Конспект лекций (стр. 3 )

.

Докажите, что .

Предположим, что вместо точных значений заданы их приближения , где − ошибки округления. Тогда

Для большей наглядности будем предполагать, что ( − полином четвертой степени), (вычисления с 12-ю десятичными знаками), тогда

.

Из последней формулы следует, что

1.  при (если , то вместо );

2.  для получения нет смысла брать и при мы получим наилучшую точность .

Лекция 4.

Численное интегрирование

Интегрирование функций является одной из основных математических операций. В этом разделе мы рассмотрим классический подход к построению интерполяционных квадратурных формул для приближенного вычисления определенного интеграла

, (1)

где − положительная функция такая, что .

Определение 1. Формула

(2)

называется квадратурной формулой для приближенного вычисления интеграла (1) от функции на -ом узле с весами .

Так как по значениям функции в узлах квадратурной формулы мы можем построить интерполирующий ее полином в форме Лагранжа

, (3)

где , то естественным было бы определить веса квадратурной формулы (2) в виде

, (4)

а саму формулу назвать интерполяционной квадратурной формулой.

Определение 2.

Квадратурная формула (2) называется интерполяционной квадратурной формулой, если ее веса вычисляются по формуле (4).

Практически очевидно, что интерполяционная квадратурная формула (2) будет точна (т. е. ), если функция является полиномом степени не более, чем . И обратно, если квадратурная формула (2) точна на любом полиноме степени , то она должна быть интерполяционной, т. е. для ее весов должна быть справедлива формула (4), что легко проверить, взяв при любом .

Определение 3.

Алгебраической степенью точности квадратурной формулы (2) называется целое число такое, что квадратурная формула точна на всех полиномах

степени и меньше.

Теорема 1. Квадратурная формула (2) на узле будет интерполяционной квадратурной формулой тогда и только тогда, если она имеет алгебраическую степень точности .

Теорема 2. Если функция , то для разности интеграла (1) и его приближения интерполяционной квадратурной формуле (2) справедлива оценка

. (5)

Докажите эту теорему, используя оценку для погрешности интерполирования функции и теорему 1.

Квадратуры Гаусса наивысшей алгебраической степени точности

Итак, на любой системе узлов интерполяционная квадратурная формула (2) точна на линейном пространстве размерности всех полиномов степени не более, чем .

Естественным образом возникает вопрос: а нельзя ли за счет выбора этих узлов ( параметр) увеличить алгебраическую точность квадратурной формулы?

Квадратурная формула (2) определяется параметрами и можно надеяться, что их можно выбрать так, формула будет точна для полиномов степени , но не более.

Теорема 3. Квадратурная формула (2) на узле не может иметь алгебраическую степень точности .

Доказательство (от противного).

Предположим, что квадратурная формула алгебраической степени точности существует.

Тогда по теореме 1 она является интерполяционной и точна на − полиноме степени , т. е. . Но

, так как (узлы квадратуры − корни полинома ),

, так как функция почти всюду на .

Следовательно, полученное противоречие предположению доказывает теорему.

Теорема 4. Если квадратурная формула (2) на узле имеет алгебраическую степень точности , то она интерполяционная, а полином ортогонален с весом всем полиномам меньшей степени, т. е. определяется условиями:

.

Доказательство.

Пусть квадратурная формула алгебраической степени точности существует. Тогда по теореме 1 она является интерполяционной.

Так как степень полинома , не превышает , то квадратурная формула (2) точна на нем и

,

что и требовалось доказать.

Теорема 5. Если полином ортогонален с весом всем полиномам меньшей степени, то интерполяционная квадратурная формула (2) имеет алгебраическую степень точности .

Доказательство.

Так как квадратурная формула (2) интерполяционная, то по теореме 1 она точна на полиномах до степени .

Произвольный полином степени мы можем представить в виде , разделив на .

Тогда

так как по условию теоремы полином ортогонален полиномам меньшей степени, а интерполяционная квадратурная формула (2) точна на полиномах степени .

С другой стороны,

,что и требовалось доказать.

Таким образом, интерполяционная квадратурная формула (2) существует тогда и только тогда, когда (теоремы 4 и 5) существует полином , ортогональный с весом полиномам меньшей степени, с попарно различными корнями из интервала .

Теорема 6. Полином , ортогональный с весом всем полиномам меньшей степени:

,

существует, единственен и имеет простых корней на , т. е. , − узлы квадратуры (Гаусса) наивысшей алгебраической степени точности.

Доказательство.

Очевидно, что для определения коэффициентов полинома мы имеем систему линейных алгебраических уравнений

. (6)

Для существования и единственности ее решения необходимо и достаточно, чтобы однородная система

,

имела только нулевое решение. Предположим, что однородная система (6) имеет решение . Тогда, умножив -е уравнение на и сложив результаты, получим

откуда следует, что все должны быть равны нулю.

Осталось исследовать корни полинома .

Предположим, что все вещественные корни полинома , имеют четную кратность ,

т. е. , где полином знакоопределен на .

Но, так как , то полином должен менять знак на , что противоречит выводу из предположения о четности всех корней из .

Следовательно, полином имеет на корни нечетной кратности.

Пусть − корни нечетной кратности полинома .

Если (), то все корни попарно различны и теорема доказана.

Если , то

,

где полином знакоопределен на .

Но, так как степень полинома меньше , то ему ортогонален, т. е.

,

откуда следует, что должен менять знак на , что противоречит выводу из предположения о знакоопределенности .

Следовательно, и теорема доказана.

Теорема 7. Если функция , то точность вычисления интеграла (1) по квадратурной формуле Гаусса (2) на узле оценивается следующим неравенством:

. (7)

Доказательство оставляется в качестве упражнения.

Сходимость квадратур Гаусса

Замечательным свойством квадратур Гаусса является их сходимость для любой функции (заметим, что интерполяционный полином к произвольной непрерывной функции не сходится).

Теорема 8. Если функция , то интерполяционная квадратурная формула (2) на узле с положительными весами сходится к интегралу (1) при .

Доказательство.

Поскольку , то по теореме Вейерштрасса существует полином такой, что

.

Тогда для интерполяционная квадратурная формула (2) на попарно различных узлах точна на полиноме и

что и требовалось доказать.

Лемма. Веса квадратур Гаусса положительны.

Квадратура Гаусса (2) точна на полиномах до степени и значит она точна на полиноме степени :

.

Устойчивость квадратурных формул

Зачастую, по тем или иным причинам, значения интегрируемой функции в узлах заданы с погрешностью: .

Тогда

если квадратура точна на константе и ее веса положительны.

Отсюда следует, что малые изменения интегрируемой функции мало изменяют приближенное значение интеграла независимо от числа квадратурных узлов.

Примеры квадратурных формул

В этом разделе для приближенного вычисления определенного интеграла

(1)

1.  мы построим примеры интерполяционных квадратурных формул

(2)

на -ом узле с весами

, (3)

2.  найдем их алгебраическую степень точности : для этого необходимо и достаточно найти максимальное целое такое, что

(4)

3.  конкретизируем оценку погрешности интерполяционной квадратуры на -ом узле алгебраической степени точности :

, (5)

где

Формулы прямоугольников (на одном узле)

1. , , , 2. , 3. .

1. , , , 2. , 3. .

1. , , , 2. , так как , 3. .

Формула трапеций (на двух узлах)

1. , , , , 2. , 3. .

Формула Симпсона (на трех узлах)

1. , , , , ,

2. , так как на полиномах формула точна в силу ее интерполяционности и, кроме того, она точна на полиноме :

3.

.

Квадратура Гаусса на двух узлах

1. Узлы – корни полинома такого, что после вычисления интегралов эта система имеет вид: т. е. и его корни

, ,

,

2. ,

3.

.

Составные квадратурные формулы

Использование простейших квадратурных формул для интегрирования функции на интервале, длина которого не является малой величиной, редко приводит к хорошим результатам. Поэтому отрезок интегрирования обычно разбивают на непересекающиеся подъинтервалы малой длины: , исходный интеграл представляют в виде суммы интегралов по отрезкам разбиения и каждый интеграл этой суммы заменяют по той или иной простейшей квадратурной формуле:

.

Составные формулы прямоугольников на равномерной сетке

.

Составная формула трапеций на равномерной сетке

.

Составная формула Симпсона на равномерной сетке

.

Лекция 5.

Итерационные методы решения нелинейных уравнений

При построении квадратур Гаусса необходимо находить корни полинома степени (ортогонального полиномам меньшей степени), т. е. решить нелинейное уравнение .

Решать нелинейные уравнения необходимо, например, и при реализации простейшей неявной разностной схемы, аппроксимирующей задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка:

на сетке с “малыми” шагами .

Схема строится очень просто:

1) интегрируем уравнение по интервалу :

2) удаляем в этой системе ошибки аппроксимации и получаем для уравнения:

Очевидно, что для вычисления при известном нужно решить уравнение

,

т. е. найти корень уравнения .

Сходимость к при мы оставим на 3-й курс.