Кафедра «Электронно-вычислительная аппаратура»

Московский государственный институт

Электроники и математики

(технический университет)

Кафедра

«Электронно-вычислительная аппаратура»

Домашняя работа

по дисциплине

«Основы теории управления»

На тему:

«Анализ устойчивости систем»

Выполнил:

Студент группы С – 55

Проверил:

Москва 2006 г.

Аннотация

В работе проведен анализ устойчивости многомерной системы и по результатам анализа вычислен коэффициент обратной связи, при котором система устойчива. Анализ производился алгебраическим методом, а также с помощью алгебраического (Гурвица) и геометрического (Михайлова) критериев.

Содержание

Аннотация. 2

Содержание. 3

Техническое задание. 4

Анализ технического задания. 5

Алгоритм решения. 6

Анализ устойчивости по управлению.. 8

Поиск передаточной функции. 8

Определение параметра (критерий Гурвица) 8

Проверка алгебраическим методом.. 13

Проверка геометрическим критерием Михайлова. 14

Частотные характеристики. 16

Анализ устойчивости по дестабилизирующим факторам.. 20

Поиск передаточной функции. 20

Определение параметра (критерий Гурвица) 21

Проверка алгебраическим методом.. 26

Проверка геометрическим критерием Михайлова. 28

Частотные характеристики. 28

Заключение. 32

Использованная литература. 33

Техническое задание

Для заданной модели определить коэффициент звена системы с тем, что система будет:

а.  Устойчивой

б.  Неустойчивой

Построить частотные и временные характеристики.

Анализ устойчивости проводить алгебраическим методом и использовать алгебраический (Гурвица) и геометрический (Михайлова) критерии.

Анализ технического задания

В процессе решения возникает проблема вычисления корней полиномов высокой степени, а также вычисления определителей матриц высокого порядка. С целью ускорения таких вычислений в работе применено средство автоматизированного вычисления Maple9.5.

Алгоритм решения

Разделение многомерной системы на две системы: по входу и по выходу.

Реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.

где, х - вектор состояний, с - скаляр, L- линейный оператор.

Поиск передаточной функции системы (эквивалентного звена) с помощью эквивалентных преобразований.

В структурных схемах системы реализуются только операции умножения и суммирования передаточной функции и звеньев.

Поскольку эти операции коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны, то задача построения структурной схемы системы может решаться неоднозначно, т. е. можно получить несколько вариантов графического представления. Но после соответствующих преобразований оказывающихся эквивалентными.

A = <M,Ω>

Л = {∙, +} f: W2 ─> W

М = {W}i =1,n f = W×W

Множество возможных преобразований строится на основе двух основных свойств звеньев (сложение и умножение)

·  Совокупность последовательно соединенных n однородных звеньев можно заменить одним звеном, передаточная функция которого равна произведению передаточных функций исходных звеньев.

Действительно, т. к. y1= W1(p)V1, … , y= Wn(p)yn-1, то исключив из этой системы y1…yn-1 получим y = W1(p)*W2(p)*…*Wn(p)*V

·  Совокупность параллельно соединенных однородных звеньев можно заменить одним звеном, передаточная функция которого есть сумма передаточных функций звеньев.

y1 = W1(p)*V, y2 = W2(p)*V, … , yn = Wn(p)*V

Сложив эти n уравнений имеем:

Поиск характеристического уравнения системы. Анализ характеристического уравнения алгебраическим методом или с помощью алгебраических или геометрических критериев.

Алгебраический метод подразумевает под собой поиск корней характеристического уравнения и проверку принадлежности их к левой полуплоскости комплексных чисел.

Критерий Гурвица

Этот критерий является обобщением критерия Рауса и поэтому эго часто называют критерием Рауса-Гурвица. В этом случае роль схемы Рауса играет матрица Гурвица, а роль первого столбца таблицы Рауса – последовательность главных миноров ∆i = 1,n.

Критерий Михайлова

Все корни характеристического уравнения с действительными коэффициентами и а0=1 имеют строго отрицательные действительные части тогда и только тогда, когда комплексная функция от действительной переменной описывает в комплексной плоскости Z кривую (годограф Михайлова), начинающуюся на положительной действительной полуоси, не попадающую в начало координат и последовательно проходящую против хода часовой стрелки n квадрантов, где n – степень характеристического уравнения.

Анализ устойчивости по управлению

Поиск передаточной функции

Схема, управляемая входом X(p)

Преобразуем к эквивалентному звену

Откуда найдем эквивалентное звено заменой участков схемы с обратными связями на эквивалентные звенья:

> w10:=1/((1/(w2*w3+w5))+w8);

> we1:=1/( (1/(w10*(w1+w4))) +w9*w7 );

Определение параметра (Гурвиц)

Приведем передаточную функцию к нормальной форме:

> we1:=normal(we1,expanded);

Команда для вычисления знаменателя приведенной дробно-рациональной функции:

> q1:=denom(we1);

Вычисление коэффициентов знаменателя

p:='p';with(PolynomialTools):koef:=CoefficientList(q1,p);a0:=koef[9];

a1:=koef[8];a2:=koef[7];a3:=koef[6];a4:=koef[5];a5:=koef[4];a6:=koef[3];a7:=koef[2];a8:=koef[1];

Описание матрицы Гурвица через коэффициенты ai

> H := <<a1 | a3 | a5 | a7 |0 |0 |0 |0>, <a0 | a2 | a4 | a6 |a8 |0 |0 |0>, <0 | a1 | a3 | a5 |a7 |0 |0 |0>, <0| a0 | a2 | a4 | a6 |a8 |0 |0>, <0|0|a1 | a3 | a5 | a7 |0 |0>, <0|0|a0 | a2 | a4 | a6 |a8 |0>, <0|0|0|a1 | a3 | a5 | a7|0>, <0|0|0|a0 | a2 | a4 | a6 |a8>>;

Программирование миноров

> Delta8:=H; with(linalg):Delta7:=minor(Delta8,8,8);

Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

> with(linalg):Delta6:=minor(Delta7,7,7);

> with(linalg):Delta5:=minor(Delta6,6,6);

> with(linalg):Delta4:=minor(Delta5,5,5);

> with(linalg):Delta3:=minor(Delta4,4,4);

> with(linalg):Delta2:=minor(Delta3,3,3);

> with(linalg):Delta1:=minor(Delta2,2,2);

Программирование определителей

> d8:=det(Delta8);d7:=det(Delta7);d6:=det(Delta6);d5:=det(Delta5);d4:=det(Delta4);d3:=det(Delta3);d2:=det(Delta2);d1:=det(Delta1);

Программирование критерия Гурвица

> solve({d8>0,d7>0,d6>0,d5>0,d4>0,d3>0,d2>0,d1>0});

Таким образом, по критерию Гурвица, при система устойчива по управлению.

Проверка алгебраическим методом

Проверим алгебраическим методом устойчивость системы при

> k:=-1;solve(q1,p);

=> при k=-1 система неустойчива по управлению

> k:=1;solve(q1,p);

=> при k=1 система устойчива по управлению

> k:=5;solve(q1,p);

=> при k=5 система устойчива по управлению

> k:=10;solve(q1,p);

=> при k=10 система устойчива по управлению

> k:=11;solve(q1,p);

=> при k=11 система неустойчива по управлению

Проверка геометрическим критерием Михайлова

Рассмотрим кривую, изображающую на комплексной плоскости множество значений собственного оператора системы при различных значениях ω.

Кривая, изображающая на комплексной плоскости множество значений собственного оператора системы при различных значениях ω начинается на вещественной положительной полуоси и при увеличении ω 8 раз пересекает оси координат, проходя 8 квадрантов против часовой стрелки, следовательно, по критерию Михайлова, система устойчива при k=5.

> plot([Re(q1), Im(q1), omega=0..2]);

> plot([Re(q1), Im(q1), omega=0..4]);

> plot([Re(q1), Im(q1), omega=0..20]);

> plot([Re(q1), Im(q1), omega=0..2000]);

Частотные характеристики

При k=5

Вещественно-частотная характеристика

> plot(Re(we1), omega=0..5);

>

Мнимо-частотная характеристика

> plot(Im(we1), omega=0..5);

Амплитудно-фазовая частотная характеристика

> plot([Re(we1), Im(we1), omega=0..5]);

Амплитудная частотная характеристика

> smartplot(abs(we1));

Фазочастотная характеристика

> phase1:=arctan(Im(we1)/Re(we1));

> smartplot(phase1);

Анализ устойчивости по дестабилизирующим факторам

Поиск передаточной функции

> we1:=w6/( 1+((w1*w7*w9+w8)*(w2*w3+w5)));

Определение параметра (критерий Гурвица)

Приведем передаточную функцию к нормальной форме:

> we1:=normal(we1,expanded);

Вычисление знаменателя приведенной дробно-рациональной функции:

> q1:=denom(we1);

Вычисление коэффициентов знаменателя

> p:='p';with(PolynomialTools):koef:=CoefficientList(q1,p);a0:=koef[10];

> a1:=koef[9];a2:=koef[8];a3:=koef[7];a4:=koef[6];a5:=koef[5];a6:=koef[4];a7:=koef[3];a8:=koef[2];a9:=koef[1];

Описание матрицы Гурвица через коэффициенты ai

> H := <<a1 | a3 | a5 | a7 |a9 |0 |0 |0|0>, <a0 | a2 | a4 | a6 |a8 |0 |0 |0|0>, <0 | a1 | a3 | a5 |a7 |a9 |0 |0|0>, <0| a0 | a2 | a4 | a6 |a8 |0 |0|0>, <0|0|a1 | a3 | a5 | a7 |a9 |0|0>, <0|0|a0 | a2 | a4 | a6 |a8 |0|0>, <0|0|0|a1 | a3 | a5 | a7|a9|0>, <0|0|0|a0 | a2 | a4 | a6 |a8|0>,<0|0|0|0|a1 | a3 | a5 | a7 |a9>>;

Программирование миноров

> Delta9:=H; with(linalg):Delta8:=minor(Delta9,9,9);Delta7:=minor(Delta8,8,8);

> with(linalg):Delta6:=minor(Delta7,7,7);

> with(linalg):Delta5:=minor(Delta6,6,6);

> with(linalg):Delta4:=minor(Delta5,5,5);

> with(linalg):Delta3:=minor(Delta4,4,4);

> with(linalg):Delta2:=minor(Delta3,3,3);

> with(linalg):Delta1:=minor(Delta2,2,2);

Программирование определителей

> d9:=det(Delta9);d8:=det(Delta8); d7:=det(Delta7);d6:=det(Delta6); d5:=det(Delta5);d4:=det(Delta4); d3:=det(Delta3);d2:=det(Delta2); d1:=det(Delta1);

Программирование критерия Гурвица

> solve({d9>0,d8>0,d7>0,d6>0,d5>0,d4>0,d3>0,d2>0,d1>0});

Таким образом, по критерию гурвица, при система устойчива по дестабилизирующим факторам.

С учетом множества допустимых значений k для устойчивости по управлению, система устойчива при .

Проверка алгебраическим методом

Проверим алгебраическим методом устойчивость системы при

> k:=-1;solve(q1,p);

=> при k=-1 система неустойчива по дестабилизирующим факторам

> k:=1;solve(q1,p);

=> при k=1 система устойчива по дестабилизирующим факторам

> k:=5;solve(q1,p);

=> при k=5 система устойчива по дестабилизирующим факторам

> k:=10;solve(q1,p);

=> при k=10 система устойчива по дестабилизирующим факторам

> k:=11;solve(q1,p);

=> при k=11 система неустойчива по дестабилизирующим факторам

Проверка геометрическим критерием Михайлова

Рассмотрим кривую, изображающую на комплексной плоскости множество значений собственного оператора системы при различных значениях ω.

Кривая, изображающая на комплексной плоскости множество значений собственного оператора системы при различных значениях ω начинается на вещественной положительной полуоси и при увеличении ω 9 раз пересекает оси координат, проходя 9 квадрантов против часовой стрелки, следовательно, по критерию Михайлова, система устойчива при k=5.

Детально участки годографа рассмотрены ниже

> plot([Re(q1), Im(q1), omega=0..2]);

Частотные характеристики

ВЧХ

> plot(Re(we1), omega=0..10);

МЧХ

> plot(Im(we1), omega=0..10);

АФЧХ

> plot([Re(we1), Im(we1), omega=0..10]);

АЧХ

> smartplot(abs(we1));

ФЧХ

> phase1:=arctan(Im(we1)/Re(we1));

> smartplot(phase1);

Заключение

В данной работе был проведен анализ устойчивости многомерной системы и по результатам анализа вычислен интервал значений коэффициента обратной связи (k=0..10), при котором система устойчива. Анализ производился алгебраическим методом с, а именно, с помощью алгебраического (Гурвица) и геометрического (Михайлова) критериев. Критерии позволяют оптимизировать анализ устойчивости системы. Математические пакеты позволяют во много раз ускорить вычисления требуемых величин.

Использованная литература

1. Лекции ОТУ,

2. «Теории автоматического управления»

3. Справочная информация о Maple