Билет

Билет 1: E® - вектор напряжённости электрического поля. F®=qE®, E®=F®/q; Стационарное поле не зависит от времени. F(r)=ke(q1q)/|r-r1|3(r®-r1®); ke={1, Гс; 1/(4pe0)=9*109Нм2/кл2, Си}; E1(r)®=keq1/|r-r1|3(r®-r1®); AA->B=AòBF1(r)®dr=U(ra®)-U(rb®); U(r)=keqq1/|r-r1| - потенциальная энергия взаимодействия. j(r)=U(r)/q – потенциал поля. E®=-Ñ®j; (1СГСЭq)2/(1см)2=1дин, 1дин=10-5Н, 1эрг=1дн1см=10-7Дж. [j]=В, СГСЭV; 1Кл=3*109СГСЭq; 1B=1/300 СГСЭV;

Билет 2: A®(r) – стационарное векторное поле. Ф=SOòA(r)ds - поток векторного поля. divA(r)=limDV->0(DSOòA®ds®)/DV; SOòA®ds®=VòdivA®(r)dV – теорема Остроградского-Гаусса. divA® в дек. с-ме (A®(r)=Ax(r)ex®+Ay(r)ey®+Az(r)ez®); DSOòA®ds®=(Ax(x+Dx;y;z)-Ax(x, y,z))DyDz+(Ay(x, y+Dy, z)-Ay(x, y,z))DxDz+(Az(x, y,z+Dz)-Az(x, y,z))DxDy; divA®=limDV->0(DSOòAds)/DV=¶Ax/¶x+¶Ay/¶y+¶Az/¶z=Ñ®A®; divA®=Ñ®A®;

Билет 3:

Закон Гаусса. Поток электрического поля Е® через любую замкнутую поверхность равен произведению 4pke на полный заряд охватываемый поверхностью: OòE®ds®=4pkeSqi=4pkeòrdv – интегральная форма закона Гаусса. Остроградский-Гаусс: OòE®ds=VòdivE®(r)dV; VòdivE®(r)dV=4pk0VòrdV, V – произвольный => divE®(r®)=4pker(r) – дифференциальная форма закона Гаусса. Теорема о циркуляции: OòE®(r®)dl®=0 – интегральная форма. Теорема Стокса: OòA®dl®=SòrotA®ds®; rotE®(r®)=0 – дифф. форма теоремы о циркуляции.

Билет 5:

Общая задача электростатики. Даны внешние заряды с плотностью r(r®) и проводники. Найти E®(r) или j(r); {rotE®(r)=0; divE®(r)=4pker(r®)}; E®(r)=-Ñ®j(r)| div(-gradj)=4pker(r); Dj(r)=-4pker(r) – ур-ие Пуассона (осн. ур-ие электростат). Если r(r®)=0, то Dj(к)=0 – ур-ие Лапласа.

Билет 6:

Ёмкость изолированного проводника. Ёмкость: C=q/j; Cшара=q/(keq/R)=R/ke; Конденсатор: С=|q|/Dj; Плоский конденсатор: рис: +q +| ->d <-|- - q, площадь S; E+=2pkes; E-=2pkes; s=q/S; E=E++E-=4pkes; òEdl=j(1)-j(2); Ed=Dj; Dj=4pkesd=4pkeqd/S; C=q/Dj=S/(4pked) – ёмкость плоского конденсатора. Uij=ke(qiqj)/|ri-rj| - энергия взаимодействия зарядов. Полная энергия: W=U12+U13+…+U23+U24+…=ke/2*iSi¹jSqiqj/|ri-rj|=1/2Sqiji; Работа внешних сил: C=q’/Dj' (рис: от штуки –q’ тащим к q’ Dq’ через Dj). DAвнеш=Dj’Dq’=q’Dq’/C; W=òDAвнеш=òq’Dq’/C=q2/(2C)=C(Dj)2/2; Энергия плоского конденсатора: W=q2/(2C)=2pkedq2/S=2pkes2V=2pkeE2/(4pke)2V=E2V/(8pke); если энергия сосредоточена в поле, то w=W/V=E2/(8pke); энергия равномерно заряженной сферы: Ссферы=R/ke; W=q2/2C=keq2/(2R); Общее выражение для плотности энергии поля. W=1/2iSqiji – энергия взаимодействия зарядов. W’=1/2òr(r)j(r)dV={r(r)=divE(r)/(4pke)}=1/(8pke)ò(Ex2+Ey2+Ez2)dV;

Билет 7: n – концентрация. Dqза t=uDtnDscosq=qnDtu®Ds®; Ds®=n®Ds; u – скорость. I=Dq/Dt=qnUDs - эл. ток. Пусть Ds® сонапр. с n® => I=qnuDs; j®=I/Ds=qnu® - плотность тока. В общем случае: j®=iSqiniu®; j(r, t) – векторное поле. I=Sòjds; Закон сохранения заряда: S – замк. пов-ть, ограничивающая V, Q в V; OòjdS=-dQ/dt – з-н сохранения заряда. Условие непрерывности заряда. Q=Vòr(r, t)dV; dQ/dt=ò¶r(r, t)/¶tdV; S(¶Q/¶t+divj)=0 => ¶r/¶t+divj=0 – диф. форма закона сохр. заряда. ур-ие непрерывности. Стационарность – независимость от t: kSIkвх=nSInвых – первое правило Кирхгофа.

Билет 8:

Билет 9: закон Ома: I~U; I=U/R; DU=EDl; DI=jDs; R=rDl/Ds, r - удельное сопротивление. RDI=DU; E=rj®=j®sE®; s=1/r - удельная проводимость. Закон Ома для неоднородного участка: OòE®dl®=0; F* - сторонняя сила. Для однородного: j®=sE=s/qF®; для неоднородного: j=s(E+E*)=d/q(F+F*); 1ò2rj®dl®=1ò2E®dl®=j1-j2+1[ò2E*dl=e12; Первый интеграл=1ò2rdl/S(x)j(x)S(x)=1ò2IdR=I1ò2dR=IR; IR=j1-j2+e12 – закон Ома для неоднородных участков цепи. jkнач-jккон=IkRk-ek; 0=SIkRk-Sek; Sek=SIkRk – второе правило Кирхгоффа.

Билет 10: dAx=dq(j1-j2); dAст=dqe12; dA1->2=dq(j1-j2)+dqe12; если нет мех. перемещений и хим. реакций. dA1->2=dQ – тепло. P=dQ/dt – тепловая мощность тока. P=I(j1-j2)+Ie12=I(j1-j2+e12); по закону Ома: j1-j2+e12=IR; P=I2R – закон Джоуля-Ленца. P=Ie; P – полная тепловая мощность (опр. исключительно сторонними силами), e - полная ЭДС цепи. Полное тепловыделение: Q=0òtP(t)dt; DP=(jDS)2rDl/DS=j2rDlDS=j2rDV; Pуд=DP/DV=j2r - локальная форма Джоуля-Ленца.

Билет 11:

dF12=kmI1I2[dl1x[dl2xr12]]/r3 – закон Ампера взаимодействия токов. Сила действующая на весь первый контур со стороны второго F12=-F21=kmI1I2[c1Oòdl1x(c2Oò[dl2xr21]/r213)]; dF12=kFI1[dl1xB(r1)]; B(r1)=kBI2Oò[dl2x(r1-r2)]/|r1-r2|3 – Закон Био-Савара-Лапласа для индукции магнитного поля. dF=kFI[dlxB]; Idl=qnu®dV=qudN => dF=kFq[uxB]dN; Fодн. зар=kFq[uxB] – сила Лоренца. В: ГС=дин/СГСЭq, Си: Тл (Вб/м2), 1 Тл= 104Гс, СГСМ: ke=c2; СГСЭ: km=1/c2; Си: ke=9*109Нм2/кл2, kb=km=107Н/A; kF=1; Гс: ke=1, km=kFkB=1/c2; kB=kF=1/c;

Билет 12 (векторы А, l): Г=СОòA(r)dl – циркуляция по замк. контуру с1. С’ делит S на S1 и S2, C1+C’ – огр. S1, C2+C’ – огр. S2. CОòAdl=C+C’OòAdl+C2+C’OòAdl; COòAdl=SDC1OòAdl=S((DC1OòAdl)/Dsi)Dsi; limDs->0(DCOòAdl)/Ds=rotA(r)n®; COòAdl=SòrotA(r)ds - теорема Стокса. Ротор в декартовых координатах: пусть n® сонаправлен с осью z. ОòА®dl=Ax(x, y)Dx-Ay(x, y)DyDy+Ax(x+Dx, y)Dy-Ay(x, y+Dy)Dx; rotAy=OòA®dl/Ds=¶Ay/¶x-¶Ax/¶y; rotAy=¶Ax/¶z-¶Ay/¶y; rotAz=¶Az/¶y-¶Ay/¶z; rotA=|ex ey ez ¶/¶x ¶/¶y ¶/¶z Ax Ay Az|=[Ñ®xA®];

Билет 13: магнитное поле прямого провода: B®|=iSDBi=kBISDlÖ(r2-z2)sinq/(r2+z2)3/2; sinQ=r/Ö(r2-z2); =kBI-¥ò¥rdz/(r2+z2)3/2=2kBI/r; |B|=2kBI/r; Теорема о циркуляции магнитного поля: OòBdl=SIk4pkB – интегральная форма. OòBdl=4pkBSòj(r)ds® -> стокс -> SòrotBds=4pkBSòj(r)ds => rotB=4pkBj(r) – дифф. форма.

Билет 14: divrotf(r)=0; B(r)=rotA(r), A(r) – векторный потенциал. {divB=0, rotB=4pkBj(r)} {divE(r)=4pker(r); rotE(r)=0}; rotrotA=4pkBj(r); OòBl=4pkBSIk; [Ñx[ÑxA(r)]]=Ñ(ÑA(r))-(ÑÑ)A(r)=-DA(r)+grad(divA(r))=4pkBj(r); градиентная инвариантность: пусть A’(r)=A(r)+Ñf(r); B’=rotA’(r)=rot(A)+rot/grad(f(r))=rot(A)=B; способ уменьшить неопределённость – наложить калибровочное условие. К примеру divA(r)=0; Теор: всегда можно выбрать A(r), т. ч. divA(r)=0; {divA(r)=0, DA(r)=-4pkBj(r)} – калибровочное условие уравнение Пуассона. Решение Dj(r)=-4pker(r) есть j(r)=keòr(r’)/|r-r’|dr’; пользуемся аналогией с электростатикой A(r)=kBòj(r)/|r-r’|dr’; B(r)=rotA=kB[Ñxòj(r’)/|r-r’|dV’]={rot(f(r)j(r’)=[(Ñf(r)xj(r’))]={Ñ/|r-r’|=-r-r’/|r-r’|3}=B(r)=kBò[-(r-r’)/|r-r’|3xj(r’)]dV’=kBò[j(r’)x(r-r’)]/|r-r’|3dV’ – закон Био-Савара-Лапласа.

Билет 22: 1) Частный случай: F||=kFqvB; E*=F||/q=kFvB – направл. сторонних сил. e=OòEdl; пусть n сонаправл. B, тогда E* против. напр. dl. e=-E*l=-kFvbl – эдс индукции. Ф=BS; dS=lvdt; dФ=BdS=Blvdt; dФ/dt=Blv; ei=-kFdФ/dt – эдс индукции. 2) общий случай: dS=drdlsina=|[dlxdl]|; dS=[drxdl]; dФ=BdS=-[drxB]dl; dФ=-COò[drxB]dl; dФ/dt=C1Oò[vxB]dl; B dl со скор. v возникает F®=kFq[vxB], E®=E/q=kF[vxB]; ei=OòEdl=kFOò[vxB]dl; ei=-kFdФ/dt;

Билет 23: e=-dФ/dt; OòE(r, t)dl=-kFd/dtSB(r, t)ds; rotE(r, t)=-kFdB/dt; поле вихревое, если совершает работу по замкнутому контуру. Ур-ия Максвелла: статике: {divE(r)=4pker(r); rotE(r)=0} {divB(r)=0; rotB(r)=4pkej(r)}. 1ая пара: divB(r, t)=0; rotE(r, t)=-kF¶B(r, t)/¶t;

Билет 17: непрерывность силовых линий. dive(r, t)=4pker(r, t). Предположим, что rotB(r, t)=4pkBj(r, t) – но этого не может быть. divrotB(r, t)=0=4pkBdivj(r, t)=> противоречие. div(r, t)=-¶r(r, t)/¶t; Попробуем такой вариант: rotB(r, t)=4pkB(j(r, t)+x(r, t)); 0=divrotB(r, t)=4pkB(divj(r, t)+divx(r, t)); divx(r, t)=-div(j(r, t))=¶r/¶t => dive(r, t)=4pker(r, t); div¶E(r, t)/¶t=4pke¶r(r, t)/¶t => x(r, t)=1/(4pke)*¶E(r, t)/¶t => {rotB(r, t)=4pkBj(r, t)+kB/ke¶E(r, t)/¶t; divE(r, t)=4pker(r, t)}; Си: {divB(r, t)=0, rotE(r, t)=-¶B(r, t)/¶t, rotB(r, t)=m0j(r, t)+m0e0¶E(r, t)/¶t; divE(r, t)=r(r, t)}; CГС: {divB(r, t)=0, rotE(r, t)=-1/c*¶B(r, t)/¶t; rotB(r, t)=4p/cj(r, t)+1/c*¶E/¶t; dive(r, t)=4pr(r, t)};

Билет 24: Ф1=S1òB2ds1; Ф2=S2òB1ds2, Ф1~I2, Ф2~I1; Ф1=kFL12I2, Ф2=kFL21I1, Lij – коэффициенты взаимной индукции. Теорема взаимности: L12=L21; Д-во: A(r)=kBòj(r')dr’/|r-r’|=kBIc1Oòdl’/|r-r’| - тонкий провод. Ф1=òB2ds1=òrotA2ds1=стокс=kBI2c1Oòc2Oòdl1dl2/|r1-r2|=L12=L21; Самоиндукция: Ф=kFLI, L – коэффициент самоиндукции. ei=-kFdФ/dt=-kF2LdI/dt. Индуктивность длинного соленоида: N – полное число витков n=N/l, B=4pkBnI, Ф=NBS=4pkBnNSI=kFLI; L=4pkB/kFnNS=4pkB/kFn2Sl, Sl=V; Си: L=m0N2S/l; ГС: L=4pN2S/l.

Билет 25: IR=-kF2LdI/dt; I(t)=I0e-R/(kF^2L)t; энергия катушки: Q=0ò¥R1I02e-2Rt/(kF2L)=R1I02kF2L/(2R)0ò¥e-xdx=kF2LI02/2; W=kF2LI02/2 – энергия индуктивности. Энергия соленоида: B=4pkBnI; W=kF2/2*LpkB/kFn2lSI2=kFB2/(8pkB)V; плотность энергии магнитного поля. w=W/V=kF/(8pkB)B2={B2/2m0 – СИ, ГС: B2/(8p)};

Билет 14: диполь – с-ма двух ± зарядов на опред. расст. j(r)=keq/|r-r+|+ke(-q)/|r-r-|; r>>l1,r1,r+; f(r+Dr)=f(r)+DrÑf+…; |r-r’|=r-nr’; 1/|r-r’|~1/r+r’n/r2; j(r)=keq(1/r+(r+r)/r3)+ke(-q)(1/r+(r-r)/r3)=keq(r+-r-)r/r3=ked®r®/r3 – потенциал диполя (в скобках – скалярные произведения). d=ql – дипольный момент. E(x, y)=-Ñj(x, y)=ke(3(dr)r-r2d)/r5 – поле диполя. j(r)=keSqi/|r-ri|=re/r(Sqi)=Q+ker®/r3(Sqiri)=d; электрический дипольный момент системы зарядов: d=Sqiri®; если Q=0, то d не зависит от выбора начала координат. ri->ri’=ri®+a®; d’=Sqiri+aSqi=0=d, чтд. d=òr(r)r®dV; r+®=(òr+r®dV®)/q – центр масс положительного заряда. r-®=(òr-r®dV®)/q – отрицательного. Диполь во внешнем поле: Ee®(r®)=-Ñj(r), энергия диполя: Ud=qje(r+r+)+(-q)j(r+r-)=q(r+-r-)Dje=-dE; 1) d стремиться сост. по полю d® сонапр. с E®. 2) диполь втягивается в сильное поле. |M|=dEsinq=|[dxE]|, M=[dxE]; сила в неоднородном поле: F®=F+®+F-®=q(Ee(r+r+)-Ee(r+r+))=q((r+-r-)Ñ®)Ee®=(dÑ)Ee; rotEe=0; [dxrotE]=0; [dx[ÑxE]]=0; итого: j(r)=ke(dr)/r3; E(r)=ke*(3(dr)r-r2d)/r5; M=[dxE]; F=(dÑ)E

Билет 33: падающая волна: E1(r, t)=E01e1ei(-kz-wt); E1t=E2t; B1n=B2n (rotE=-kF¶B/¶t, OòEdl=0). Возникает отражающая волна: E(r, t)=E1’(z, t)+E1’(z, t); E(0,t)=E01e1*e-iwt-E01e*1e-iwt=0 (* - сопр.) 1) ТЕ-волна (transverse electric) Et+Et’=0, Bn+Bn’=0. Bn=Bsinj, Bn=-B’sinj’, т. к. B=B’ => j=j’; 2) TM-волна

Билет 32: Максвелл: {[ÑхЕ]=-kF/kB¶H/¶t=-m0¶H/¶t; [ÑxH]=e0¶E/¶t}, раскрывая получаем: e0¶2E/¶t=1/m0(¶2Ex/¶x2+¶2Ey/¶y2+¶2Ez/¶z2) -> волна. Направим ^ волновым пов-том, тогда: {0=¶Hx/¶t*m0; -¶Ez/¶x=-m0¶Hy/¶t, ¶Ey/¶x=-m0¶Hz/¶t; ¶Hx/¶x=0} {0=e0¶Ex/¶t; -¶Hz/¶x=e0¶Ey/¶t; ¶Hy/¶x=e0¶Ez/¶t; ¶Hx/¶x=0} => E® и Н® ^ направлению распростр. => волна поперечная. К примеру: ¶Ey/¶x=-m0Hz·; ¶Hz/¶x=-e0Ey· => E®^H®. Ey=A1sin(wt-kx), Hy=-Ö(e0/m0)Ez; Ez=A2sin(wt-kx+j); Hz=-Ö(e0/m0)Ey; w=2pn - циклическая частота. l=UT – длина волны. 2p/l=k – волновое число, k® - волновой вектор. V – скорость распр. волны (фазовая скорость). W=e0E2/2+m0H2/2=e0H2=m0H2 – объёмная плотность энергии э-м волны. П®=[E®xH®] – вектор Пойтинга. |П®|=Ö(e0/m0)[A1sin2(wt-kx)+A22sin2(wt-kx+j)]; Для плоскополяоизованной волны: П=Ö(e0/m0)A2sin2(wt-kx); поляризация волны: {Ey=A1sin(wt-kx), Ez=A2sin(wt-kx+j), Hy=-Ö(e0/m0)Ez, Hz=Ö(e0/m0)Ez}; 1) A1=Az, j=±(2m+1)p/2 => Ey2+Ez2=A12; Hy2+Hz2=e0/m0A12 – поляриз. по кругу. 2) j=±pm, Ey/A1±Ez/A2=0; Hy/A2-+Hz/A1=0 – линейно поляриз.

Билет 34: скин эффект: {divB®=0, rotE®=-kF¶B/¶t}, {divE®=0; rotB=4pkBj+kB/kF¶E/¶t}; j=sE; rotrotB=-4pkBskF¶B/¶t+kB/kE¶/¶t(rote); DB=4pkms¶B/¶t+km/kE¶2B/¶t2; - DB+1/c¶2B/¶t2+4pkms¶B/¶t=0; B=ex®Bx; Bx=B0ei(kz-wt); B0ei(kz-wt)(-w2/c2-4piwkms+k2)=0; k=Ö(w2/c2+4piwkms); k2=w/c2(w+i(4pkes)); 4pkes=1/t - время релаксации. w<<4pkes; k2=w/(c2t); B(z, t)=B0ei*Ö((1+i)/Ö(2)Ö(4pkesw/c2)); Bx(z, t)=B0e-z/de(i/c*Ö(2pkews)/cz)-iwt; d=c/Ö(2pkews);

Билет 27: цепи переменного тока. I(t)=Re(ei(wt+j))=ReI^; UL(t)=kF2LwIei(wt+j+p/2)=Re(ikF2LwI^(t)); UL^=zL*I(t)^; zL=ikF2Lw - импеданс индуктивности. UR(t)=RI(t); ReUR^(t)=R*ReI^(t); zR=R – импеданс сопротивления. zC=1/(iwC) – импеданс конденсатора. U=q/c=I0òeiwtdt/C=I/(iwc); zc=1/(iwc); При последовательном: z=z1+z2; 1/z=1/z1+1/z2 – при параллельном (U/z=U1/z1+U2/z2). P(t)=e(t)I(t)=e0I0cos(wt)cos(wt+j)=e0I0(cos2wtcosj-coswtsinwtsinj); <P(t)>=e0I0cosj/2=emImcosj; em=e0/Ö(2) – действующее напряжение, Im=I0/Ö(2) – действующий ток. Цепь переменного тока представляет собой ряд сопротивлений, ёмкостей, индуктивностей, в которых текут токи, колебания установились и совершаются с w=const;

Билет 28: LC: q··L+q/c=0; q(t)=Acosw0t+Bsinw0t; w0=1/Ö(LC); RLC: q··L+Rq·+q/C=0; q(t)=Ac-R/2L*tcos(Ö(1/(LC)-(R/2L)2)+j0); w=Ö(w02-b2); b=R/(2L); RLCe(t): Lq··+Rq·+q/C=ecos(wt); q(t)=q¥(t)+qrn(t); q¥=Ae(-R/2L)tcos(Ö(1/(LC)-R2/(4L2))+j0); qrn=Acost/Ö(LC)+Bsint/Ö(LC) – подставляем в ур-ие, находим В и А, qrn=(e/L)/Ö((w02-w2)2-4b2w2); Резонанс: wр=w0=1/Ö(LC); I0(wp)=e0/R;

Билет 1: E® - вектор напряжённости электрического поля. F®=qE®, E®=F®/q; Стационарное поле не зависит от времени. F(r)=ke(q1q)/|r-r1|3(r®-r1®); ke={1, Гс; 1/(4pe0)=9*109Нм2/кл2, Си}; E1(r)®=keq1/|r-r1|3(r®-r1®); AA->B=AòBF1(r)®dr=U(ra®)-U(rb®); U(r)=keqq1/|r-r1| - потенциальная энергия взаимодействия. j(r)=U(r)/q – потенциал поля. E®=-Ñ®j; (1СГСЭq)2/(1см)2=1дин, 1дин=10-5Н, 1эрг=1дн1см=10-7Дж. [j]=В, СГСЭV; 1Кл=3*109СГСЭq; 1B=1/300 СГСЭV;

Билет 2: A®(r) – стационарное векторное поле. Ф=SOòA(r)ds - поток векторного поля. divA(r)=limDV->0(DSOòA®ds®)/DV; SOòA®ds®=VòdivA®(r)dV – теорема Остроградского-Гаусса. divA® в дек. с-ме (A®(r)=Ax(r)ex®+Ay(r)ey®+Az(r)ez®); DSOòA®ds®=(Ax(x+Dx;y;z)-Ax(x, y,z))DyDz+(Ay(x, y+Dy, z)-Ay(x, y,z))DxDz+(Az(x, y,z+Dz)-Az(x, y,z))DxDy; divA®=limDV->0(DSOòAds)/DV=¶Ax/¶x+¶Ay/¶y+¶Az/¶z=Ñ®A®; divA®=Ñ®A®;

Билет 3:

Закон Гаусса. Поток электрического поля Е® через любую замкнутую поверхность равен произведению 4pke на полный заряд охватываемый поверхностью: OòE®ds®=4pkeSqi=4pkeòrdv – интегральная форма закона Гаусса. Остроградский-Гаусс: OòE®ds=VòdivE®(r)dV; VòdivE®(r)dV=4pk0VòrdV, V – произвольный => divE®(r®)=4pker(r) – дифференциальная форма закона Гаусса. Теорема о циркуляции: OòE®(r®)dl®=0 – интегральная форма. Теорема Стокса: OòA®dl®=SòrotA®ds®; rotE®(r®)=0 – дифф. форма теоремы о циркуляции.

Билет 5:

Общая задача электростатики. Даны внешние заряды с плотностью r(r®) и проводники. Найти E®(r) или j(r); {rotE®(r)=0; divE®(r)=4pker(r®)}; E®(r)=-Ñ®j(r)| div(-gradj)=4pker(r); Dj(r)=-4pker(r) – ур-ие Пуассона (осн. ур-ие электростат). Если r(r®)=0, то Dj(к)=0 – ур-ие Лапласа.

Билет 6:

Ёмкость изолированного проводника. Ёмкость: C=q/j; Cшара=q/(keq/R)=R/ke; Конденсатор: С=|q|/Dj; Плоский конденсатор: рис: +q +| ->d <-|- - q, площадь S; E+=2pkes; E-=2pkes; s=q/S; E=E++E-=4pkes; òEdl=j(1)-j(2); Ed=Dj; Dj=4pkesd=4pkeqd/S; C=q/Dj=S/(4pked) – ёмкость плоского конденсатора. Uij=ke(qiqj)/|ri-rj| - энергия взаимодействия зарядов. Полная энергия: W=U12+U13+…+U23+U24+…=ke/2*iSi¹jSqiqj/|ri-rj|=1/2Sqiji; Работа внешних сил: C=q’/Dj' (рис: от штуки –q’ тащим к q’ Dq’ через Dj). DAвнеш=Dj’Dq’=q’Dq’/C; W=òDAвнеш=òq’Dq’/C=q2/(2C)=C(Dj)2/2; Энергия плоского конденсатора: W=q2/(2C)=2pkedq2/S=2pkes2V=2pkeE2/(4pke)2V=E2V/(8pke); если энергия сосредоточена в поле, то w=W/V=E2/(8pke); энергия равномерно заряженной сферы: Ссферы=R/ke; W=q2/2C=keq2/(2R); Общее выражение для плотности энергии поля. W=1/2iSqiji – энергия взаимодействия зарядов. W’=1/2òr(r)j(r)dV={r(r)=divE(r)/(4pke)}=1/(8pke)ò(Ex2+Ey2+Ez2)dV;

Билет 7: n – концентрация. Dqза t=uDtnDscosq=qnDtu®Ds®; Ds®=n®Ds; u – скорость. I=Dq/Dt=qnUDs - эл. ток. Пусть Ds® сонапр. с n® => I=qnuDs; j®=I/Ds=qnu® - плотность тока. В общем случае: j®=iSqiniu®; j(r, t) – векторное поле. I=Sòjds; Закон сохранения заряда: S – замк. пов-ть, ограничивающая V, Q в V; OòjdS=-dQ/dt – з-н сохранения заряда. Условие непрерывности заряда. Q=Vòr(r, t)dV; dQ/dt=ò¶r(r, t)/¶tdV; S(¶Q/¶t+divj)=0 => ¶r/¶t+divj=0 – диф. форма закона сохр. заряда. ур-ие непрерывности. Стационарность – независимость от t: kSIkвх=nSInвых – первое правило Кирхгофа.

Билет 8:

Билет 9: закон Ома: I~U; I=U/R; DU=EDl; DI=jDs; R=rDl/Ds, r - удельное сопротивление. RDI=DU; E=rj®=j®sE®; s=1/r - удельная проводимость. Закон Ома для неоднородного участка: OòE®dl®=0; F* - сторонняя сила. Для однородного: j®=sE=s/qF®; для неоднородного: j=s(E+E*)=d/q(F+F*); 1ò2rj®dl®=1ò2E®dl®=j1-j2+1[ò2E*dl=e12; Первый интеграл=1ò2rdl/S(x)j(x)S(x)=1ò2IdR=I1ò2dR=IR; IR=j1-j2+e12 – закон Ома для неоднородных участков цепи. jkнач-jккон=IkRk-ek; 0=SIkRk-Sek; Sek=SIkRk – второе правило Кирхгоффа.

Билет 10: dAx=dq(j1-j2); dAст=dqe12; dA1->2=dq(j1-j2)+dqe12; если нет мех. перемещений и хим. реакций. dA1->2=dQ – тепло. P=dQ/dt – тепловая мощность тока. P=I(j1-j2)+Ie12=I(j1-j2+e12); по закону Ома: j1-j2+e12=IR; P=I2R – закон Джоуля-Ленца. P=Ie; P – полная тепловая мощность (опр. исключительно сторонними силами), e - полная ЭДС цепи. Полное тепловыделение: Q=0òtP(t)dt; DP=(jDS)2rDl/DS=j2rDlDS=j2rDV; Pуд=DP/DV=j2r - локальная форма Джоуля-Ленца.

Билет 11:

dF12=kmI1I2[dl1x[dl2xr12]]/r3 – закон Ампера взаимодействия токов. Сила действующая на весь первый контур со стороны второго F12=-F21=kmI1I2[c1Oòdl1x(c2Oò[dl2xr21]/r213)]; dF12=kFI1[dl1xB(r1)]; B(r1)=kBI2Oò[dl2x(r1-r2)]/|r1-r2|3 – Закон Био-Савара-Лапласа для индукции магнитного поля. dF=kFI[dlxB]; Idl=qnu®dV=qudN => dF=kFq[uxB]dN; Fодн. зар=kFq[uxB] – сила Лоренца. В: ГС=дин/СГСЭq, Си: Тл (Вб/м2), 1 Тл= 104Гс, СГСМ: ke=c2; СГСЭ: km=1/c2; Си: ke=9*109Нм2/кл2, kb=km=107Н/A; kF=1; Гс: ke=1, km=kFkB=1/c2; kB=kF=1/c;

Билет 12 (векторы А, l): Г=СОòA(r)dl – циркуляция по замк. контуру с1. С’ делит S на S1 и S2, C1+C’ – огр. S1, C2+C’ – огр. S2. CОòAdl=C+C’OòAdl+C2+C’OòAdl; COòAdl=SDC1OòAdl=S((DC1OòAdl)/Dsi)Dsi; limDs->0(DCOòAdl)/Ds=rotA(r)n®; COòAdl=SòrotA(r)ds - теорема Стокса. Ротор в декартовых координатах: пусть n® сонаправлен с осью z. ОòА®dl=Ax(x, y)Dx-Ay(x, y)DyDy+Ax(x+Dx, y)Dy-Ay(x, y+Dy)Dx; rotAy=OòA®dl/Ds=¶Ay/¶x-¶Ax/¶y; rotAy=¶Ax/¶z-¶Ay/¶y; rotAz=¶Az/¶y-¶Ay/¶z; rotA=|ex ey ez ¶/¶x ¶/¶y ¶/¶z Ax Ay Az|=[Ñ®xA®];

Билет 13: магнитное поле прямого провода: B®|=iSDBi=kBISDlÖ(r2-z2)sinq/(r2+z2)3/2; sinQ=r/Ö(r2-z2); =kBI-¥ò¥rdz/(r2+z2)3/2=2kBI/r; |B|=2kBI/r; Теорема о циркуляции магнитного поля: OòBdl=SIk4pkB – интегральная форма. OòBdl=4pkBSòj(r)ds® -> стокс -> SòrotBds=4pkBSòj(r)ds => rotB=4pkBj(r) – дифф. форма.

Билет 14: divrotf(r)=0; B(r)=rotA(r), A(r) – векторный потенциал. {divB=0, rotB=4pkBj(r)} {divE(r)=4pker(r); rotE(r)=0}; rotrotA=4pkBj(r); OòBl=4pkBSIk; [Ñx[ÑxA(r)]]=Ñ(ÑA(r))-(ÑÑ)A(r)=-DA(r)+grad(divA(r))=4pkBj(r); градиентная инвариантность: пусть A’(r)=A(r)+Ñf(r); B’=rotA’(r)=rot(A)+rot/grad(f(r))=rot(A)=B; способ уменьшить неопределённость – наложить калибровочное условие. К примеру divA(r)=0; Теор: всегда можно выбрать A(r), т. ч. divA(r)=0; {divA(r)=0, DA(r)=-4pkBj(r)} – калибровочное условие уравнение Пуассона. Решение Dj(r)=-4pker(r) есть j(r)=keòr(r’)/|r-r’|dr’; пользуемся аналогией с электростатикой A(r)=kBòj(r)/|r-r’|dr’; B(r)=rotA=kB[Ñxòj(r’)/|r-r’|dV’]={rot(f(r)j(r’)=[(Ñf(r)xj(r’))]={Ñ/|r-r’|=-r-r’/|r-r’|3}=B(r)=kBò[-(r-r’)/|r-r’|3xj(r’)]dV’=kBò[j(r’)x(r-r’)]/|r-r’|3dV’ – закон Био-Савара-Лапласа.

Билет 22: 1) Частный случай: F||=kFqvB; E*=F||/q=kFvB – направл. сторонних сил. e=OòEdl; пусть n сонаправл. B, тогда E* против. напр. dl. e=-E*l=-kFvbl – эдс индукции. Ф=BS; dS=lvdt; dФ=BdS=Blvdt; dФ/dt=Blv; ei=-kFdФ/dt – эдс индукции. 2) общий случай: dS=drdlsina=|[dlxdl]|; dS=[drxdl]; dФ=BdS=-[drxB]dl; dФ=-COò[drxB]dl; dФ/dt=C1Oò[vxB]dl; B dl со скор. v возникает F®=kFq[vxB], E®=E/q=kF[vxB]; ei=OòEdl=kFOò[vxB]dl; ei=-kFdФ/dt;

Билет 23: e=-dФ/dt; OòE(r, t)dl=-kFd/dtSB(r, t)ds; rotE(r, t)=-kFdB/dt; поле вихревое, если совершает работу по замкнутому контуру. Ур-ия Максвелла: статике: {divE(r)=4pker(r); rotE(r)=0} {divB(r)=0; rotB(r)=4pkej(r)}. 1ая пара: divB(r, t)=0; rotE(r, t)=-kF¶B(r, t)/¶t;

Билет 17: непрерывность силовых линий. dive(r, t)=4pker(r, t). Предположим, что rotB(r, t)=4pkBj(r, t) – но этого не может быть. divrotB(r, t)=0=4pkBdivj(r, t)=> противоречие. div(r, t)=-¶r(r, t)/¶t; Попробуем такой вариант: rotB(r, t)=4pkB(j(r, t)+x(r, t)); 0=divrotB(r, t)=4pkB(divj(r, t)+divx(r, t)); divx(r, t)=-div(j(r, t))=¶r/¶t => dive(r, t)=4pker(r, t); div¶E(r, t)/¶t=4pke¶r(r, t)/¶t => x(r, t)=1/(4pke)*¶E(r, t)/¶t => {rotB(r, t)=4pkBj(r, t)+kB/ke¶E(r, t)/¶t; divE(r, t)=4pker(r, t)}; Си: {divB(r, t)=0, rotE(r, t)=-¶B(r, t)/¶t, rotB(r, t)=m0j(r, t)+m0e0¶E(r, t)/¶t; divE(r, t)=r(r, t)}; CГС: {divB(r, t)=0, rotE(r, t)=-1/c*¶B(r, t)/¶t; rotB(r, t)=4p/cj(r, t)+1/c*¶E/¶t; dive(r, t)=4pr(r, t)};

Билет 24: Ф1=S1òB2ds1; Ф2=S2òB1ds2, Ф1~I2, Ф2~I1; Ф1=kFL12I2, Ф2=kFL21I1, Lij – коэффициенты взаимной индукции. Теорема взаимности: L12=L21; Д-во: A(r)=kBòj(r')dr’/|r-r’|=kBIc1Oòdl’/|r-r’| - тонкий провод. Ф1=òB2ds1=òrotA2ds1=стокс=kBI2c1Oòc2Oòdl1dl2/|r1-r2|=L12=L21; Самоиндукция: Ф=kFLI, L – коэффициент самоиндукции. ei=-kFdФ/dt=-kF2LdI/dt. Индуктивность длинного соленоида: N – полное число витков n=N/l, B=4pkBnI, Ф=NBS=4pkBnNSI=kFLI; L=4pkB/kFnNS=4pkB/kFn2Sl, Sl=V; Си: L=m0N2S/l; ГС: L=4pN2S/l.

Билет 25: IR=-kF2LdI/dt; I(t)=I0e-R/(kF^2L)t; энергия катушки: Q=0ò¥R1I02e-2Rt/(kF2L)=R1I02kF2L/(2R)0ò¥e-xdx=kF2LI02/2; W=kF2LI02/2 – энергия индуктивности. Энергия соленоида: B=4pkBnI; W=kF2/2*LpkB/kFn2lSI2=kFB2/(8pkB)V; плотность энергии магнитного поля. w=W/V=kF/(8pkB)B2={B2/2m0 – СИ, ГС: B2/(8p)};

Билет 14: диполь – с-ма двух ± зарядов на опред. расст. j(r)=keq/|r-r+|+ke(-q)/|r-r-|; r>>l1,r1,r+; f(r+Dr)=f(r)+DrÑf+…; |r-r’|=r-nr’; 1/|r-r’|~1/r+r’n/r2; j(r)=keq(1/r+(r+r)/r3)+ke(-q)(1/r+(r-r)/r3)=keq(r+-r-)r/r3=ked®r®/r3 – потенциал диполя (в скобках – скалярные произведения). d=ql – дипольный момент. E(x, y)=-Ñj(x, y)=ke(3(dr)r-r2d)/r5 – поле диполя. j(r)=keSqi/|r-ri|=re/r(Sqi)=Q+ker®/r3(Sqiri)=d; электрический дипольный момент системы зарядов: d=Sqiri®; если Q=0, то d не зависит от выбора начала координат. ri->ri’=ri®+a®; d’=Sqiri+aSqi=0=d, чтд. d=òr(r)r®dV; r+®=(òr+r®dV®)/q – центр масс положительного заряда. r-®=(òr-r®dV®)/q – отрицательного. Диполь во внешнем поле: Ee®(r®)=-Ñj(r), энергия диполя: Ud=qje(r+r+)+(-q)j(r+r-)=q(r+-r-)Dje=-dE; 1) d стремиться сост. по полю d® сонапр. с E®. 2) диполь втягивается в сильное поле. |M|=dEsinq=|[dxE]|, M=[dxE]; сила в неоднородном поле: F®=F+®+F-®=q(Ee(r+r+)-Ee(r+r+))=q((r+-r-)Ñ®)Ee®=(dÑ)Ee; rotEe=0; [dxrotE]=0; [dx[ÑxE]]=0; итого: j(r)=ke(dr)/r3; E(r)=ke*(3(dr)r-r2d)/r5; M=[dxE]; F=(dÑ)E

Билет 33: падающая волна: E1(r, t)=E01e1ei(-kz-wt); E1t=E2t; B1n=B2n (rotE=-kF¶B/¶t, OòEdl=0). Возникает отражающая волна: E(r, t)=E1’(z, t)+E1’(z, t); E(0,t)=E01e1*e-iwt-E01e*1e-iwt=0 (* - сопр.) 1) ТЕ-волна (transverse electric) Et+Et’=0, Bn+Bn’=0. Bn=Bsinj, Bn=-B’sinj’, т. к. B=B’ => j=j’; 2) TM-волна

Билет 32: Максвелл: {[ÑхЕ]=-kF/kB¶H/¶t=-m0¶H/¶t; [ÑxH]=e0¶E/¶t}, раскрывая получаем: e0¶2E/¶t=1/m0(¶2Ex/¶x2+¶2Ey/¶y2+¶2Ez/¶z2) -> волна. Направим ^ волновым пов-том, тогда: {0=¶Hx/¶t*m0; -¶Ez/¶x=-m0¶Hy/¶t, ¶Ey/¶x=-m0¶Hz/¶t; ¶Hx/¶x=0} {0=e0¶Ex/¶t; -¶Hz/¶x=e0¶Ey/¶t; ¶Hy/¶x=e0¶Ez/¶t; ¶Hx/¶x=0} => E® и Н® ^ направлению распростр. => волна поперечная. К примеру: ¶Ey/¶x=-m0Hz·; ¶Hz/¶x=-e0Ey· => E®^H®. Ey=A1sin(wt-kx), Hy=-Ö(e0/m0)Ez; Ez=A2sin(wt-kx+j); Hz=-Ö(e0/m0)Ey; w=2pn - циклическая частота. l=UT – длина волны. 2p/l=k – волновое число, k® - волновой вектор. V – скорость распр. волны (фазовая скорость). W=e0E2/2+m0H2/2=e0H2=m0H2 – объёмная плотность энергии э-м волны. П®=[E®xH®] – вектор Пойтинга. |П®|=Ö(e0/m0)[A1sin2(wt-kx)+A22sin2(wt-kx+j)]; Для плоскополяоизованной волны: П=Ö(e0/m0)A2sin2(wt-kx); поляризация волны: {Ey=A1sin(wt-kx), Ez=A2sin(wt-kx+j), Hy=-Ö(e0/m0)Ez, Hz=Ö(e0/m0)Ez}; 1) A1=Az, j=±(2m+1)p/2 => Ey2+Ez2=A12; Hy2+Hz2=e0/m0A12 – поляриз. по кругу. 2) j=±pm, Ey/A1±Ez/A2=0; Hy/A2-+Hz/A1=0 – линейно поляриз.

Билет 34: скин эффект: {divB®=0, rotE®=-kF¶B/¶t}, {divE®=0; rotB=4pkBj+kB/kF¶E/¶t}; j=sE; rotrotB=-4pkBskF¶B/¶t+kB/kE¶/¶t(rote); DB=4pkms¶B/¶t+km/kE¶2B/¶t2; - DB+1/c¶2B/¶t2+4pkms¶B/¶t=0; B=ex®Bx; Bx=B0ei(kz-wt); B0ei(kz-wt)(-w2/c2-4piwkms+k2)=0; k=Ö(w2/c2+4piwkms); k2=w/c2(w+i(4pkes)); 4pkes=1/t - время релаксации. w<<4pkes; k2=w/(c2t); B(z, t)=B0ei*Ö((1+i)/Ö(2)Ö(4pkesw/c2)); Bx(z, t)=B0e-z/de(i/c*Ö(2pkews)/cz)-iwt; d=c/Ö(2pkews);

Билет 27: цепи переменного тока. I(t)=Re(ei(wt+j))=ReI^; UL(t)=kF2LwIei(wt+j+p/2)=Re(ikF2LwI^(t)); UL^=zL*I(t)^; zL=ikF2Lw - импеданс индуктивности. UR(t)=RI(t); ReUR^(t)=R*ReI^(t); zR=R – импеданс сопротивления. zC=1/(iwC) – импеданс конденсатора. U=q/c=I0òeiwtdt/C=I/(iwc); zc=1/(iwc); При последовательном: z=z1+z2; 1/z=1/z1+1/z2 – при параллельном (U/z=U1/z1+U2/z2). P(t)=e(t)I(t)=e0I0cos(wt)cos(wt+j)=e0I0(cos2wtcosj-coswtsinwtsinj); <P(t)>=e0I0cosj/2=emImcosj; em=e0/Ö(2) – действующее напряжение, Im=I0/Ö(2) – действующий ток. Цепь переменного тока представляет собой ряд сопротивлений, ёмкостей, индуктивностей, в которых текут токи, колебания установились и совершаются с w=const;

Билет 28: LC: q··L+q/c=0; q(t)=Acosw0t+Bsinw0t; w0=1/Ö(LC); RLC: q··L+Rq·+q/C=0; q(t)=Ac-R/2L*tcos(Ö(1/(LC)-(R/2L)2)+j0); w=Ö(w02-b2); b=R/(2L); RLCe(t): Lq··+Rq·+q/C=ecos(wt); q(t)=q¥(t)+qrn(t); q¥=Ae(-R/2L)tcos(Ö(1/(LC)-R2/(4L2))+j0); qrn=Acost/Ö(LC)+Bsint/Ö(LC) – подставляем в ур-ие, находим В и А, qrn=(e/L)/Ö((w02-w2)2-4b2w2); Резонанс: wр=w0=1/Ö(LC); I0(wp)=e0/R;