Задания олимпиады

Задания олимпиады

Технический уровень

1. Решите уравнение .

Ответ: -4 и 2.

Решение: 1) .

2) .

3). , .

4) Решая последнее уравнение, получаем .

Оценка в баллах	Критерии оценки выполнения задания
4	Верно выполнены все шаги решения.
3	Верно выполнены шаги 1-3 решения.
2	Верно выполнены шаги 1 и 2 решения.
1	Верно выполнены шаг 1 решения.
0	Не выполнен или не выполнен верно ни один шаг решения.

2. Решить неравенство .

Ответ: .

Решение: 1) ,

введем новую переменную и получим:

2) Решим полученное неравенство методом интервалов: , откуда y<1, либо y >5.

3) Неравенство имеет решения x<0. Неравенство имеет решения x>1.

4) Обединяя, получаем ответ .

Оценка в баллах	Критерии оценки выполнения задания
4	Приведена верная последовательность шагов решения 1-4. Правильно объяснены все ключевые моменты решения. Получен верный ответ.
3	Приведена верная последовательность шагов решения 1-3.
2	Приведена верная последовательность шагов решения 1-2. Правильно объяснены все ключевые моменты решения. Получен верный ответ.
1	Приведен первый шаг решения. Имеется 1-2 негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. При этом возможен неверный ответ.
0	В остальных случаях.

3. Решить уравнение .

Ответ: 2

Решение: 1) Заметим, что . Выполним следующие преобразования:

. Так как , то

,

2) , .

3) Решаем полученное логарифмическое уравнение. Так как основания логарифмов равны, то получаем , откуда

, , . Отсюда, имеем .

4) Непосредственной подстановкой убеждаемся, что не годится, так как не определен . Значение является корнем, так как .

Оценка в баллах	Критерии оценки выполнения задания
4	Приведена верная последовательность всех шагов решения 1-4. Обоснованы все ключевые моменты решения: использование формулы логарифма произведения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ.
3	Приведена верная последовательность шагов решения 1-3. Верно обоснованы все ключевые моменты решения. Допустима одна описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющая на правильность дальнейшего хода решения. В результате ошибки или описки может быть получен неверный ответ.
2	Приведена в целом верная последовательность шагов решения. Все необходимые для решения преобразования выполнены верно. Отсутствует обоснование использования формулы логарифма произведения. Верно выполнены шаги решения 1-2, шаг 3 выполнен неверно. Допущены негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях, в результате чего может быть получен неверный ответ.
1	Общая идея, способ решения верные, при этом верно сделан шаг решения 1. Допущены негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях, в результате чего может быть получен неверный ответ.
0	Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3, 4 балла.

4. Решить неравенство .

Ответ:

Решение: 1) Начнем с области определения: .

2) Само неравенство преобразуется к виду , или .

3) Возведя обе части неравенства в квадрат, получаем , или , или , или .

4) С учетом области определения имеем .

Оценка в баллах	Критерии оценки выполнения задания
4	Приведена верная последовательность шагов решения 1-4. Правильно объяснены все ключевые моменты решения. Получен верный ответ.
3	Приведена верная последовательность шагов решения 1-3.
2	Приведена верная последовательность шагов решения 1-2. Правильно объяснены все ключевые моменты решения. Получен верный ответ.
1	Приведен первый шаг решения. Имеется 1-2 негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. При этом возможен неверный ответ.
0	В остальных случаях.

5. Решить систему уравнений

//ответ:

//решение: Шаг 1. Из уравнения следует , откуда .

Шаг 2. При первое уравнение примет вид . Оно не имеет решений, так как отрицателен дискриминант квадратного уравнения .

Шаг 3. При первое уравнение примет вид . Оно не имеет решений, так как отрицателен дискриминант квадратного уравнения .

Шаг 4. При первое уравнение примет вид . Сделав замену и решив квадратное уравнение , найдем, что , . Решения системы запишутся в виде .

Баллы	Критерии оценки выполнения задания
4	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Правильно объяснены все ключевые моменты решения. Получен верный ответ.
3	Приведена верная последовательность всех шагов решения. Правильно объяснены все ключевые моменты решения. Имеется 1-2 негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. При этом возможен неверный ответ. Ученик не указал, что k, n, m .
2	Приведена в целом верная, но неполная последовательность шагов решения. Верно выполнен шаг 1, при нахождении y решение разбито на три случая. В каждом из случаев верно записаны квадратные уравнения относительно y. Верно решено одно из квадратных уравнений. Все необходимые для решения выполнены верно. Объяснены не все ключевые моменты решения. Имеется 1-2 негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. При этом возможен неверный ответ. Или при записи ответа для х и у учащийся использовал одну целую переменную n, сузив множество решений.
1	Сделан шаг 1. Полностью и правильно исследовано только одно из получающихся квадратичных уравнений, при этом другие квадратные уравнения не рассматривались. Для исследовавшегося случая записан правильный ответ. Или сделаны шаги 1-3, но неправильно решено одно из простейших тригонометрических уравнений.
0	Все остальные случаи.

6. Дано: , . Найти .

Ответ: 17

Решение: 1) , == ,

2) ,

3) ,

4) , .

Оценка в баллах	Критерии оценки выполнения задания
4	Верно выполнены все шаги решения.
3	Верно выполнены шаги 1-3 решения.
2	Верно выполнены шаг 1 и какой-либо из шагов 2 или 3 решения.
1	Верно выполнены шаг 1 решения. Либо в шаге 1 неверно определен знак косинуса. А все остальные шаги выполнены верно с учетом допущенной ошибки.
0	Не выполнен или не выполнен верно ни один шаг решения.

7. У Васи есть привычка лгать с воскресенья по вторник и не лгать в остальные дни. Задав пару вопросов, Петя получил следующие ответы: 1) Вчера я не был правдив. 2) А начиная через день, я не буду говорить правду еще два дня подряд. В какой день недели разговаривали Петя с Васей?

Ответ: в воскресенье.

Решение: 1) Рассмотрим утверждение «Вчера я не был правдив». Если оно истинно, то сегодня – среда.

2) Если оно ложно, то сегодня – воскресенье.

3) Если сегодня среда, то второе утверждение ложно, что невозможно.

4) Если сегодня воскресенье, то второе утверждение ложно, то есть тролль солгал 2 раза.

Оценка в баллах	Критерии оценки выполнения задания
4	Верно выполнены все шаги решения.
3	Верно выполнены любые три шага решения.
2	Верно выполнены шаги 1 и 2, либо 2 и 4, либо 1 и 3 решения.
1	Верно выполнены шаг 1 или 2 решения.
0	Не выполнен или не выполнен верно ни один шаг решения.

Гуманитарный уровень

1. Решите уравнение .

Ответ: 0 и 1.

Решение: 1) ,

введем новую переменную и получим:

2) Решим полученное уравнение, откуда y=1, либо y =5.

3) Уравнение имеет решение x=0. Уравнение имеет решение x=1.

Оценка в баллах	Критерии оценки выполнения задания
3	Приведена верная последовательность шагов решения 1-3. Правильно объяснены все ключевые моменты решения. Получен верный ответ.
2	Приведена верная последовательность шагов решения 1-2. Правильно объяснены все ключевые моменты решения. Получен верный ответ.
1	Приведен первый шаг решения. Имеется 1-2 негрубые ошибки в вычислениях или преобразованиях. При этом возможен неверный ответ.
0	В остальных случаях.

2. Решить неравенство .

Ответ: .

Решение: 1) .

2) , или .

3) , откуда .

Оценка в баллах	Критерии оценки выполнения задания
3	Верно выполнены все шаги решения.
2	Верно выполнены шаги 1 и 2 решения.
1	Верно выполнены шаг 1 решения.
0	Не выполнен или не выполнен верно ни один шаг решения.

3. Решить уравнение .

Ответ: 4 и -4.

Решение: Шаг 1. .

Шаг 2. .

Шаг 3. .

Оценка в баллах	Критерии оценки выполнения задания
3	Верно выполнены все шаги решения.
2	Верно выполнены шаги 1 и 2 решения.
1	Верно выполнены шаг 1 решения.
0	Не выполнен или не выполнен верно ни один шаг решения.

4. Решить неравенство .

Ответ: .

Решение: 1) Неравенство эквивалентно следующей системе

2) Первое неравенство системы имеет решение .

Второе неравенство системы имеет решение .

3) Последнее неравенство системы имеет решение .

Таким образом, исходное неравенство имеет решение .

Оценка в баллах	Критерии оценки выполнения задания
3	Верно выполнены все шаги решения.
2	Верно выполнены шаги 1 и 2 решения.
1	Верно выполнены шаг 1 решения.
0	Не выполнен или не выполнен верно ни один шаг решения.

5. Решить уравнение .

Ответ: решений нет.

1) Сделав замену , получим уравнение .

2) Дискриминант D=1-3=-2<0, поэтому уравнение решений не имеет.

Оценка в баллах	Критерии оценки выполнения задания
3	Верно выполнены все шаги решения.
2	Верно выполнен шаг, дискриминант найден неверно.
1	Верно выполнен шаг 1 решения.
0	Не выполнен или не выполнен верно ни один шаг решения.

6. Вычислить при .

Ответ: 2,01

Решение: Шаг 1. .

Шаг 2. .

Шаг 3. .

Оценка в баллах	Критерии оценки выполнения задания
3	Верно выполнены все шаги решения.
2	Верно выполнены шаги 1 и 2 решения.
1	Верно выполнены шаг 1 решения.
0	Не выполнен или не выполнен верно ни один шаг решения.

7. Боря, Паша, Рома и Саша провели однокруговой турнир по игре в шахматы (ничья – 1/2 балла, выигрыш – 1 балл, проигрыш – 0 баллов). Боря, Паша, Рома между собой сыграли вничью, но Рома занял место в турнирной таблице выше, чем Паша, но ниже, чем Боря. Какое место занял Саша на этом турнире?

Ответ: поделил 2-3 место с Ромой.

Решение: 1) Из условия имеем

	Боря	Паша	Рома	Саша	Очки	Место
Боря	–	1/2	1/2
Паша	½	–	1/2
Рома	½	1/2	–
Саша				–

2) Боря выше Ромы, а Рома выше Паши. Это возможно только если Боря выиграл у Саши, Рома сыграл вничью с Сашей, а Паша проиграл Саше.

3) Итоговая таблица выглядит так:

	Боря	Паша	Рома	Саша	Очки	Место
Боря	–	1/2	1/2	1	2	1
Паша	1/2	–	1/2	0	1	4
Рома	1/2	1/2	–	1/2	1,5	2-3
Саша	0	1	1/2	–	1,5	2-3

Оценка в баллах	Критерии оценки выполнения задания
3	Верно выполнены все шаги решения.
2	Верно выполнены шаги 1 и 2 решения.
1	Верно выполнены шаг 1 решения.
0	Не выполнен или не выполнен верно ни один шаг решения.