МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
К ДИСЦИПЛИНАМ
ОПД. Ф.08– МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ,
СД.07 - ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Основная образовательная программа подготовки специалиста по специальностям
010200 – Прикладная математика и информатика,
061800 – Математические методы в экономике.
1.1. Автор программы: кандидат физ.-мат. наук, доцент ,
1.2. Рецензенты: доцент, кандидат физ.-мат. наук , доцент, кандидат физ.-мат. наук
1.3. Пояснительная записка:
Цели и задачи: Заложить фундаментальные знания, необходимые для применения математических методов в экономике, финансах и управлении. Все эти методы должны базироваться на прочной основе математических дисциплин. Развивать профессиональную компетентность, определяемую как совокупность теоретических и практических навыков, способность осуществлять профессиональные функции в рамках одного и более видов деятельности.
В профессиональной подготовке математика-экономиста и математика, системного программиста курс занимает особое положение, так как имеет прикладную направленность и является естественным продолжением курса математического анализа, изучаемого в предыдущих семестрах.
Главная цель курса – научить студента основам теории оптимального управления, сформировать практические навыки решения задач, включая решения задач повышенной сложности.
Предлагаемый курс имеет естественные межпредметные связи с курсами математического анализа, числовых систем, математической логики, геометрии, алгебры, информатики, экономики.
Программа курса составлена на основе Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальностям 061800 Математические методы в экономике, и на основе Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 010200 Прикладная математика и информатика.
В результате изучения курса студенты
должны знать: основные понятия и утверждения, входящие в содержание дисциплины, доказательства теорем.
должны уметь: решать задачи по разделам курса, применять теоретический материал, творчески подходить к решению профессиональных задач, строить математические модели в различных областях естествознания, приводить их к нужному виду, выбирать и реализовывать наиболее рациональный метод решения поставленной задачи.
1.4. Извлечение из ГОС ВПО
1. Специальность 010200 – Прикладная математика и информатика
ОПД. Ф.08 | Методы оптимизации: | 102 |
элементы выпуклого анализа; численные методы математического программирования; оптимальное управление; вариационное исчисление. |
2. Специальность 061800 – Математические методы в экономике
СД.07 | Теория оптимального управления. Общая постановка задачи оптимального управления в стиле Лагранжа-Понтрягина-Беллмана. Теоретические и практические методы качественного анализа |
1.5. Объем дисциплины и виды учебной работы
1.6. Содержание дисциплины.
1.6.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах). Примерное распределение учебного времени:
1. Специальность 061800 – Математические методы в экономике
№ п/п | Наименование раздела, темы | Количество часов | ||||
Всего ауд. | ЛК | ПР | ЛБ | Сам. раб. | ||
1 | Экстремальные задачи. Задачи без ограничений. Гладкая конечномерная задача с равенствами. Гладкая задача с равенствами и неравенствами. Выпуклые задачи. | 28 | 14 | 14 | – | 30 |
2 | Классическое вариационное исчисление (КВИ). | 36 | 18 | 18 | – | 38 |
3 | Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина | 16 | 8 | 8 | - | 20 |
2. Специальность 010200 – Прикладная математика и информатика
№ п/п | Наименование раздела, темы | Количество часов | ||||
Всего ауд. | ЛК | ПР | ЛБ | Сам. раб. | ||
1 | Экстремальные задачи. Задачи без ограничений. Гладкая конечномерная задача с равенствами. Гладкая задача с равенствами и неравенствами. Выпуклые задачи. | 28 | 14 | 14 | – | 15 |
2 | Классическое вариационное исчисление (КВИ). | 44 | 22 | 22 | – | 15 |
1.6.2. Содержание разделов дисциплины.
Экстремальные задачи. История развития теории оптимального управления. Классическая изопериметрическая задача. Задача Дидоны. Задача Евклида. Основные понятия, связанные с экстремальными задачами. Принцип Лагранжа исследования задач с ограничениями. Общий случай применения принципа Лагранжа. Основные понятия и теоремы функционального анализа. Основы дифференциального исчисления в линейных нормированных пространствах. Гладкие элементарные задачи (постановка гладкой элементарной задачи, правило решения, теорема Ферма, элементарная задача линейного программирования). Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств (постановка задачи, правило решения, правило множителей Лагранжа). Гладкая задача с равенствами и неравенствами – общий случай (постановка задачи, правило решения, правило множителей Лагранжа). Необходимые условия высших порядков. Достаточные условия. (Одномерный случай в задаче без ограничений, задача без ограничений (общий случай), гладкая задача с ограничениями типа равенств). Элементы выпуклого анализа. Выпуклые задачи (постановка задачи, правило решения, теорема Куна – Такера).
Классическое вариационное исчисление. Вариация и ее свойства (определения функционала, вариации аргумента, непрерывности функционала, близости кривых, непрерывности функционала в смысле близости k - го порядка, линейного функционала, два определения вариации функционала). Экстремум функционала. Строгий максимум и минимум. Необходимое условие экстремума функционала. Сильный и слабый экстремум. Вывод уравнения Эйлера. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Достаточные условия экстремума функционала в задаче: 
.
Функционалы вида: 
. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка. Уравнение Эйлера – Пуассона. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. Уравнение Остроградского. Вариационные задачи в параметрической форме. Принцип стационарного действия Остроградского - Гамильтона. Канонические уравнения. Простейшая задача с подвижными границами. Задача Больца. Задачи на условный экстремум. Изопериметрические задачи.
Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина. Основные понятия и определения. Постановка задачи. Принцип максимума Понтрягина. Примеры.
1.6.3. Темы для самостоятельного изучения.
№ п/п | Наименование раздела Дисциплины. Тема. | Форма самостоятельной работы | Форма контроля выполнения самостоятельной работы | Количество Часов ММЭ/ПМИ |
|
1 | Экстремальные задачи. Основные понятия и теоремы функциональ-ного анализа. Основы дифференциального исчи-сления в линейных нор-мированных пространст-вах. | Вопросы для самостоятельного изучения | Коллоквиум | 30/15 | |
2 | Классическое вариа-ционное исчисление. Вариационные задачи в параметрической форме. Принцип стационарного действия Остроградского - Гамильтона. Достаточные условия экстремума функционала | Вопросы для самостоятельного изучения | Экзамен | 38/15 | |
3 | Задачи оптимального управления. Схема доказательства принципа максимума | Вопросы для самостоятельного изучения | Экзамен | 20/0 |
1.7. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
1.7.1. Тематика и планы практических занятий по изученному материалу
Практические занятия по теме «Экстремальные задачи»
Формализация экстремальных задач. Гладкие элементарные задачи. Гладкие конечномерные задачи с ограничениями типа равенств. Гладкая задача с равенствами и неравенствами. Выпуклые задачи.
Литература:
1. , , Тихомиров задач по оптимизации. М., Физматлит, 2007.
2. , Летова оптимизации в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2005.
3. , , Фомин управление. М., Физматлит, 2005.
4. , Тихомиров экстремальных задач. М., Наука, 1974.
5. , Тихомиров курс теории экстремальных задач. Изд-во МГУ, 1989.
Практические занятия по теме «Классическое вариационное исчисление»
Нахождение экстремалей функционалов. Задачи с неподвижными границами. Задачи с подвижными границами. Задача Больца. Задачи на условный экстремум. Изопериметрические задачи.
Литература:
, , Тихомиров задач по оптимизации. М., Физматлит, 2007. Пантелеев исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2006. , , Терещенко задач по математике для ВТУЗОВ. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990. , , Фомин управление. М., Физматлит, 2005. , Тихомиров курс теории экстремальных задач. Изд-во МГУ, 1989.Практические занятия по теме «Задачи оптимального управления»
Решение задач оптимального управления. Простейшая задача о быстродействии.
Литература:
, , Тихомиров задач по оптимизации. М., Физматлит, 2007. , Тихомиров курс теории экстремальных задач. Изд-во МГУ, 1989. , , Фомин управление. М., Физматлит, 2005. Пантелеев исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2006. , , Терещенко задач по математике для ВТУЗОВ. Методы оптимизации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. М., Наука, 1990. , Бортаковский управления в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2003.1.8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
1.8.1. Рекомендуемая литература:
Основная литература.
, , Фомин управление. М., Физматлит, 2005. Лагоша управление в экономике. М., Финансы и статистика, 2003. , , Тихомиров задач по оптимизации. М., Физматлит, 2007. Пантелеев исчисление в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2006. , Бортаковский управления в примерах и задачах. М., Высшая школа, 2003. Ванько, В. И. Вариационное исчисление и оптимальное управление : учебник для студ. втузов / , , ; под ред. , . - Изд. 3-е, испр. - М. : Изд-во МГТУ им. , 20с Сухарев, методов оптимизации : [учеб. пособие] / , , ; Моск. гос. ун-т им. . - 2-е изд. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 20с.Дополнительная литература
1. Благодатских в оптимальное управление. М., 2001.
2. Буслаев исчисление. СПб, ЛГУ, 1980.
3. Блисс по вариационному исчислению. М., 1950.
4. Эльсгольц уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965.
5. , , Столярова оптимизации. М., Наука, 1978.
6. Фролькис в теорию и методы оптимизации для экономистов. СПб, 2002.
7. Болтянский методы оптимального управления. М., Наука, 1966.
8. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального управления. М., Мир, 1974.
9. , , Михайленко математика. Киев, Выща школа, 1989.
10. , , Мищенко теория оптимальных процессов. М., Наука, 1969.
11. , Тихомиров курс теории экстремальных задач. Изд-во МГУ, 1989.
12. , Тихомиров экстремальных задач. М., Наука, 1974.
13. , Фомин теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1981.
1.9. Примерные зачетные тестовые задания.
ВАРИАНТ № 1
1. Какой должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника заданной площади, чтобы радиус вписанного в этот треугольник круга был наибольшим?
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. На эллипсе 
найти точку наименее удаленную от прямой 
.
ВАРИАНТ № 2
1. Из пункта 
на прогулку вышел пешеход со скоростью 
. После того, как он отошел от на 6 км из следом за ним выехал велосипедист, скорость которого на 
больше скорости пешехода. Когда велосипедист догнал пешехода они повернули назад и возвратились вместе в со скоростью 
. При каком значении 
время прогулки пешехода окажется наименьшим?
2. 
.
3. 
.
4. 
.
5. Найти кратчайшее расстояние между параболой 
и прямой 
.
ВАРИАНТ № 3
1. Найти все экстремали функционала 
, удовлетворяющие указанным граничным условиям: а)
;
б) 
;
в) 
.
2. Найти функции 
и 
, на которых может достигаться экстремум функционала 
при указанных граничных условиях:
.
3. Найти экстремали функционала в следующей задаче с подвижными границами:
.
4. Найти экстремали функционала:
.
ВАРИАНТ № 4
1. Найти все экстремали функционала , удовлетворяющие указанным граничным условиям: а)
;
б) 
;
в) 
.
2. Найти функции и , на которых может достигаться экстремум функционала при указанных граничных условиях:
.
3. Найти экстремали функционала в следующей задаче с подвижными границами:
.
4. Найти экстремали функционала:
.
1.10. Примерный перечень вопросов к экзамену.
1. История развития теории оптимального управления. Классическая изопериметрическая задача. Задача Дидоны. Задача Евклида.
2. Основные понятия, связанные с экстремальными задачами.
3. Принцип Лагранжа исследования задач с ограничениями. Пример: 
.
2. Общий случай применения принципа Лагранжа. Примеры:
1) 
; 2) 
; 3) 
, где 
, 
.
5. Основные понятия и теоремы функционального анализа.
6. Основы дифференциального исчисления в линейных нормированных пространствах. Примеры.
7. Гладкие элементарные задачи (постановка гладкой элементарной задачи, правило решения, теорема Ферма, элементарная задача линейного программирования).
8. Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств (постановка задачи, правило решения, правило множителей Лагранжа). Гладкая задача с равенствами и неравенствами – общий случай (постановка задачи, правило решения, правило множителей Лагранжа). Примеры:
1) 
; 2) 
;
3) 
.
9. Необходимые условия высших порядков. Достаточные условия. (Одномерный случай в задаче без ограничений, задача без ограничений (общий случай), гладкая задача с ограничениями типа равенств). Пример: 
.
10. Элементы выпуклого анализа.
11. Выпуклые задачи (постановка задачи, правило решения, теорема Куна – Такера). Примеры:
1) 
; 2) 
.
12. Вариация и ее свойства (определения функционала, вариации аргумента, непрерывности функционала, близости кривых, непрерывности функционала в смысле близости k - го порядка, линейного функционала, два определения вариации функционала).
13. Экстремум функционала. Строгий максимум и минимум. Необходимое условие экстремума функционала. Сильный и слабый экстремум. Замечания 1-3.
14. Вывод уравнения Эйлера (основная лемма вариационного исчисления без доказательства).
15. Основная лемма вариационного исчисления (с доказательством). Примеры 1, 2.
16. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера (случаи 1-3, примеры 3-7).
17. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера (случаи 4, 5, примеры 8-10).
18. Функционалы вида 
.
19. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка. Уравнение Эйлера – Пуассона.
20. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. Уравнение Остроградского.
21. Вариационные задачи в параметрической форме.
22. Каноническая или гамильтонова форма уравнений Эйлера.
23. Простейшая задача с подвижными границами (вывод условий трансверсальности).
24. Простейшая задача с подвижными границами (формулировка необходимого условия экстремума и условий трансверсальности, примеры). Задача Больца. Пример.
25. Вариационные задачи на условный экстремум. Связи вида 
.
26. Вариационные задачи на условный экстремум. Неголономные связи. Задача Лагранжа.
27. Изопериметрические задачи. Примеры.
28. Задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина. Пример. Функция Понтрягина. Простейшая задача о быстродействии.
2. Содержательный компонент теоретического материала.
Лекция №1. Гладкие задачи с равенствами и неравенствами. Основные понятия и определения.
Лекция №2. Некоторые определения и теоремы из функционального анализа.
Лекция № 3. Принцип Лагранжа исследования задач с ограничениями.
Лекция № 4. Основы дифференциального исчисления в нормированных пространствах.
Лекция № 5. Гладкие задачи без ограничений.
Лекция № 6. Об одном классе экстремальных задач.
Лекция № 7. Элементы выпуклого анализа.
Лекция № 8. Вариационное исчисление. Вариация функционала. Необходимое условие экстремума функционала. Основная лемма вариационного исчисления.
Лекция № 9. Вывод уравнения Эйлера. Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
Лекция № 10. Функционалы вида .
Лекция № 11. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка.
Лекция № 12. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных.
Лекция № 13. Простейшая задача с подвижными границами.
Лекция № 14. Вариационные задачи на условный экстремум. Голономные связи.
Лекция № 15.
Лекция № 16. Изопериметрические задачи.
Лекция №17. Задачи оптимального управления. Постановка задач.
Лекция №18. Принцип максимума. Пример.
