Лекция №2

Лекция №2

Примеры. Исследовать на сходимость ряды:

1. .

,

Ряд сходится.

2. .

ряд сходится.

3. можно убедиться, что

Вычислим

исследуемый ряд сходится.

Признак Коши.

Теорема. Если 1) и 2) существует ,

тогда

Доказательство:

1) Выберем так, чтобы .

Тогда выражение . Так как сходится при то и - сходится.

2) Выберем так, чтобы . Тогда и расходится при

3)  Признак ответа не дает.

Пример. Исследуйте на сходимость ряд .

, значит, ряд сходится.

Пример. Исследуйте на сходимость ряд .

Интегральный признак сходимости Коши.

Теорема. Пусть 1) 2) не возрастают, 3) непрерывная не возрастающая функция такая, что . Тогда ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

Доказательство:

Изобразим члены ряда геометрически:

y

u1

u2

u3

un un+1

,,, n n+1 x

Ряд - это площадь «выходящих» прямоугольников,

. Где величина - ограничена снизу, как площадь криволинейной трапеции.

как площадь «внутренних» прямоугольника.

.

1) Если сходится, то <, и частичная сумма - ограничена сверху.

Итак, последовательность частичных сумм ограничена, монотонно возрастает, следовательно, существует и ряд сходится.

2) Если , то значит и ряд расходится.

Пример. Исследуйте на сходимость ряд .

Составим функцию .

, значит, исследуемый ряд сходится.

Пример. Исследуйте на сходимость ряд

Исследуем на сходимость вспомогательный ряд с помощью интегрального признака.

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и соответствующий ряд.

Вычисление предела отношения свидетельствует о расходимости и исходного ряда.

Пример. Исследуйте на сходимость ряд . исследуемый ряд расходится.

Пример. Сколько членов ряда нужно взять, чтобы получить значение суммы ряда с точностью до 0,001?

Здесь по условию задачи , значит, нужно взять 1001 член ряда.

Знакопеременные ряды.

Теорема. Если для знакопеременного ряда сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов , то исходный ряд сходится.

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательный ряд для него справедливо неравенство для всех значений .

Ряд сходится из условия теоремы. Вспомогательный ряд сходится на основании признака сравнения.

Исходный ряд можно представить как разность двух сходящихся рядов . И, следовательно, сходится.

Замечание. Обратное утверждение неверно.

Определение. Сходящийся ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходится.

Заметим, что доказанный признак сходимости является достаточным, но не необходим: существуют знакопеременные ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Определение. Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд из абсолютных величин его членов расходится.

Знакочередующиеся ряды

Определение. Ряд вида

называется знакочередующимся.

Признак Лейбница. Если в знакочередующемся ряде абсолютные величины членов ряда:

1) монотонно убывают и
2) , то ряд сходится, и его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда, то есть .

Доказательство.

Рассмотрим последовательность частичных сумм четного количества членов знакочередующегося ряда

Каждая из разностей, стоящих в скобках, положительна по условию теоремы, значит, и последовательность является возрастающей.

Если записать эту сумму в виде , то каждая из разностей в скобках положительна и то есть последовательность ограничена сверху.

Итак, последовательность является возрастающей и ограничена сверху, следовательно, имеет предел , причем .

Аналогично можно показать сходимость последовательности частичных сумм нечетного количества членов знакочередующегося ряда, следовательно, ряд сходится.

Пример. Знакочередующийся ряд сходится условно по признаку Лейбница, так как и , но соответствующий ряд из абсолютных величин членов данного ряда является гармоническим и расходится.

Ряд сходится абсолютно, так как этот знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, и ряд сходится тоже.

Замечание. Признак Лейбница используется для приближенного вычисления суммы знакочередующегося ряда с определенной точностью. Сумма отброшенных членов знакочередующегося ряда Лейбница не превосходит первого из них.

Пример. Сколько членов ряда нужно взять, чтобы сумму ряда найти с точностью 0,001?

Представим сумму ряда в виде:, где по признаку Лейбница.

По условию задачи , откуда нужно взять членов ряда.