О свойствах и устойчивости равновесий в модели электорального поведения избирателей

О свойствах и устойчивости равновесий в модели электорального поведения избирателей

1.  Введение.

В современном мире важнейшим элементом политического процесса в большинстве стран являются референдумы и выборы в органы власти. Оба этих способа волеизъявления граждан привлекательны с той точки зрения, что должны учитывать мнения всех, кто имеет право голоса. Тем не менее, как выборы, так и референдумы не всегда являются столь совершенными формами общественного принятия решений, так как конечный исход их зависит не только от изначальных предпочтений граждан, имеющих право голоса, но и от их явки. На нее влияют различные обстоятельства, связанные с издержками, которые несет избиратель в связи с участием в выборах. Кроме того, многие избиратели осознают, что значимость их голоса пренебрежимо мала, особенно если речь идет о голосовании в масштабах целой страны. Таким образом, неучастие в выборах тоже может представлять собой пример рационального поведения. Возникающая при этом низкая явка граждан может даже приводить к победе кандидатов-маргиналов. Более подробно различные парадоксы при голосованиях описаны в работах [3] и [4].

Модель, исследуемая в настоящей работе, близка к моделям, рассмотренным в работе [1]. Эта работа посвящена исследованию электорального поведения граждан на выборах с двумя кандидатами. В ней основные результаты были получены в предположении, что одного из кандидатов поддерживает всего один избиратель, в то время как второй имеет намного большее число сторонников.

В настоящей работе исследуется теоретико-игровая модель голосования двух групп избирателей численностями и соответственно, каждая из которых поддерживает своего кандидата. Предполагается, что . Стратегия каждого избирателя – принимать или не принимать участия в голосовании, при этом в случае участия он несет фиксированные издержки (, ), не зависящие от исхода голосования. В случае победы «своего» кандидата избиратель получает фиксированный выигрыш , , превышающий его затраты на участие в голосовании. Если кандидат терпит поражение, то его сторонники теряют столько же. Взаимодействие избирателей описано в виде игры в нормальной форме с игроками.

Поведение избирателей предполагается рациональным: при выборе стратегии каждый из них исходит из максимизации своего индивидуального выигрыша. Равновесием Нэша в рассматриваемой модели является такая ситуация (распределение игроков по стратегиям), что никому из избирателей невыгодно индивидуально изменять свое решение об участии в голосовании при фиксированном поведении остальных участников.

2.  Существование и количество равновесий Нэша

Утверждение 1. В исследуемой модели равновесие Нэша в чистых стратегиях существует тогда и только тогда, когда . В этом случае единственным равновесием является ситуация, при которой все избиратели принимают участие в голосовании.

Так как при неравной численности групп равновесия Нэша в чистых стратегиях не существует, изучим свойства смешанных равновесий. При этом предположим, что сторонники каждого из кандидатов ведут себя одинаково: любой избиратель из второй группы участвует в голосовании с вероятностью , а избиратель из первой группы – с вероятностью . Тогда смешанное равновесие определяется из системы

(1)

Здесь - относительные издержки сторонников каждого из кандидатов. Заметим, что функции и , стоящие в левых частях системы (1), есть не что иное, как вероятности того, что голос произвольного сторонника первого или второго кандидата, является решающим для исхода голосования. В настоящей работе показано, что эти обе функции являются квазивогнутыми по каждому из аргументов при фиксированном значении второго. Обозначим , , ,.

Утверждение 2. При функция , , монотонно убывает по на отрезке , при - монотонно возрастает, а при имеет единственный максимум во внутренней точке отрезка .

Аналогичное утверждение справедливо и для поведения функций при фиксированном значении . Таким образом, у каждого из уравнений системы (1) есть не более двух решений относительно каждой переменной при фиксированном значении второй. Обозначим решения второго уравнения (меньшее), (большее), первого - и . Графики и приведены на рисунке 1, графики и имеют аналогичный вид.

Рисунок 1. Примерный вид графиков функций и

Существует всего четыре типа возможных равновесий (HH, HL, LH, LL), зависящих от того, каким именно корням они соответствуют.

Теорема 1. При равных относительных издержках () существует не более двух смешанных симметричных равновесий со стратегиями участников первой и второй групп и соответственно.

Если , то существует ровно два равновесия и , где , и , имеющие тип и соответственно (рис. 2b). Если , то существует ровно два равновесия , , причем и . Эти равновесия имеют типы и соответственно, и . Если , то существует единственное решение типа , для которого также (рис.2а).

Рисунок 2. Два фазовых портрета возможных равновесий. Пунктирные линии соответствуют (черные) и (серые), сплошные - (черные) и (серые). Равновесия отмечены темно-серыми точками.

3.  Локальная устойчивость равновесий

Рассмотрим итеративный способ процесс поиска смешанных равновесий, аналогичный процедуре нащупывания по Курно. Поиск начинается в некоторой точке . Каждая группа участников последовательно использует свой равновесный ответ на стратегию другой группы:

.

Индекс описывает тип рассматриваемого равновесия. Обозначим отображение равновесных ответов как : .

Равновесие типа назовем локально устойчивым, если существует такая окрестность точки , что описанный выше процесс нащупывания сходится при любых . Аналогично, если для любой, сколь угодно малой окрестности процесс нащупывания, начинающийся в точке , не сходится или сходится не к , то такое равновесие называется неустойчивым.

Используя свойства графиков , , и , исследованные ранее, можно для любого начального значения из окрестности равновесия построить траекторию процесса нащупывания. Таким образом, будет показана локальная устойчивость или неустойчивость соответствующего равновесия. Так, равновесия типов и локально устойчивы (рис. 3), а равновесия типов и - неустойчивы (рис. 2).

а) тип

b) тип

Рисунок 3. Траектории процесса нащупывания в окрестности равновесия типов и

а) тип

b) тип

Рисунок 4. Траектории процесса нащупывания в окрестности равновесия типов и

4. Выборные парадоксы

Парадоксом при голосовании назовем такую ситуацию, в которой побеждает кандидат с меньшим числом сторонников. Победу кандидата большинства назовем естественным исходом голосования. Таким образом, вероятность парадокса при равновесном поведении избирателей равна , где, как и ранее, , - случайные величины, показывающие количество сторонников кандидата , принявших участие в голосовании. Аналогично, вероятность победы кандидата, представляющего большинство, равна .

Исследуем, когда вероятность победы первого кандидата выше, чем вероятность победы второго. Это условие эквивалентно тому, что парадокс при голосовании более вероятен, чем его естественный исход. Рассмотрим функцию , показывающую разность вероятностей победы первого и второго кандидатов, при условии, что они используют смешанные стратегии . Обозначим корень уравнения на интервале . Заметим, что в этом случае пара соответствует -равновесию.

Утверждение 3. В равновесиях типов , и вероятность парадокса всегда выше вероятности естественного исхода голосования. В равновесиях типа при естественный исход более вероятен, чем парадокс, а при вероятность парадокса выше вероятности естественного исхода голосования.

Отдельный интерес представляет также то, насколько значимым для исхода голосования окажется голос каждого из избирателей. С точки зрения интуиции кажется, что с ростом численностей сторонников каждого из кандидатов важность отдельного голоса уменьшается. Однако в рамках данной модели это не так. Рассмотрим систему уравнений, являющуюся обобщением системы 1 на случай неодинакового поведения избирателей:

.

Она описывает необходимое и достаточное условие смешанного равновесия. Во всех уравнениях в левой части стоит не что иное, как вероятность того, что голос сторонника () первого (соответственно, второго) кандидата является решающим для исхода голосования. Таким образом, в равновесии значимость голоса отдельного избирателя связана только с его относительными издержками от участия в голосовании и не зависит от количества сторонников каждого из кандидатов.

5. Заключение.

В работе исследована теоретико-игровая модель поведения двух групп избирателей. Голосование проходит в один этап, все избиратели внутри каждой группы предполагаются одинаковыми.

Показано, что равновесие Нэша в чистых стратегиях существует тогда и только тогда, когда обе группы имеют равную численность. Для случая групп различной численности исследовался вопрос существования и единственности равновесий Нэша в смешанных стратегиях. Для этого случая была построена система уравнений (1), описывающая необходимое и достаточное условие симметричного вполне смешанного равновесия Нэша. Равновесными для членов обеих групп являются такие и только такие стратегии, при которых вероятность решающего голоса для любого участника голосования в точности равна значению его относительных издержек.

Было показано, что при равных относительных издержках всех избирателей данная система имеет не более двух решений. Точное количество равновесий и их свойства зависят от конкретного значения относительных издержек. Было построено пороговое значение относительных издержек . Это значение определяется из условия , где - вероятность того, что голос одного из членов первой группы будет решающим, если члены первой и второй групп принимают участие в голосовании с вероятностями и соответственно.

Если значение относительных издержек меньше порогового, то существует ровно два смешанных равновесия, при этом вероятности участия в голосовании для избирателей первой и второй групп в этих равновесиях дают в сумме единицу. Если же , то возможны два варианта. При , где , а определено в Утверждении 2, существует ровно два смешанных равновесия, а при - ровно одно. При этом вероятности участия в голосовании для избирателей первой и второй групп в таких равновесиях удовлетворяют условию: , где , , - вероятности решающего голоса для членов первой и второй групп соответственно.

Описанные типы равновесий были исследованы на предмет их локальной устойчивости. Так, локально устойчивыми являются все равновесия, возникающие в модели при , в то время как при все равновесия локально неустойчивы. Однако при любых значениях все смешанные симметричные равновесия являются структурно устойчивыми, то есть ни одной из групп избирателей невыгодно отступать от согласованного поведения.

В работе исследованы вероятности победы каждого из кандидатов в случае равновесного поведения избирателей. Показано, что в большинстве равновесий более вероятной является победа кандидата, поддерживаемого меньшинством, однако при существуют и равновесия, в которых победа кандидата большинства более вероятна.

Дальнейшее исследование модели может проходить по нескольким путям. Во-первых, полученные в работе результаты полностью описывают множество равновесий лишь для случая одинаковых относительных издержек. В реальности эти издержки, вообще говоря, у каждого избирателя могут иметь своё значение, отличное от значения издержек у остальных. Тем не менее, множество всех участников голосования, как правило, можно разделить на подгруппы, в рамках каждой из которых относительные издержки будут мало отличаться. Для модели с множеством избирателей, состоящим из нескольких групп, отличающимися относительными издержками, можно построить аналог системы (1) и исследовать его свойства.

6.  Список литературы.

1.  Haan M., Cooreman P. How majorities can lose the election. Another voting paradox // Social Choice and Welfare, Springer, 2003, #20

2.  Heijnen, P. On the probability of breakdown in participation games // Social Choice and Welfare, Springer, Vol., pp.493-511, 2009

3.  Nurmi H. Voting paradoxes and referenda // Social Choice and Welfare, Springer, vol. 15(3), pp. 333-350, 1998.

4.  , Выборы. Голосование. Партии // М.: Академия, 1995