О решении второй основной четырехэлементной краевой задачи типа Римана в классах метааналитических функций в круге

О РЕШЕНИИ ВТОРОЙ ОСНОВНОЙ ЧЕТЫРЕХЭЛЕМЕНТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА В КЛАССАХ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КРУГЕ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Смоленский государственный университет, г. Смоленск

*****@***ru

Статья посвящена исследованию четырёхэлементной краевой задачи типа Римана для метааналитических функций. Получены условия нётеровости рассматриваемой задачи и конструктивный метод её решения в случае круга.

Пусть – конечная, односвязная область на плоскости комплексного переменного , ограниченная простым замкнутым гладким контуром , а , где – расширенная комплексная плоскость.

В дальнейшем в основном будем придерживаться терминов и обозначений, принятых в [1].

Определение 1. Кусочно метааналитической функцией с линией скачков L будем называть функцию , которая в двух дополняющих друг друга до расширенной комплексной плоскости областях и определяется так:

или

где , , , а , и – некоторые комплексные постоянные (), причем в каждой точке существуют конечные пределы:

, .

Обычно функции () называются аналитическими компонентами кусочно метааналитической функции .

При этом кусочно метааналитическую функцию , задаваемую формулой (1) (или (2)) будем называть исчезающей на бесконечности, если (), где .

Определение 2. Будем говорить, что кусочно метааналитическая функция принадлежит классу , если ее аналитические компоненты непрерывно продолжается на границу L вместе со своими производными (), причем так, что граничные значения функций () и указанных их производных удовлетворяют на L условию Гельдера.

Постановка задачи. Требуется найти все кусочно метааналитические функции класса , исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на L следующим краевым условиям:

,

,

где ( ) – производная по внутренней (внешней) нормали к L, а , , (; ) – заданные на L функции, причем , (; ), .

Сформулированную задачу будем называть второй основной четырехэлементной краевой задачей типа Римана в классах метааналитических функций (или, коротко, задачей ), а соответствующую однородную задачу () – задачей .

Отметим, что в частном случае, когда искомая функция задается формулами (1), где , и при выполнении на контуре L условий и краевая задача представляет собой вторую основную краевую задачу типа Римана для бианалитических функций, которая была поставлена в его известной монографии [3] и подробно исследована в работах (см. [1] и имеющуюся там библиографию). В работах (см., например, [2] и имеющуюся там библиографию) задача исследована в классах бианалитических функций (т. е. в классах функций вида (1) при ).

В данной заметке получены условия нетеровости задачи и конструктивный метод ее решения в данной выше постановке в случае, когда , .

Ясно, что для полного исследования задачи нужно рассмотреть отдельно два случая, в зависимости от того, в виде (1) или в виде (2) будем искать решения данной задачи.

Случай I. Будем искать решения задачи в виде (1). В силу (1) будем иметь:

,

,

.

Далее пользуясь соотношениями

,

(которые для окружности в силу тождеств и получаются из известных формул (см., например, [3], с. 304)), а также вводя в рассмотрение вспомогательные функции

(6)

(7)

перепишем краевые условия (3) и (4) соответственно в виде

, (8)

, (9)

где

(10)

Анализируя формулы (6) – (7), заключаем, что функции и должны быть аналитическими в областях и соответственно, т. е. ().

Таким образом, по сути, решение краевой задачи сводится к решению двух четырехэлементных краевых задач (8) и (9) относительно исчезающих на бесконечности кусочно-аналитических функций и соответственно.

Для удобства в дальнейших рассуждениях перепишем равенства (8) и (9) в виде одной формулы:

, . (11)

Переходя в формуле (11) к комплексно сопряженным значениям, будем иметь:

, . (12)

Введем в рассмотрение аналитические соответственно в и функции и (;), которые определим следующим образом:

, , . (13)

Замечание 1. Из формул (13) следует, что предельные значения функций и должны удовлетворять следующим условиям «симметрии»:

, , . (13а)

Используя формулы (13) из (11) и (12) будем иметь:

, , (14)

, . (15)

Выражая из (14) и (15) функции и , получим

, , (16)

, , (17)

где

, . (18)

Равенства (16)-(17) представляют собой развернутую запись следующих векторно-матричных задач Римана относительно кусочно-аналитических вектор-функций :

, , (19)

где

, .

Здесь важно заметить, что для определителей матриц-коэффициентов векторно-матричных задач Римана (19) справедливы следующие равенства:

, , . (20)

Из равенств (20) следует (см., например, [1], [4], [6], [7]), что для нетеровости векторно-матричных задач Римана (19) необходимо и достаточно, чтобы всюду на окружности L выполнялись условия:

, , . (21)

С учетом формул (10) условия (21) можно переписать в виде

, , . (22)

Методы решения векторно-матричных задач вида (19) (при выполнении условий (21)) достаточно подробно изложены, например, в [1], [6].

Предположим далее, что выполняются условия (21), векторно-матричные задачи (19) разрешимы и найдены их общие решения , .

Покажем теперь, каким образом по найденным решениям двух векторно-матричных задач Римана (19) (т. е. по известным вектор-функциям , , удовлетворяющим условиям «симметрии» (13а)), можно восстановить искомые кусочно метааналитические функции и (т. е. решения исходной задачи ).

Во-первых, в силу формул (13) по известным вектор-функциям , ) можно определить кусочно аналитические функции и , исчезающие на бесконечности.

Во-вторых, из соотношений (6) и (7) имеем:

, (23)

, (24)

, (25)

. (26)

Нетрудно проверить, что функция , определяемая по формуле (23), будет аналитической в круге при выполнении следующих условий:

. (27)

Так как по условию задачи порядок аналитической компоненты на бесконечности должен быть не меньше двух (т. е. ), то для функции , определяемой по формуле (25), указанное условие будет выполняться при выполнении следующих условий:

(28)

Поскольку требуется решить задачу в классе , то остается еще проверить выполнение следующего условия: граничные значения найденных по формулам (23)-(26) функций () и их производных первого порядка удовлетворяют на L условию Гельдера, т. е. , .

Согласно условиям задачи коэффициенты , (; ) и свободные члены . Поэтому в силу формул (10) имеем: , (; ). Отсюда, в свою очередь, будем иметь: и . Следовательно (см., например, [1], с. 53), граничные значения решений краевых задач Римана (19) принадлежат классу , т. е. (; ). Но тогда в силу формул (13) граничные значения функций также принадлежат классу . Значит, согласно формулам (23)-(26), будем иметь: , .

Таким образом, решения задачи в рассматриваемом случае можно найти по формуле (1), где () определяются из (23)-(26).

Сформулируем полученный результат.

Теорема 1. Пусть и всюду на L выполняются условия (22). Тогда решение краевой задачи в классе исчезающих на бесконечности кусочно метананалитических функций, задаваемых формулами (1), сводится к решению двух векторно-матричных задач Римана (19) нормального типа. При этом для разрешимости задачи необходимо и достаточно, чтобы были одновременно разрешимы задачи Римана (19) и выполнялись условия (27), (28).

Так как при выполнении условий (22) векторно-матричные задачи Римана (19) являются нетеровыми, то из теоремы 1 вытекает следующее важное утверждение.

Следствие 1. Задача в рассматриваемом случае нетерова тогда и только тогда, когда выполнены условия (22).

Случай II. Исследуем теперь задачу в случае, когда искомая кусочно метааналитическая функция задается формулами (2). В этом случае будем иметь:

, , (29)

, . (30)

Используя соотношения (5), формулы (29)-(30) и тот факт, что на окружности L выполняется тождество , перепишем краевые условия (3) и (4) соответственно в виде

, (31)

. (32)

Вводя в рассмотрение вспомогательные функции

, , , (33)

перепишем равенства (31) и (32) соответственно в виде:

, (34)

, (35)

где

, ,

, , ; (36)

(37)

. (38)

Отметим, что решение задачи ищется в классе , следовательно, функции () должны принадлежать классу . Кроме того, должны исчезать на бесконечности.

Далее будем считать, что на выполняется условие (21) при , а также одно из условий

(39)

(40)

(41)

. (42)

Тогда из равенства (34) c учетом обозначений (36), (37) получим:

, (43)

, (44)

где , ; , – вполне определенные функции, выражающиеся через коэффициенты краевых условий задачи , формулы для которых в настоящей заметке выписывать не будем из-за их громоздкости.

В силу структурной аналогии краевых условий (34) и (35), а также равенств (37) и (38), из (35) при выполнении на условия

, , (45)

и дополнительно одного из условий

(46)

(47)

(48)

(49)

получим формулы, аналогичные соотношениям (43) и (44):

, (50)

, (51)

где , ; , () – вполне определенные функции, выражающиеся через коэффициенты краевых условий задачи .

Интегрируя в (50) и (51) по частям члены, содержащие , получим:

, (52)

, (53)

где

, ,

, ,

, ,

, .

Из (43) и (44) получим ещё два равенства, связывающие граничные значения функций и аналитических компонент :

, (54)

, (55)

где

, ,

,

, .

Вычитая из (54) и (55) равенства (52) и (53) соответственно, с учетом (33) получим:

, (56)

, (57)

где

, , ,

, .

Умножая равенство (56) на , а равенство (57) на , окончательно получим:

, (58)

, (59)

где

, ,

, , .

Решая полученную обобщенную краевую задачу типа Римана (58) – (59), находим функции , . После этого по формулам (33) определяем функции , находим граничные значения и и по формулам (37), (38) определяем функции и . Решая четырёхэлементные краевые задачи (34), (35) методом, изложенным в [7], находим функции .

Таким образом, получили следующий результат.

Теорема 2. Пусть . Тогда решение краевой задачи в классе исчезающих на бесконечности кусочно метааналитических функций вида (2) сводится к решению краевой задачи (58) – (59) и двух скалярных четырёхэлементных краевых задач Римана (34), (35) для аналитических функций. При этом для разрешимости задачи необходимо и достаточно, чтобы были одновременно разрешимы все указанные вспомогательные краевые задачи.

Следствие 2. Задача в рассматриваемом случае нетерова тогда и только тогда, когда выполнены условия (21).

Литература

1.  Расулов,  задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения / . – Смоленск, 1998. – 344 с.

2.  Медведев, краевые задачи типа задачи Римана в классах бианалитических функций: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / . – Смоленск, 2007. – 115 с.

3.  Гахов,  задачи / . – М.: Наука, 1977.

4.  Мусхелишвили,  интегральные уравнения /

. – М.: ФМ, 1962.

5.  Исаханов,  граничные задачи со смещениями теории функций: дисс. … д-ра физ.-мат. наук: 01.01.02 / Исаханов Рагим Сулейманович. – Тбилиси, 1983. – 281 с.

6.  Векуа,  сингулярных интегральных уравнений / . – М.: Наука, 1970. – 379 с.

7.  Литвинчук,  задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом / . – M.: Наука, 1977.