Передаточная функция САР
Любое звено автоматической системы предназначено для измерения, усиления или какого-либо другого преобразования сигналов. В связи с этим для любого звена и всей системы в целом характерной является связь между входным и выходным сигналами или между входной и выходной величинами. В теории автоматического регулирования широкое применение получил способ математического описания, основанный на использовании передаточной функции.
Понятие передаточной функции. Звено или автоматическую систему в целом можно представить в виде плотно сбитого черного ящика, на одной из стенок которого смонтировано штепсельное гнездо с надписью "ВХОД", а на другой - с надписью "ВЫХОД" откуда получаем новый сигнал - продукт переработки введенного сигнала. Как же судить о способностях такого преобразователя. Остается одно - сидеть около этого ящика и смотреть, каким сигнал входит в ящик и каким выходит, запоминать увиденное, обобщать, а потом уж предсказывать.
|
Вокруг нас в изобилии рассеяны объекты, несущественно отличающиеся от рассмотренного преобразователя. Это отличие может выразиться лишь в том, что поступающий сигнал имеет не электрическую, а механическую природу, или гидромеханическую, или термическую, или акустическую. Это может быть радиосигнал, оптический сигнал, сигнал химической природы и т. д. Преобразованию может подвергаться не только природа сигнала, но и величина его, как функция времени, знак и другие характеристики.
Преобразованию может подвергаться не только природа сигнала, но и его величина как функция времени, знак и другие характеристики. Однако слово "ящик" здесь применяется как символ ограниченности той части пространства, в которой происходит преобразование одного сигнала в другой.
Изучать черные ящики надо не потому, что их много, а потому, что это полезно. То что их много и что они разнообразны, вызывает лишь необходимость изучения их в общем виде, на модели, обладающей характерными чертами, общими для большой группы объектов, независимо от того какая их природа. Можно предполагать, что сравнивая входные и выходные сигналы мы всякий раз будем отмечать, что одинаковые входные сигналы для определенной группы преобразователей будут вызывать одинаковые выходные.
Закон, согласно которому производится преобразование сигналов внутри звена или автоматической системы, называется передаточной функцией. |
Передаточная функция определяется только внутренними свойствами автоматической системы и является функцией комплексного переменного.
Передаточная функция характеризует динамические свойства звена или автоматической системы в целом только по определенному каналу, связывающему конкретный вход объекта регулирования и его конкретный выход.
Если объект регулирования имеет несколько входов и выходов, то он характеризуется несколькими передаточными функциями.
Понятие передаточной функции весьма удобно при анализе структурных схем. Передаточные функции звеньев или отдельных участков схемы автоматической системы позволяют легко получить общее уравнение всей автоматической системы, а в дальнейшем в случае необходимости перейти к исходному дифференциальному уравнению.
Описание передаточной функции. В теории автоматического регулирования широкое применение получил способ математического описания, основанный на использовании передаточной функции.
Формально передаточная функция получается из дифференциального уравнения автоматической системы после замены в нем символа кратного дифференцирования на соответствующую степень р и деления образованного таким образом многочлена правой части на многочлен левой части уравнения.
Как уже отмечалось, физические процессы в системе автоматического регулирования в общем случае описываются уравнением
Исключая из полученных уравнений промежуточные величины, можно найти уравнения относительно интересующих нас переменных. Но, как правило, эти операции очень трудоемки и громоздки. Поэтому возникает потребность как-то упростить эти промежуточные операции. Это может быть достигнуто, если вместо рассмотрения величин, характеризующих состояние автоматической системы во времени - оригиналов, рассматривать соответствующие им изображения, получаемые на основе преобразования Лапласа.
Предположим, что x(t) удовлетворяет условиям x(t) = 0; t < 0 и
где с - абсцисса абсолютной сходимости.
Преобразование Лапласа для функции x(t) можно записать в виде:
Если все члены исходного уравнения при нулевых начальных условиях умножить на e-pt и проинтегрировать от 0 до бесконечности, то получим
Применение преобразования Лапласа позволяет заменить операции дифференцирования и интегрирования более простыми операциями умножения и деления, тем самим существенно упростить составление и исследование автоматических систем.
Тогда выражение в общем случае
является передаточной функцией исследуемой системы.
Передаточная функция представляет собой, по существу, сокращенную запись дифференциального уравнения автоматической системы.
Передаточной функцией линейной стационарной динамической системы называют отношение преобразования Лапласа величины на выходе системы к преобразованию Лапласа воздействия на ее входе при нулевых начальных условиях. |
В дальнейшем изложении для характеристики звена автоматической системы будет использоваться в основном передаточная функция, так как именно она дает связь между входной и выходной величинами, что необходимо знать при использовании того или иного звена в автоматической системе.
Передаточная функция полностью характеризует динамические свойства автоматической системы. Зная передаточную функцию автоматической системы и вид воздействия, можно определить переходный процесс на выходе автоматической системы.
Передаточная функция устойчивой динамической системы обладает следующими свойствами:
- она представляет собой дробно-рациональную функцию, причем в реальной системе порядок числителя не превышает порядок знаменателя; все коэффициенты передаточной функции вещественны; невещественные нули и полюсы передаточной функции могут быть лишь комплексно-сопряженными; все полюсы передаточной функции устойчивой автоматической системы расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости.
Для типовой структурной схемы замкнутой САР различают 3 основные передаточные функции, применяемые для исследований:
W(p) = y(р)/x(р) - передаточная функция разомкнутой системы; F(p) = y(р)/g(р) - передаточная функция замкнутой системы; Fx(p) = x(р)/g(р) - передаточная функция замкнутой системы по ошибке.