Основы теории измерений

4.1. Основы теории измерений

Процедура сравнения неизвестного размера с известным и выражение первого через второй в кратном или дольном отношении математически записывается следующим образом

,

где в качестве известного размера [Q] при измерении физических величин выступает соответствующая единица СИ.

Записанное уравнение называется уравнением измерения. Результаты измерений являются продуктами нашего познания. Представляя собой приближенные оценки значений величин, найденные путем измерения, они зависят не только от них, но еще и от метода измерения, от технических средств, с помощью которых проводятся измерения, и от свойств чувств наблюдателя, осуществляющего измерения.

Причинами возникновения погрешностей являются: несовершенство методов измерений, несовершенство технических средств, применяемых при измерениях, и несовершенство органов чувств наблюдателя.

Рассмотрим пример определения погрешности измерения из-за температурной деформации, если температура детали отличается от температуры среды измерения.

Пусть температура средств измерения и температура воздуха в цехе равны 230С. Материал средств измерения – сталь. Температура поступающих на измерение алюминиевых деталей 300С. Измеренный размер 100 мм.

Решение:

tД = 300C ; tИ = 230C ; aИ = 12 × 10-6 град-1 ; aД = 23,8 × 10-6 град-1 ;

Погрешность от температурной деформации при средней установившейся температуре детали и инструмента tСР = 250С

.

То есть около 15 мкм.

Главной особенностью измерений является то, что при многократном измерении одной и той же величины постоянного размера результат сравнения Х, называемый отсчетом по шкале отношений, получается все время разным.

Это положение, установленное практикой, формулируется в виде аксиомы, которую можно назвать основным постулатом метрологии: отсчет является случайным числом.

Таким образом, отсчет невозможно представить одним числом, его можно лишь описать словами или математическими зависимостями, выражениями и символами.

Исчерпывающим описанием отсчета у цифровых измерительных приборов является плотность распределения вероятности P(xi) и функция распределения вероятности F(xi).

Плотность распределения вероятности P(x) и функция распределения вероятности F(x) служат математическими моделями эмпирических законов распределения, получаемых из экспериментальных данных.

Таким образом, при измерении какой-либо величины возникают погрешности. Погрешность измерения – это разность между результатами измерения и истинным значением измеряемой величины. Погрешности измерений подразделяются на систематические, случайные и грубые (промахи). Систематической называется погрешность, постоянная по величине и знаку, значение которой при повторных измерениях повторяются или закономерно меняются. Такую погрешность может вызвать дефект измерительного инструмента. Случайной называется погрешность, принимающая при повторных измерениях одной и той же величины и в тех же условиях разные значения по величине и знаку. Вот почему единственно правильным методом анализа случайных погрешностей является математическая статистика.

Рассмотрим основные положения мате

матической статистики.

1. Функция F(x) определяет вероятность того, что отдельный результат сравнения по формуле

будет меньше ее аргумента.

2. Вероятность не может быть отрицательной

3. Результат отдельного сравнения меньше x1 с вероятностью F(x1) и меньше x2 с вероятностью F(x2). Следовательно, вероятность того, что результат сравнения по формуле окажется в интервале [x1 ; x2] равна разности значений F(x)

4. Плотность распределения вероятности P(x) связана с функцией распределения вероятности F(x) соотношением

.

Поэтому P(x) называют иногда дифференциальной функцией распределения вероятности.

В свою очередь F(x) может быть получена интегрированием P(x) в соответствующих пределах:

F(x)0 называют иногда интегральной функцией распределения вероятности.

5.  Так как F(x) неубывающая функция, то ее производная не может быть отрицательной:

6.  Вероятность того, что результат сравнения окажется в интервале

[x1 ; x2], равна площади, ограниченной графиком функции P(x), осью абсцисс и перпендикулярами к ней на границах интервала

7. При расширении интервала до бесконечности рассматриваемое событие является достоверным.

Описание отсчета с помощью законов распределения является наиболее точным, но неудобным. Во многих случаях ограничиваются приближенным описанием закона распределения вероятности отсчета с помощью его числовых характеристик или моментов.

Все они представляют собой некоторые средние значения, причем, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра закона распределения – центральными.

Общее правило образования начальных моментов

где - номер момента.

Важнейшим начальным моментом является первый – среднее значение

характеризующее математическое ожидание отсчета – М(х).

Второй центральный момент называется дисперсией и обозначается sх2 .

.

Иногда дисперсию удобно обозначать символом D(x).

Дисперсия случайного числа равна разности между математическим ожиданием его квадрата и квадратом математического ожидания

Чем больше дисперсия, тем значительнее рассеяние результатов.

Дисперсия случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдений и является характеристикой их рассеивания относительно математического ожидания.

Если математическое ожидание результатов наблюдений можно рассматривать в механической интерпретации как абсциссу центра тяжести фигуры, заключенной между кривой распределения и осью ОХ, то дисперсия является аналогом момента инерции этой фигуры относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести.

Дисперсия имеет размерность квадрата измеряемой величины, поэтому она не совсем удобна в качестве характеристики рассеивания.

Значительно чаще в качестве последней используется положительное значение корня квадратного из дисперсии, называемое средним квадратическим отклонением результатов наблюдений

С помощью среднего квадратического отклонения можно оценить вероятность того, что при однократном наблюдении случайная погрешность по абсолютной величине не превзойдет некоторой наперед заданной величины

Рассеяние погрешностей измерения линейных размеров подчиняется нормальному закону распределения вероятностей (закону Гаусса).

Распределение вероятностей погрешностей при этом законе описывается формулой

.

4.1. Погрешность измерения

Под погрешностью измерения как характеристики точности измерений подразумевают отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Точность измерения – это свойство качества измерения, отрицающее близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины. Количественно погрешность измерений может быть выражена величиной, обратной погрешности измерения, которую называют мерой точности.

Оценка погрешности измерений – одно из важных мероприятий по обеспечению единства измерений.

Количество факторов, влияющих на погрешность измерения достаточно велико. Поэтому для практических целей достаточно рассмотреть систематические и случайные составляющие общей погрешности.

4.2. Систематические погрешности

Систематической погрешностью называется составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины.

Систематические погрешности принято классифицировать в зависимости от причин их возникновения и по характеру их проявления при измерениях.

В зависимости от причин возникновения рассматриваются четыре вида систематических погрешностей:

1.  Погрешность метода или теоретические погрешности.

2.  Инструментальные погрешности.

3.  Погрешности, обусловленные неправильной установкой и взаимным расположением средств измерения.

4.  Погрешности, зависящие от лица, ведущего измерения.

Погрешности метода могут возникнуть, например, при измерении цилиндрического валика, если диаметр цилиндрического валика считать равным результату, полученному при измерении в одном сечении и в одном направлении. В этом случае допускается систематическая погрешность, полностью определяемая отношениями формы исследуемого вала.

4.3. Случайные погрешности.

Случайные погрешности изменяются при повторных измерениях одного и того же параметра случайным образом.

Значение случайной погрешности заранее неизвестно, оно возникает из-за множества неутонченных факторов. Случайные погрешности нельзя исключить полностью, но их влияние может быть уменьшено путем обработки результатов измерений с использованием вероятностных и статических характеристик.

Обычно предполагается, что значения всех случайных погрешностей распределены по нормальному закону.