение, то в игре (1) можно перевести пучок траекторий из множества на множество за время . При этом для конструирования используются , значения при

Доказательство. Пусть для начального положения выполнены условия предположения, и - произвольная измеримая функция. Введем следующую функцию определенную в виде (см.[7]):

Можно показать, что для некоторого момента времени , функция обращается в ноль. С учетом этого факта, если в момент времени то значения функций , в момент времени принимаются как лексикографический минимум решений уравнения

(5)

Если первое значение параметра для которого то для значения функций , , в момент времени принимаются как лексикографический минимум решений уравнения

(6)

Управление , выбранное в соответствии с правилами (5) и (6), далее обозначим Покажем, что так выбранное управление будет гарантировать перевод пучка траекторий из множества на множество к моменту . Функция согласно утверждению П.2.[7] измерима по , поэтому из предположения в силу теоремы Филиппова-Кастена [7], следует разрешимость уравнений (5),(6) в классе измеримых функций , Действительно, в силу уравнений (5),(6), имеем

= (7)

ибо

,

в силу установленного выше равенства где

Следовательно (см.(7)), имеем

Так как на отрезке и , то получаем

Таким образом, пучок траекторий из множества можно перевести на множество за время . Теорема доказана.

Список литературы

1.  Дифференциально-разностные уравнения. М.: Наука, 1967.

2.  Понтрягин научные труды. Т.2. М.: Наука. 1998.

3.  , Осипов дифференциально-разностные игры //ДАН. 1971.Т.197, № 4. С. 777-780.

4.  Никольский дифференциальные игры преследования при наличии запаздываний // ДАН. 1971.Т.197, № 5. С. .

5.  К методам решения игровых задачах управления пучками траекторий //ДАН. 1990.Т.314, № 1. С. 132-134.

6.  Управления пучками траекторий при разнотипных ограничениях на управляющие параметры. //Рук. Деп. В ВИНИТИ 04.10.1989. № 000.ВС.

7.  Григоренко методы управления несколькими динамическими процессами. М: Изд-во МГУ, 1990.