Вопросы по сжатию и восстановлению информации

1. Размерность Лебега-Брауэра. – открытый конечный набор множеств, - покрытия, диаметр . Кратность покрытия точки – количество , содержащих точку. Кратность покрытия – максимум покрытия по точкам. Размерность и кратность покрытия d+1.	3. Примеры фрактальных множеств (множество Кантора, кривая Коха). Множество Кантора:, берем отрезок [0, 1], делим на 3 части и выкидываем середину и так повторяем для полученных новых отрезков [0, ] , [, 1]. Кривая Коха: делим [0, 1] на 3 части и центральную часть превращаем в горку, ее Хаусдофрова размерность , т. к. она состоит из 4 частей с коэффициентом подобия .
2. Размерность Хаусдорфа. . - минимальное число покрывающих множеств. Размерность - .
4. Теорема Банаха о неподвижной точке. Пространство полное, если любая фундаментальная последовательность в нем сходится. - полное метрическое пространство, - элементы, – метрика. - Липшец, – сжимающее, если . - сходится: . – фундаментальна: . Теорема: - полное метрическое пространство, - сжимающее отображение, то 1) сущ. ед. неподвижная точка , 2) , 3) . Д-о: , , значит последовательность фундаментальна, т. е. сходится, значит , пусть , - предел, - предел, значит ; пусть сущ. - противоречие. Следствие: .	6. Фрактальный метод сжатия информации о множествах. Если у сжимающего точка неподвижна, то . Пусть есть , ищем . Есть , подберем , что . Т. к. , то . - метрика для компактных множеств. Неравенство Банаха: - коэффициент сжатия. Хатчинсон (прием построения сжимающего отображения): – норма оператора, , оператор сжимающий, если ; - линейный оператор => чисел нужно для задания; зададим ; д-о: ; сжимаем ; строим поправку , сближаем и , , где . - канторово совершенное множество. Пример: .
7. Фрактальный метод сжатия информации о функции. f(x) – функция яркости, . Пространство функций – линейное пространство. C(Q)={f – непрерывны на Q}: ; Lp(Q): . Нужно - регионы, - домены, строим - сжимающее => - искажение => . 1) ; 2) . . должно выбираться так, чтобы отображались схожие участки. Похожесть определяется размерностью Хаусдорфа. Т. е. получаем перебор по среди тех, у кого близки и
8. Характеризация элемента наилучшего приближения в пространстве H со скалярным произведением. Доказать необходимость. Теорема о характеризации наилучшего приближения: - точка наилучшего приближения ó . Д-о: н: x* - элемент наилучшего приближения и , + => - элемент наилучшего приближения => противоречие.	9. Доказать достаточность. Теорема о характеризации наилучшего приближения: - точка наилучшего приближения ó . Д-о: д: => - ближайший.
11. Теорема Пифагора. Теорема: . Д-о: .
10. Характеризация элемента наилучшего приближения из подпространства. Следствие: M – линейное подпространство из H, - элемент наилучшего приближения ó . Д-о: .	13. Экстремальное свойство суммы Фурье. . Свойство: при фиксированном n частная сумма Фурье – ближайший элемент, наилучшее приближение. , если замкнута: .
12. Построение элемента наилучшего приближения из подпространства, натянутого на конечную систему элементов . H – ортонормированное пространство. – ортонормированная система векторов. , по .	14. – ортонормированная система. Если то . Если то . Доказать. тверждение: Если то . Д-о: , но . Утверждение: Если то . Д-о: , .
16. Преобразование Фурье. Теорема Планшереля (формулировка). . Теорема Планшереля: 1) , 2) .	15. Комплексная форма ряда Фурье 2π-периодической функции. , .
17. Преобразование Габора . Его свойства. => - локализация преобразования в точке t-b и r(α). .	18. Оконная функция ω. Числовые характеристики локализованности. - оконная функция. - центр функции. - радиус функции. .
19. Оконное преобразование . Доказать равенство . , , , .	20. Понятие частотно-временного окна. Принцип неопределенности. Показать, что . Плоскость с осями частотного и временного окон. Задавая локализационные свойства одного окна, автоматически задаются и второго. => - принцип неопределенности. . Рассмотрим , , , => .
22. Доказать, что . , = , .
21. Интегральное всплеск преобразование . Выразить центр и радиус через и . , - оконная функция, a – сдвиг, b – локализация. . = .	23. Частотно-временные окна интегрального всплеск-преобразования. , , . = ,
24. Привести схему доказательства равенства для непрерывной функции f. (доказательство основано на вычислении . . . , . Теорема: - формула обращения.	26. Основная теорема. Если - функция, определяющая пространство кратно-масштабного анализа и , то – ортонормированный базис в . Дать план доказательства. Теорема: Если - функция, определяющая пространство кратно-масштабного анализа и , то – ортонормированный базис в . Д-о: - базис Хоара, , , , , ; ; ; => последовательно находим базисы попарно ортогональные; => => , проверим, , нужно показать сходимость : сходится т. к. по Коши; , т. к. иначе – противоречие сходимости; значит - нулевой => .
25. Понятие кратно-масштабного анализа. Пример, основанный на кусочно-постоянных функциях. – набор замкнутых подпространств. Свойства: 1) , 2) , 3) , 4) , 5) , 6) – ортонормированный базис в . в . Частный случай кратно-масштабного анализа: – отрезки постоянства, , – отрезки постоянства, , .	27. Построить систему попарноортогональных подпространств и показать, что . => последовательно находим базисы попарно ортогональные; => => , проверим, , нужно показать сходимость : сходится т. к. по Коши; , т. к. иначе – противоречие сходимости; значит - нулевой => .
28. Лемма 1: ортогональна ó почти всюду. Д-о: => по полноте системы тригонометрических функций .	30. Используя Леммы 1,2, показать, что справедлива Лемма 3: почти всюду, где . Д-о: , - ортонормированный базис в => по Лемме 1 => .
29. Лемма 2: функцию представить в виде - 2π-периодическая функция. Д-о: , - ортонормированный базис в => - ортонормированный базис в => – коэффициенты Фурье, => .	31. Пример кратно-масштабного анализа, построенного на базе кусочно-постоянных функций. Частный случай кратно-масштабного анализа: – отрезки постоянства, , – отрезки постоянства, , .
32. Определение и свойства B-сплайнов. – константа, – ломаная, - параболическая кривая. Используется функция , , причем все производные до m-ого порядка непрерывны, т. е. гладкость=m.	33. Определение базиса Рисса. , , , по - ортонормированная система, - базис Рисса, .

34. Лемма: Для эквивалентны условия: 1) , 2) , где . Доказать. Д-о: => : докажем левое неравенство, => , но - противоречие.	35. Теорема: - базис Рисса, (функция определена выше), то - ортонормированная система. Д-о: , значит по Лемме 1 - ортонормированная система.
36. Всплески, построенные на базе B-сплайнов. Всплески Ламарье Баттла: , , изображение
37. Всплески Шеннона-Котельникова. , , => ортонормированная система, – кардинальный ряд, - базис, изображение