Упругость анизотропных материалов (стр. 3 )

Нетривиальное решение системы (2.34) существует тогда и только тогда, когда главный определитель этой системы равен нулю:

(2.35)

Раскрывая выражение (2.35) можно найти величину λ из кубического алгебраического уравнения:

(2.36)

Уравнение (2.36) следует из выражения (2.35) и называется характеристическим уравнением тензора напряжений σij. Характеристическое уравнение вида (2.36) может быть записано для любого симметричного тензора II ранга (не обязательно тензора напряжений). Решения алгебраического уравнения (2.36) называются собственными числами тензора II ранга. В общем случае кубическое уравнение вида (2.36) может иметь либо три действительных корня, либо один корень действительный, и два мнимых комплексно сопряженных. Однако, для характеристического уравнения (2.36) известно, что это уравнение всегда имеет три действительных корня. Коэффициенты характеристического уравнения (2.36) называются инвариантами тензора напряжений.

(2.37)

Выражения (2.37) позволяют находить коэффициенты характеристического уравнения для любого произвольно заданного тензора напряжений σij.

Таким образом, поскольку уравнение (2.36) имеет три корня, λ = λ1, λ = λ2 и λ = λ3, то, соответственно, мы имеем три разных решения системы (2.34) и, следовательно, три площадки, на которых вектор напряжений (n) параллелен вектору . При решении системы (2.34) надо исходить из того, что эту систему надо дополнить условием n12 + n22 + n32 = 1, иначе решение будет вырожденным.

Величины λ1, λ2 и λ3 и есть главные напряжения тензора напряжений σij: λ1 ≡ σ1, λ2 ≡ σ2, λ3 ≡ σ3, σ1 > σ2 > σ3.

Инварианты Ii тензора напряжений σij могут быть найдены по следующим формулам:

	(2.38)
	(2.39)

Из выражения (2.39) можно получить формулы для Ii через главные напряжения:

Докажем, что три главных напряжения, а, следовательно, и три площадки на которых они действуют (главные площадки) являются взаимно ортогональными. Рассмотрим частный случай, когда среди корней характеристического уравнения нет равных, то есть σ1≠σ2≠σ3.

Площадки, на которых действуют σ1 и σ2 определены нормалями (1) и (2) соответственно. Тогда для каждой из этих площадок можно записать выражение, аналогичное формуле (2.32) и фундаментальному соотношению Коши:

Домножим первое уравнение на ni(2), второе — на ni(2) и вычтем из первого уравнения второе:

Последнее выражение представляет собой скалярное произведение векторов (1) и (2), из чего следует, что эти векторы перпендикулярны, то есть перпендикулярными являются главные площадки, на которые действуют главные напряжения σ1 и σ2. Аналогичным образом доказывается ортогональность и для других площадок. Таким образом, три главных направления взаимно ортогональны.

Если два корня равны между собой (например, σ1≠σ2 = σ3), тогда направление (1), соответствующее главному напряжению sigma1, является главным направлением, и любые два взаимно ортогональные направления, лежащие в плоскости перпендикулярной (1) являются главными направлениями.

Если же между собой равны все три корня, то любые три взаимно ортогональные направления будут являться главными направлениями. Такое напряженное состояние соответствует равностороннему растяжению (σ1 > 0) или гидростатическому сжатию (σ1 < 0), и поэтому называется еще гидростатическим напряженным состоянием.

Рассмотрим теперь вопрос о площадках, на которых нормальные напряжения достигают экстремальных значений. Если в точке задан тензор напряжений σij, то нормальное напряжение Sn(n) на произвольной площадке с нормалью вычисляется по формуле:

(2.40)

Выражение (2.40) в проекциях имеет вид:

(2.41)

Варьируемым значением в формуле (2.41) являются проекции n1, n2, n3 вектора единичной нормали , а слева — величина, экстремум которой необходимо найти. Экстремум величины Sn(n) необходимо находить при дополнительном условии:

(2.42)

Одним из методов определения экстремума при дополнительном условии в виде равенства является метод множителей Лагранжа. В соответствии с этим методом, наряду с функцией, экстремум которой ищется, строится дополнительная функция, аддитивно включающая в себя дополнительное равенство, записанное в виде тождественного нуля. Применительно к формуле (2.41) с дополнительным условием (2.42) это выглядит следующим образом:

(2.43)

Экстремум функций F и Sn(n) совпадают, но экстремум функции F учитывает дополнительное условие (2.42). Тогда условие экстремума можно записать в виде:

Аналогично находятся выражения, соответствующие двум оставшимся условиям экстремума, и, в результате, получается система уравнений относительно неизвестных n1, n2 и n3, полностью совпадающая с системой уравнений (2.34), следовательно нормальные напряжения достигают своих экстремальных значений на главных площадках, а сами экстремальные значения нормальных напряжений и есть главные напряжения σ1, σ2 и σ3. Очевидно, что если оси координат направить вдоль главных направлений, то в главных осях координат тензор напряжений характеризуется следующей матрицей:

Наряду с главными напряжениями, которые по определению являются нормальными напряжениями, можно рассматривать аналогичную задачу и для касательных напряжений. Можно понять, что для произвольного тензора напряжений σij площадок на которых отсутствуют нормальные напряжения нет. Главными касательными напряжениями называются экстремальные значения касательных напряжений. Площадок, на которых действуют главные касательные напряжения, десять, и существуют простые формулы, которые позволяют на этих площадках находить не только экстремальные значения касательных напряжений, но и нормальные напряжения, а также находить проекции единичных векторов к таким площадкам.

  Глава 3
Определяющие
соотношения УАМ

  3.1 Общая характеристика определяющих
соотношений

В теории деформаций (Глава 1) кинематика сплошной среды1 рассматривалось вне зависимости от физических воздействий. В теории напряжений (Глава 2) изучались внутренние силы, возникающие в теле или в материале, возникающие в результате физического воздействия, при этом ни в теории деформаций, ни в теории напряжений не учитывались конкретные свойства материала, их способность сопротивляться внешним силам.

Очевидно, что между кинематическими и статическими параметрами внутреннего состояния деформируемого материала2 должна существовать связь. В общем виде эта связь может быть отражена математической зависимостью следующего вида:

(3.1)

Напряжения σij, деформации εkl, температура T, время τ — величины, связанные с внутренним состоянием материала, а ij — тензор-оператор, устанавливающий связь между напряжениями σij и другими параметрами внутреннего состояния. Соотношение вида (3.1) должно выполняться в каждой точке деформируемого материала. По аналогии с выражением (3.1) можно записать и другое соотношение:

(3.2)

Соотношения (3.2) являются обратными по отношению к соотношениям (3.1). Выражения (3.1) и (3.2) называются определяющими соотношениями упругости анизотропных материалов. Если из соотношений (3.1) можно получить (3.2), и, наоборот, из (3.2) — (3.1), то определяющие соотношения являются обратимыми. В соотношениях (3.1) и (3.2) время τ отображает историю изменения внутреннего состояния материала на момент времени τ = t для которого записаны выражения (3.1) и (3.2). Определяющие соотношения не только устанавливают связь между величинами, которые характеризуют внутреннее состояние материала, но и отражают физические (деформационные) свойства конкретных материалов.

С помощью определяющих соотношений свойства конкретных материалов придаются изучаемым моделям. Для построения определяющих соотношений (3.1) и (3.2) проводят эксперименты по физическому воздействию на образцы материалов. Из обработки этих экспериментов устанавливают конкретный вид зависимостей (3.1) и (3.2) и значения входящих в эти зависимости констант. Поэтому такие эксперименты называют установочными экспериментами, а константы в выражениях (3.1) и (3.2) — материальными константами. Если в определяющих соотношениях (3.1) и (3.2) отсутствует переменная τ, то есть взаимосвязь параметров внутреннего состояния определяется только значениями этих параметров в конкретное время τ = t, то такие материалы и определяющие соотношения называются склерономными, в противном случае — реономными. Если свойства материала не зависят от температуры T в его точках, то такой материал называется термостабильным. Если материал является неоднородным3, то, соответственно, и определяющие соотношения (3.1) и (3.2) не будут одинаковыми для всех точек материала, и, соответственно, будут являться неоднородными, при этом важно, что будут изменяться и материальные константы. Если материальные константы представляют собой быстро осциллирующие функции, то такой материал называется микронеоднородным. Если при этом быстро осциллирующие функции являются кусочно постоянными, то такой материал называется композиционным.

  3.2 Обобщенный закон Гука

Наиболее простым математическим соотношением, соответствующим определяющему соотношению (3.1) является выражение вида:

(3.3)

Выражение (3.3) является тензорно линейным4 и содержит два тензора-константы — Cijkl и cij. Из гипотезы о естественном начальном состоянии деформируемого тела (если напряжения равны нулю, то и деформации равны нулю) следует, что cij = 0, следовательно, получаем:

(3.4)

Это соотношение называется обобщенный закон Гука однородного анизотропного материала. Соответственно, по аналогии с выражением (3.2), можно записать:

(3.5)

Выражение (3.5) полностью эквивалентно выражению (3.4) и также является формой записи обобщенного закона Гука. В силу линейности выражений (3.4) и (3.5) они являются взаимно обратимыми. Тензоры констант Cijkl и Dijkl называются тензором модуля упругости и тензором упругих податливостей соответственно. Cijkl и Dijkl являются тензорами IV ранга, каждый из них содержит 81 компоненту. Тензоры Cijkl и Dijkl являются материальными константами упругости анизотропных материалов.

Обобщенный закон Гука описывает связь между напряжениями и деформациями при действии внешних сил, однако, деформации в материале могут возникать и в следствии изменения температуры. Наиболее простые с математической точки зрения тензорно-линейные соотношения связывающие температурные деформации с изменением температуры имеют вид:

(3.6)

Где εijT — тензор деформаций, вызванных изменением температуры, ΔT — изменение температуры в точке, а αij — тензор коэффициентов линейного теплового расширения. Тензор αij тоже является материальной константой и представляет собой симметричный5 тензор II ранга.

При одновременном действии внешних сил и изменении температуры в точках, определяющие соотношения термоупругости анизотропных материалов можно записать в виде:

(3.7)

Где σij — напряжения в точке, εkl — полная упругая деформация в точке, а εklT — температурная деформация.

(3.8)

Соотношение (3.8) — гипотеза Дюамеля-Неймана — представляет собой простейшее определяющее соотношение упругости анизотропных материалов.

Если выражения (3.7) и (3.8) обратить, то есть связать деформации с напряжениями, то получим следующие эквивалентные соотношения:

(3.9)

  3.3 Упругий потенциал

В упругости анизотропных материалов используются скалярные величины, которые называются потенциалами напряжений и деформаций. Например, для тензора напряжений можно записать:

(3.10)

Где W — потенциал тензора напряжений (упругий потенциал). Упругий потенциал соответствующий обобщенному закону Гука имеет вид:

(3.11)

W называют также квадратичной формой тензора деформаций. Можно доказать, что для симметричного тензора II ранга квадратичная форма всегда есть величина неотрицательная (W ≤ 0). Упругий потенциал W имеет и физический смысл — потенциальная энергия деформации материальной частицы или удельная упругая энергия деформации. Величина W равна нулю только в том случае, когда εij и σij равны нулю.

Рассмотрим условие симметрии тензоров модулей упругости Cijkl и
упругих податливостей Dijkl. В силу симметрии εij и σij:

(3.12)

Можно понять, что условия симметрии (3.12) сокращают количество независимых постоянных тензора Cijkl с 81 до 36. Одновременно, условия потенциальности тензора напряжений (3.11) приводит к соотношению:

(3.13)

По-парная перестановка индексов (3.13) с учетом применения ее к условиям (3.12) дополнительно сокращает число независимых компонент тензора Cijkl до 21. Самому общему случаю анизотропии упругих материалов соответствует тензор Cijkl с 21 независимой компонентой.

  3.4 Частные случаи анизотропии
упругих свойств

Из экспериментов известно, что свойства материалов могут отличаться от точки к точке и в каждой точке могут быть различными для разных направлений. Поэтому по термоупругим свойствам материалы разделяются, с одной стороны, на однородные и неоднородные, а с другой — на изотропные и анизотропные.

Материалы, в которых термоупругие свойства во всех точках одинаковы, называются однородными, а материалы с различными термоупругими свойствами в различных точках — неоднородными. Композиты считаются однородными на макроуровне, когда характеризуются эффективными свойствами, одинаковыми во всех точках. На структурном уровне композиты являются неоднородными, поскольку их термоупругие свойства изменяются скачкообразно при переходе от точки к точке через межфазную поверхность (например, от матрицы к волокну).

Материалы, термоупругие свойства которых во всех направлениях, проведенных через данную точку, одинаковы, называют изотропными в данной точке, а материалы, термоупругие свойства которых различны для различных направлений, проведенных через данную точку — анизотропными в данной точке.

Однородный материал, изотропный хотя бы в одной точке, является изотропным материалом. Соответственно, однородный материал, анизотропный хотя бы в одной точке, является анизотропным.

Проявление анизотропии свойств связано со структурой материалов. Выделяют конструкционную, технологическую и физическую анизотропию свойств материалов.

Конструкционная анизотропия термоупругих свойств композитов “закладывается” в материал при его создании и обусловлена различием термоупругих свойств компонентов композита, их геометрическим параметрами и характером взаимного расположения. Анизотропия свойств композитов связана с ориентацией волокон в матрице, характером чередования слоев и так далее.

Технологическая (деформационная) анизотропия свойств возникает при деформировании материалов под действием нагрузки и связана с возникновением структуры (текстуры), определенным образом ориентированной по отношению к нагрузке. Например, анизотропия свойств при пластическом деформировании металлов или при деформировании керамик с образованием одинаково ориентированных дискообразных микротрещин.

Физическая анизотропия присуща кристаллам и связана с особенностями строения их кристаллической решетки.

Анизотропия термоупругих свойств отражается при задании тензоров модулей упругости Cijkl (или модулей упругих податливостей Dijkl) и коэффициентов теплового расширения αij.

В самом общем случае симметричные тензоры модулей упругости Cijkl и коэффициентов теплового расширения αij содержат соответственно 21 независимый коэффициент и 6 независимых коэффициентов, которые могут быть представлены в виде матриц:

(3.14)

Симметрия термоупругих свойств анизотропных композитов обусловлена симметричностью их структуры.

Значительное уменьшение числа независимых материальных констант получим в материалах, структура которых имеет двукратную ось симметрии. Говорят, что структура имеет ось симметрии n-ого порядка, если упругий потенциал W(εij) и напряжения не изменятся после каждого поворота этой оси на угол . В случае двукратной оси симметрии после каждого поворота системы координат на угол 180∘ относительно этой оси число отличных от нуля постоянных должно оставаться тем же самым. Допустим, что двукратной осью является ось X3. При повороте системы координат X′i относительно двукратной оси X3 на 180∘ получим: X′1 = -X1, X′2 = -X2, X′3 = X3. В матрицах (3.14) остается 13 коэффициентов Cijkl и 4 коэффициента αij. Матрицы (3.14) принимают вид:

(3.15)

Тринадцать коэффициентов Cijkl и четыре коэффициента αij соответствуют анизотропным материалам моноклинной системы. Материал обладает одной плоскостью упругой симметрии (плоскость X1X2).

Рассмотрим гексагональную систему анизотропного материала. В этой системе потребуем, чтобы свойства тела не зависели от поворота системы вокруг оси X, то есть при следующем преобразовании координат: X′1 = X1 cosΘ + X2 sinΘ, X′2 = X1 sinΘ + X2 cosΘ, X′3 = X3.

Матрицы коэффициентов принимают следующий вид:

(3.16)

Для материалов с гексагональной симметрией в матрицы коэффициентов входят пять независимых констант для тензора Cijkl и две для тензора αij. Такие материалы называют трансверсально-изотропными (или сокращенно транстропными), так как для них плоскость симметрии свойств (в настоящем случае плоскость X1X2) является плоскостью изотропии, то есть термоупругие свойства материала одинаковы для всех направлений, лежащих в этой плоскости.

Рассмотрим материал, который характеризуется гексагональной симметрией относительно двух взаимно ортогональных осей. Получаем матрицы коэффициентов:

(3.17)

включающие две независимые константы тензора Cijkl и одну константу тензора αij. Таким образом, материал, характеризуемый гексагональной симметрией относительно двух взаимно ортогональных осей, обладает изотропией термоупругих свойств и называется изотропным.

  3.5 Технические постоянные
упругости анизотропных материалов

Компоненты тензоров Cijkl (или Dijkl) и αij являются материальными константами материала и характеризуют его термоупругие свойства, причем число таких независимых констант определяется симметрией материала и, соответственно, симметрией тензоров Cijkl (или Dijkl) и αij.

Однако на практике удобнее пользоваться не компонентами тензора
Cijkl (или Dijkl), а так называемыми техническими постоянными материала, характеризующими жесткость при некоторых простейших видах нагружения (одноосное растяжение, чистый сдвиг, гидростатическое сжатие и др.).

В общем случае физические уравнения (3.9) термоупругости анизотропного материала с триклинной системой структуры при цифровой системе индексов имеют вид:

(3.18)

где для i, j,k, l = 1,2,3 имеем:

Ei — модули нормальной упругости (модули Юнга) для направлений X1, X2 и X3 соответственно, определяющие величину линейной деформации в направлении Xi (то есть деформации εii) при действии одних только нормальных напряжений в этом же направлении (то есть напряжений σii);

Gij — модули сдвига для плоскостей X1X2, X2X3 и X1X3, определяющие величину сдвиговой деформации в плоскости XiXj (то есть деформации εij) при действии одних только касательных напряжений в этой же плоскости (то есть напряжений σij);

υij — коэффициенты Пуассона, определяющие величину линейной деформации в направлении Xj (то есть деформации εjj) при действии одних только нормальных напряжений в направлении Xi (то есть напряжений σii);

ϰkl, i — коэффициенты взаимного влияния, определяющие величину линейной деформации в направлении Xi (то есть деформации εii) при действии одних только касательных напряжений в плоскости XkXl (то есть напряжений σkl);

ϰi, kl — коэффициенты взаимного влияния, определяющие величину
сдвиговой деформации в плоскости XkXl (то есть деформации εkl) при действии одних только нормальных напряжений в направлении Xi (то есть напряжений σii);

ηij, kl — коэффициенты взаимного влияния (коэффициенты Ченцова), определяющие величину сдвиговой деформации в плоскости XkXl (то есть деформации εkl) при действии одних только касательных напряжений в плоскости XiXj (то есть напряжений σij);

αij — коэффициенты линейного теплового расширения, определяющие величину деформации εij в отсутствие напряжений при изменении температуры материала на величину ΔT.

Таким образом, индексы у коэффициентов взаимного влияния, стоящие до запятой, означают направление напряжения, вызвавшего деформацию, а индексы, стоящие после запятой — направление деформации.

Всего в уравнениях (3.18), связывающих шесть компонент симметричного тензора деформаций εij с шестью компонентами симметричного тензора напряжений, содержится 6 Ч 6 = 36 коэффициентов уравнений, из них три модуля Юнга Ei, три модуля сдвига Gij = Gji, (i≠j), шесть коэффициентов Пуассона υij, (i≠j), по девять коэффициентов взаимного влияния ϰkl, i и ϰi, kl, (k≠l), шесть коэффициентов Ченцова ηij, kl (i≠j, k≠l, i≠k при i = l, j≠l, при i = k). Однако количество независимых постоянных материала равно 21, а следовательно, и число независимых технических постоянных должно быть таким же. Поэтому существуют дополнительные 15 соотношений, связывающие технические постоянные уравнений (3.18) между собой (по повторяющимся индексам не суммировать!):