Глава 2. Методы большого коэффициента и старшей производной в линейных системах

Глава 2. Методы большого коэффициента и старшей производной в линейных системах

2.1. Введение и постановка задачи.

С начала становления новой дисциплины - теории и практики систем автоматического управления - инженеры стали изыскивать способы уменьшения ошибки регулирования и подавления действия возмущений (например, момент нагрузки на вал двигателя). Оказалось, что при наличии отрицательной обратной связи (необходимое условие) организация достаточно больших значений коэффициента усиления приводит к нужному эффекту. Этот способ сразу же стал настолько естественным при построении систем автоматического управления, что большие значения коэффициента усиления (на порядок и более превышающие остальные параметры) стали нормой практики. Естественно, при этом условия устойчивости систем выполнить сложнее, И поэтому использование форсирующих (по производным) обратных связей стало обычным приемом стабилизации систем при больших коэффициентах усиления. В предыдущей главе мы обсудили основные свойства этих методов для простейших объектов.

Развитие таких методов для объектов произвольного порядка привело к выделению специфической обратной связи - связи по старшей (высшей) производной. Идея использовать старшую производную появилась сравнительно недавно, вначале она обсуждалась для второй производной (ускорения) в работах [32, 33]. В технике управления летательными аппаратами методами использования ускорения занимался [3]. Возможности обратных связей по старшим производным рассмотрены в работах [4] и автора данной монографии [7- 9]. К сожалению, в названных работах не были разработаны основы теории таких систем и, следовательно, аппарат расчетных соотношений.

В то же время в теории линейных систем в рамках хорошо разработанного аппарата можно выделить эффекты использования идеи старшей производной в сочетании со способом большого коэффициента, что при определенных условиях позволяет обеспечить подавление действия аддитивных возмущений и независимость (инвариантность) по отношению к параметрическим изменениям. Это и будет содержанием данной главы.

Расчетная схема системы регулирования для синтеза представлена на рисунке 2.1., где все обозначения уже нами введены.

Рис.2.1.

Пусть объект описывается передаточной функцией следующего вида,

,

где , .

Здесь - относительная производная выхода.

Требуется обеспечить выполнение условия с условием в статике , где - заданная ошибка.

Полагаем, что должны выполняться требования по динамике , которые выражены эталонной (желаемой) передаточной функцией и, следовательно, .

В идеале мы должны получить ,то есть .Следовательно, статика может быть обеспечена не лучше, чем с ошибкой h, .

При этих требованиях результатом синтеза должна быть передаточная функция регулятора .

2.2 Условия разрешимости задачи.

Точное решение сформулированной задачи можно получить из равенства

.

Аналитически разрешить это выражение относительно не очень удобно из-за громоздких соотношений и в практике проектирования получили развитие различные приближенные методы, например, частотные графические способы. Они широко представлены в учебной литературе.

Основным условием разрешимости синтеза является свойство . Это условие соответствует устойчивости объекта на многообразии . Технически это значит что мы не можем точно обеспечить на интервале времени и, следовательно, для объектов с неустойчивым числителем нужно ослаблять требования к статике и динамике системы, что и делают на практике.

Основным техническим условием работы искомого регулятора является ограниченность значений управляющего воздействия, т. е. , где - ограниченное значение . На рисунке представлена характеристика технического элемента ( усилителя ), который обеспечивает ограничение u.

Управляющее воздействие должно быть в линейной зоне, только при этом процессы в системе будут соответствовать результатам синтеза. На участке насыщения система, по существу, разомкнута. По этой причине мы будем далее анализировать выражения для u. На следующем рисунке представлена структура объекта по которой мы и обсудим свойства управляющих воздействий.

Рассмотрим вначале подавление возмущения при h=0, когда

, откуда следует

.

При условии полной компенсации и идеальном воспроизведении v управляющее воздействие должно определяться соотношением (2.1). Часть управления, которая компенсирует возмущение, имеет вид

.

Как видим управление содержит производные от возмущения М и их порядок в худшем случае равен порядку объекта. Следующий рисунок иллюстрирует ситуацию когда при ступенчатом возмущении управление должно содержать пакет импульсов.

В динамических системах ступенчатые скачки возмущений технически не отрабатываются, возмущение должно отвечать условиям плавности, которые определяются относительной производной объекта , где буквой l будем отмечать старшую (относительную) производную выхода.

Повторим такое же рассуждение относительно помехи h при М=0.

Исходное соотношение , откуда следует .

Как видим идеальный регулятор должен вырабатывать составляющую, в которой будет присутствовать эффект обращения передаточной функции объекта и, следовательно, дифференцирующий эффект. Уменьшить влияние этого можно только двумя способами: улучшением качества датчика или фильтрацией сигнала датчика. Понятно, что фильтр может быть разработан вместе с датчиком или регулятору могут быть приданы фильтрующие свойства.

2.3. Синтез по старшей производной.

Здесь рассмотрим случай, когда ошибки измерения нет, т. е. , , .

Предполагаем к тому же, что параметры объекта изменяются во времени медленно и, следовательно, мы можем использовать аппарат передаточных функций.

Желаемая динамика системы представлена эталонной передаточной функцией .

Используем способ большого коэффициента и способ производной от ошибки. При этом регулятор имеет передаточную функцию .

Характеристическое уравнение замкнутой системы

определяет свободную динамику. Раскроем это уравнение и сгруппируем члены по степеням,

.

При пренебрегаем коэффициентами объекта и тогда при получаем следующее уравнение

.

Как видим, свойства системы не зависят от параметров объекта. Этот эффект обеспечен сильными обратными связями по производным, без применения которых невозможно, видимо, получить инвариантность системы по отношению к параметрам объекта и в случае их быстрых изменений.

Рассмотрим теперь, каким образом система отрабатывает входное воздействие. Имеем для выхода соотношение

.

При будем иметь и . Мы получили идеальную следящую систему (система воспроизводит любой входной сигнал).

Эта система отрабатывает сигналы (вход) только с ограниченной старшей производной. Их удобно использовать в различных задачах слежения за входным сигналом. Для режима отработки скачкообразного входа подобного рода системы применять нельзя, если не использовать предварительное сглаживание входа специальным фильтром.

Рассмотрим теперь, как эта же система отрабатывает возмущение М.

На следующем рисунке представлена исследуемая система с возмущением.

Выражение для выхода имеет вид

.

При получим .

Поскольку полиномы и имеют одинаковую степень, то при всех передаточная функция по возмущению стремится к нулю.

При таком регуляторе система парирует все возмущения («пробка» для возмущения) и это является замечательным техническим качеством.

Рассмотрим теперь, как проявляется помеха измерений и будем иметь в виду следующую структурную схему, где в обратной связи включен фильтр для подавления помех.

Здесь выражение для выхода при нулевом входе имеет вид

.

При получим Если теперь оценить предельное влияние помех на управляющее воздействие, то получим следующее выражение

, которое мы получили из

.

В такой системе выход полностью отрабатывает , в то время как управляющее воздействие будет «забиваться» высокочастотной помехой, в результате чего система потеряет работоспособность. Такой вывод справедлив, однако, в зоне значений p, где выполняется соотношение .

Рассмотрим теперь эти свойства более подробно и будем использовать частотную интерпретацию системы, при которой делаем замену . Примем, что передаточная функция фильтра имеет вид ,где обеспечим соотношение . Перепишем выражение для через полиномы передаточных функций и будем иметь

.

В зонах низких и средних частот мы можем пренебречь значениями полинома D в силу больших значений k и, следовательно, .

Как видим, в полосе низких и рабочих частот от помехи не удается избавиться и ее можно понизить только качеством датчика.

В зоне высоких частот при в полиномах D, C,A доминируют старшие члены w и, следовательно, предельное соотношение для u примет вид

,

где буквой q мы обозначили степень полинома D, которую мы приняли большей числа n. Сократим теперь и получим

.

Очевидно теперь, что высокие частоты будут подавляться в силу неравенства . Полученные соотношения можно использовать как расчетные при проектировании системы.

Итак, на практике для подавления высокочастотной помехи степень полинома должна быть больше ,

(2.2)

Далее будем называть соотношение (2.2) условием подавления высокочастотной помехи.

Как видим, при использовании производных в регуляторе полоса пропускания системы расширяется и может быть ограничена только фильтром, который заблокирует высокие частоты помехи.

В итоге за счет расширенной полосы пропускания мы получаем возможность подавления возмущений М, но пропускаем на вход объекта все помехи, кроме высокочастотных.

2.4. Одноканальные системы с регулятором в обратной связи.

В предыдущем разделе 2.3. мы изучали свойства систем при традиционном (регулирование по ошибке) включении регулятора. Такое включение естественно использовать в тех случаях, когда меняется плавно с ограничениями по производным. Это удобно для режима слежения. Чтобы сохранить нужные свойства систем при ступенчатом входе мы можем использовать предварительный фильтр. Порядок фильтра должен быть равен старшей ( относительной ) производной объекта и только при этом условии произвольное изменение входа не потребует неограниченного ресурса управляющего воздействия. Если же какая либо производная входа ограничена, то можно понизить и порядок предварительного фильтра.

Далее обсудим свойства систем, когда для сохранения рабочих свойств в режиме отработки ступенчатых входов регулятор включен в обратную связь, как показано на рис.2.1.

Рис.2.1.

Передаточная функция объекта имеет вид , полином c(p) имеет порядок n.

Операторное выражение для выхода выглядит следующим образом

.

При получаем .

Как видим, мы получаем необходимую динамику, инвариантную к свойствам объекта. Если

,

то предыдущее утверждение является неверным при , поскольку при этом модули полиномов A(p) и C(p) также стремятся к бесконечности. Нетрудно убедиться, что по отношению к возмущению M рассмотренная система имеет те же свойства, что и система с регулятором в прямой цепи.

Итак, включение регулятора в обратную связь сохраняет хорошие свойства системы, но сохраняет и основную ее проблему–поведение на высоких частотах.

2.5.Об устойчивости линейных систем при больших коэффициентах.

Рассмотрим простейший случай, когда в качестве регулятора используется коэффициент усиления,

.

Схема представлена на рисунке.

Свободное движение системы описывается следующим оператором:

. (2.3.)

Рассмотрим теперь три возможные ситуации.

1.Если то имеем и, следовательно, устойчивость системы определяется собственными свойствами объекта.

2.Если и при этом , то имеем .

Если имеет правые корни, то при объект теряется, ничего нельзя сделать. Заметим, что при нормальных значениях система может устойчиво работать и при неустойчивом полиноме .

3.Если и , то ситуация сложнее и мы ее рассмотрим подробно.

Пусть:

и, следовательно,

.

Рассмотрим поведение этого полинома на разных частотах и введем частотные диапазоны.

НЧ	РЧ	ВЧ	СВЧ

Приняты обозначения: РЧ – рабочие частоты; НЧ – низкие частоты; ВЧ – высокие частоты; СВЧ – сверхвысокие частоты. Здесь Т - корень старшей степени (степени полинома) из коэффициента при члене p с нулевой степенью, т. е. это - период колебаний на собственной частоте или величина, обратная значению среднегеометрического корня.

В диапазоне НЧ: в статике при p=0 имеем . Здесь свойства зависят только от значений k.

В диапазоне РЧ: и основные свойства определяются полиномом .

В диапазоне ВЧ мы имеем и, следовательно, две группы корней. Понятно, что нулевых корней соответствует медленным рабочим процессам. Уравнение

корни .

При , т. е. имеем одну парциальную составляющую с левым корнем, которая соответствует устойчивому процессу, эта экспонента быстро затухает.

При . Здесь имеем пару мнимых корней и система находится на границе устойчивости. Поскольку всегда необходим некоторый запас устойчивости, система неработоспособна.

При уравнение имеет правые корни и система неустойчива.

Вывод. При и при достаточно больших коэффициентах система всегда неработоспособна, она «раскачивается» на быстрых движениях.

Если нам требуется обеспечить достаточно большие коэффициенты для статики, то и степень полинома числителя должна быть не меньше, чем (), иначе систему успокоить невозможно.

Методом стабилизации системы при больших коэффициентах является включение дифференцирующего полинома в регулятор. Таким образом мы приходим к схеме на следующем рисунке, где регулятор обведен пунктиром.

Здесь - характеристический полином,

или .

Полином добирает недостающий порядок производной.

Без использования производной нужного порядка невозможно решить задачу инвариантности. Замечу здесь, что желание многих исследователей избежать использования производных от выходной величины при решении задач инвариантности является наивным и тормозит развитие теории и практики регулирования.

2.6. Анализ методом разделения движений.

Предполагаем, что исследуемая система представлена на рис.2.2.

.

Рис.2.2. . Система с форсирующим регулятором в обратной связи

В предыдущих системах при передаточная функция стремилась к единице, т. е. мы вынуждали объект мгновенно отрабатывать любое изменение входа. На больших частотах входа требуются большие ресурсы управления , которые всегда ограничены. Как правило, наряду с ограничены и диапазоны изменения “внутренних” величин объекта (токов, напряжений, расходов, давления, температур). Следовательно, единичная обратная связь удобна и необходима только для режима слежения, когда частоты входа ограничены. Система на рис.предполагает работу в режимах отработки начальных состояний, возмущений и скачкообразных изменений входа. Передаточная функция системы по входу имеет вид

При имеем , т. е. свойства системы соответствуют обратной передаточной функции регулятора. Если то система воспроизводит вход с инерционностью, что не требует неограниченно больших ресурсов даже при скачкообразном изменении входа. Выражение для имеет вид

При имеем Как видим, есть возможность с помощью регулятора как угодно изменять требуемые ресурсы ,что мы не могли сделать в предыдущих системах.

Итак, справедлив следующий вывод.

Вывод. Системы типа приведенной на рис. 2.1 удобно применять для режима слежения, а системы типа показанных на рис.2.2 - для всех других режимов работы.

.На практике при построении форсирующих ( с дифференцирующим эффектом ) регуляторов вводятся малые инерционности таким образом, чтобы обеспечить нужные фильтрующие свойства. В этом разделе мы получим расчетные соотношения для выбора значений малых параметров и больших коэффициентов. Видимо впервые систематическое исследование линейных систем с большими коэффициентами было проведено [27], где были установлены основные свойства систем и разработаны основы аппарата расчета. В этой работе предложен метод разделения характеристического уравнения на два полинома, соответственно для быстрых и медленных процессов. Наряду с ним к настоящему времени возникли и другие приемы разделения. В данной работе мы воспользуемся иным способом, который кажется нам методически более удобным.

Пусть здесь полином знаменателя передаточной функции регулятора имеет вид , где - малый параметр, отражающий инерционность регулятора. В уравнение он входит множителем при (например ). Характеристическое уравнение системы принимает вид

(2.4.

Как уже было отмечено, в рассматриваемых системах должны быть группы больших по модулю корней, соответствующих “быстрым” подпроцессам. Увеличение этих корней обусловлено наличием большого коэффициента и малой инерционности дифференцирующего фильтра (полином ).

Нужно сказать, что этот физический эффект есть и в обычных системах (почти всегда коэффициент усиления как минимум на порядок больше остальных параметров и почти всегда есть малые инерционности различных фильтров и неучтенные инерционности) и по этой причине их часто трудно настраивать, избавляться от “возбуждения” на высоких частотах. Все это - следствие неучета “быстрых” подпроцессов, которые нужно уметь выделять из общей системы уравнений и стабилизировать. Особенно важны эти вопросы в системах с управлением по старшей производной, когда коэффициент и параметр образуют “почти независимую” (с точностью до малых параметров) подсистему быстрых процессов.

В основе нашего метода лежит часто применяемая аппроксимация передаточных функций и, соответственно, полиномов числителей и знаменателей более простыми одночленными выражениями, близкими к действительным только в определенных областях значений аргумента . В частотной области это соответствует выделению низко-, средне - и высокочастотных участков. В подразделе 2.5. мы уже ввели эти общепринятые понятия.

Вначале рассмотрим ситуацию, когда быстрые процессы порождаются большим коэффициентом усиления, то есть m=0.

Разделение по большому коэффициенту.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид 2.3.,

где ,

а коэффициенты полиномов переобозначены по другой стандартной форме,

когда свободный член равен единице. Если уравнение 2.3. разделить на а перед этим пренебречь коэффициентами полинома по сравнению с коэффициентами полинома , то получим уравнение

Пользуясь “физическими” представлениями будем считать что в “рабочей зоне частот” величина имеет “нормальные” значения, а в зоне высоких частот .

Итак, нормальные процессы при соответствуют “вырожденному” характеристическому уравнению

(2.5)

которое имеет порядок

В зоне высоких частот , следовательно, в полиноме доминирует старший член . Из этих соображений получаем приближенное уравнение

в котором мы не можем пренебречь членом по сравнению с , потому что - как угодно большой параметр. Полученное уравнение имеет нулевых корней, которые соответствуют “замороженным” медленным движениям, а быстрым процессам соответствует характеристическое уравнение

В подразделе 2.5. мы провели анализ этого уравнения при бесконечных значениях k.

На практике значения хотя и большие но конечные и поэтому при больших промежуточные члены полинома могут быть соизмеримы с членом . Следовательно, при практических расчетах их нужно учитывать и характеристическое уравнение для быстрых процессов примет вид

где величина

характеризует инерционность быстрых процессов.

Последнее выражение как угодно точно соответствует действительным быстрым процессам только при достаточно малых . Это - свойство принципа (метода) разделения движений (прил.2), который является методом приближенного анализа процессов. Точность приближения можно оценивать приемами, разработанными в теории интегральных многообразий для дифференциальных уравнений.

Разделение по малой инерционности. Здесь в качестве асимптотического (т. е. устремленного к пределу) параметра будем использовать величину соответствующую малой инерционности форсирующего регулятора. Характеристическое уравнение систем с форсирующим регулятором (прямым или обратным) имеет вид

Как и в предыдущем случае, вначале полагаем, что в зоне рабочих значений модуля в силу достаточно больших поведение системы соответствует вырожденному уравнению

(2.6)

в котором мы сами формируем только полином а коэффициенты полинома в силу свойств объекта могут меняться во времени.

Полагая теперь, и, соответственно, , анализируем поведение систем в зоне быстрых процессов. Как и ранее, в полиноме мы оставляем в полиноме - член а в полиноме - член. В полиноме в силу конечности произведения мы ничем не можем пренебречь. Таким образом, получаем приближенное уравнение

Перед тем, как отбросить группу нулевых корней, рассмотрим возможные соотношения степеней полиномов (величины , ). Степень полинома выбирается только из условий эффективной фильтрации помех и от приведенных величин не зависит.

Величины и определяются моделью объекта, а выбираем по своему усмотрению.

Относительной производной выходной величины объекта будет производная от порядка . Введение этой величины в систему понятий имеет смысл, поскольку именно эта производная в текущий момент времени явно зависит от управления , что и обусловливает все хорошие качества принципа управления по старшей производной. Производные более высоких порядков использовать не будем, поскольку неясно, какие новые технические свойства можно при этом получить.

Величина соответствует порядку максимальной производной в регуляторе, следовательно, далее будем рассматривать ситуацию

Отбрасывая теперь группу из ( ) нулевых корней, получим характеристическое уравнение подсистемы быстрых движений

(2.7)

Из условий устойчивости требуется обеспечить соотношение . В то же время из условий независимости свойств системы от коэффициентов полинома нужно обеспечить равенство , т. е. .

Заметим, что если коэффициенты полинома зависят от времени, то в любом случае рабочие процессы системы будут также зависеть от времени. Этот факт является важной особенностью метода большого коэффициента.

Замечание 2.1. Необходимым условием применимости метода большого коэффициента является отрицательность корней уравнения . Это замечание соответствует условиям разрешимости задачи синтеза линейных систем, приведенным в разд.2.3.

2.7. Методика расчета одноканальных инвариантных систем

Пункт 1. Определение передаточной функции объекта (дифференциального уравнения) и его относительной старшей производной.

Выражение позволит определить относительную старшую производную.

На практике обычно степень полинома числителя равна (0,1,2).

При этом нужно оценить интервалы изменения коэффициентов полиномов числителя и знаменателя, если это имеет место, от этого диапазона зависит численное значение коэффициента k и, может быть, численное значение полинома . При этом нужно иметь в виду, что нестационарность коэффициентов полинома мы парировать не можем.

Пункт 2: Выбор полинома .

и ,

Полагаем , т. е. в статике единичная обратная связь. Полином удобно выбирать в таком виде:

.

В замкнутой системе при достаточно больших коэффициентах свободные процессы в этих системах будут описываться

при .

Полином от нас не зависит, мы можем выбирать только параметры полинома , исходя из требований к динамике системы.

Пункт 3: выбор коэффициента усиления .

Он всегда выбирается исходя из необходимой глубины подавления возмущения и нестационарных коэффициентов объекта ().

Используя операторные выражения по входу и возмущению для системы, представленной на схеме, мы можем получить расчетные соотношения. Итак

.

В статике p=0 и, следовательно,

.

Из условий глубины подавления возмущений выбирается коэффициент усиления,

.

Проверим, устроит ли нас этот коэффициент в динамике для подавления нестационарностей.

Предположим, что , тогда при в уравнении

доминируют коэффициенты полиномов B и C. Выбранный коэффициент должен подавить нестационарности всех коэффициентов полинома A в динамике.

В зависимости от требуемой динамики условия выбора меняются. Если по требованиям динамики он нас не устраивает, необходимо ослабить требования к быстродействию желаемой системы.

Пункт 4: Выбор дифференцирующего фильтра.

Количество производных, которые необходимо ввести в фильтр, равно порядку необходимого дифференцирования, и равно , поэтому порядок дифференцирующего фильтра должен быть больше или равен , а для подавления СВЧ помех он должен иметь порядок выше, чем .

Дифференцирующий фильтр - вспомогательная следящая система, передаточная функция которой имеет вид

,

где - полином, придающий системе фильтрующие свойства.

При выборе параметров дифференцирующего фильтра нужно обеспечивать для фильтра достаточный запас устойчивости и хорошее подавление помех в СВЧ – зоне.

Запас устойчивости мы обеспечиваем коэффициентами фильтра, а хорошее подавление помехи – его быстродействием;

.

Для получения нужных расчетных соотношений рассмотрим передаточную функцию системы (следующий рисунок) от помехи к управлению;

и, следовательно,

.

Анализ:

При (зона рабочих частот) инерционность фильтра незаметна, мы имеем обычную передаточную функцию, которая в пределе при вырождается в .

При - зона высоких частот – все полиномы вырождаются только в старшие члены:

,но

где - характеристическое уравнение контура быстрых движений.

1.  Пусть - нормальные частоты проходят без искажений.

При СВЧ (), тогда .

.

Этот случай наихудший и мы имеем предельное соотношение для оценки влияния помехи.

Чтобы уменьшить эту величину, мы должны выбирать фильтр более высокого порядка, чем необходимое дифференцирование.

2.

При СВЧ

где - это избыток порядка фильтра над порядком дифференцирования.

Превышение порядка фильтра над порядком дифференцирования (обычно 1-2) позволяет подавить СВЧ – помеху.

Рассматриваемые нами системы являются широкополосными и подвержены влиянию высокочастотных помех.

Пункт 5: коррекция быстрых движений.

Как видим, на высоких частотах быстрая часть процессов описывается характеристическим уравнением . Из–за большого коэффициента корни могут оказаться правыми, поэтому быстрые процессы могут быть неустойчивыми. Для стабилизации быстрых процессов необходимо осуществить их коррекцию. С этой целью в структурной схеме системы выделим подсистему, которая как раз и генерирует быстрые движения.

В различные места этого контура мы можем включить стабилизирующее звено.

Самым удобным местом для включения стабилизатора является вход усилителя.

Данный стабилизатор должен быть быстрым, т. е. влиять только на быстрые процессы.

, .

Это звено и подлежит выбору.

Мы получим задачу синтеза линейной системы.

- характеристическое уравнение ПБД.

К ПБД жесткие технологические требования не предъявляются.

Как видим, использование широкополосных систем (с производными в алгоритме управления) сводит задачу синтеза системы управления нестационарными объектами к двум отдельным подзадачам:

1. синтез желаемого полинома ;

2.  коррекция линейной подсистемы быстрых движений.

2.8. Обсуждение результатов.

Решающими факторами, обеспечивающими независимость (инвариантность) свойств системы от коэффициентов полинома , является использование в обратной связи старшей (или относительной) производной выходной величины и организация большого коэффициента. Эти два фактора и будем далее использовать при синтезе нелинейных нестационарных систем. Однако вследствие того, что невозможно использовать аппарат передаточных функций и характеристических уравнений, исключительно удобный в теории линейных систем, придется развить эти соображения, а именно - идею старшей производной, с учетом свойств другого аппарата, пригодного для расчета нелинейных систем. В качестве метода исследования нелинейных нестационарных систем будем использовать аппарат обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом будем обсуждать многоканальные системы и, следовательно, вместо большого коэффициента будем рассматривать матрицу (оставим то же обозначение, поскольку размерность всегда будет ясна), а вместо идеи старшей производной введем более общую идею вектора скорости (вектор ).