ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

Учебно-методический комплекс по дисциплине

Векторный и тензорный анализ

Для специальности 010701 Физика

Кемерово 2007

СОДЕРЖАНИЕ

I. Требования государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (Специальность 010701 – физика) к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы и к уровню подготовки выпускника по курсу квантовая теория.

II. Примерная учебная программа курса, рекомендуемая УМО «Физика»

III. Рабочая программа курса

IV. Методические рекомендации по изучению дисциплины для студентов

V. Учебно-методические материалы

VI. Оценочные и диагностические средства итоговой государственной аттестации и учебно-методическое обеспечение их проведения.

VII. Электронный вариант документов.

I. Требования Госстандарта.

ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (Специальность 010701 – ФИЗИКА) К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСНИКА ПО КУРСУ "Векторный и тензорный анализ".

Тензоры и операции над ними. Скалярное и векторное поле. Основные операции векторного анализа. Формулы Грина, Гаусса – Остроград-ского, Стокса. Элементы теории групп.

II. Примерная учебная программа курса «Векторный и тензорный анализ», рекомендуемая УМО «Физика»

1. Организационно-методический раздел.

Курс "Векторный и тензорный анализ" предназначен для студентов радиофизического факультета. Для усвоения излагаемого материала от слушателей требуется умение дифференцировать, интегрировать и знание основных положений аналитической геометрии.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В данном курсе даются необходимые сведения по векторному анализу, чтобы можно было в дальнейшем изучать физические величины, имеющие векторную природу. В физике кроме скаляров (температура, масса, плотность вещества), векторов (поле скоростей, ускорений, силы) встречаются объекты более сложной природы.

Курс снабжен необходимым количеством задач физического характера, способствующими лучшему усвоению понятий и методов векторного и тензорного анализа, более того формализм максимально приближен к нуждам физики. Тензорный анализ для физика- это математический аппарат, с помощью которого не только сокращаются многосистемные выкладки, но и концентрируется физическая идея, так как использование тензорного анализа позволяет отодвинуть на второй план сложную геометрическую картину физического явления.

Цель данного курса состоит в следующем: повышение профессионального уровня в плане подготовки специалиста, обеспечение необходимыми знаниями и привитие практических навыков работы с основными понятиями векторного и тензорного анализа.

Задачами изучения курса являются: закрепить и развить знания, умения и приемы, полученные при усвоении курсов, на которые опирается данный курс; подготовить исходный уровень знаний и навыков, необходимых для успешного освоения курсов радиофизического профиля, например таких как, электродинамика, квантовая механика, теория волновых процессов, ядерная физика и т. д.

2. Содержание курса.

ВВЕДЕНИЕ

Данный курс состоит из двух частей: "Векторный анализ" и "Тензорный анализ". В первой части представлены приемы, методы векторного анализа, которые необходимы для исследования физических величин, дифференцирование, интегрирование векторных объектов и алгебраические действия с ними на ряду с введением новых физических понятий, а также проведение необходимых исследований, используя формализм векторного исчисления.

Изложение основ тензорного анализа начинается практически "с нуля". Следует отметить, что в тензорном анализе приходится оперировать с объектами, которые были представлены в первой части курса. В связи с этим усвоение тензорного анализа зависит от усвоения основ векторного анализа и понимания физической интерпретации результатов интегрирования и дифференцирования математических объектов.

Практические занятия снабжены необходимым количеством задач геометрического и физического характера, помогающими лучшему усвоению понятий векторного и тензорного анализа.

1. Введение в курс "Векторный анализ"

Цель и задачи, предмет и содержание курса, его связь с другими курсами. Краткие исторические сведения о развитии векторного анализа.

1.1 Векторные функции скалярного аргумента

Понятие годографа векторной функции скалярного аргумента. Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента. Векторы касательной, нормали, бинормали и вектор кручения пространственной кривой.

1.2. Скалярное поле

Определение скалярного поля. Поверхности уровня. Производная поля вдоль кривой, производная по направлению. Градиент скалярного поля и его геометрическая интерпретация. Теорема о градиенте.

1.3. Векторное поле

Определение. Векторные линии. Уравнение векторной линии. Дивергенция векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса (теорема о дивергенции). Дивергенция как оператор. Определение дивергенции в декартовой системе координат. Ротор векторного поля. Теорема о роторе. Теорема Стокса. Вычисление ротора в декартовой системе координат. Оператор Лапласа. Операции второго порядка векторного анализа.

Соленоидальные и потенциальные векторные поля. Понятие векторного и скалярного потенциалов. Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Поверхностные интегралы 1-го рода и 2-го рода. Объемные интегралы. Объемные производные. Интегральные теоремы векторного анализа. Теорема Гельмгольца (определение векторного поля по известному ротору и дивергенции). Координаты, координатные линии, координатные поверхности. Переход от декартовой к криволинейным системам координат (сферические и цилиндрические системы координат). Локальный нормированный (физический) базис. Коэффициенты Ламэ. Элементы дуги, площади и объема в криволинейных системах координат. Связь между декартовыми компонентами вектора и компонентами разложения вектора по локальному базису. Градиент, дивергенция, ротор и оператор Лапласа в криволинейных системах координат. Случай сферических и цилиндрических координат.

2. Тензорный анализ

2.1. Общее определение тензора

Цель и задачи, предмет и содержание курса, его связь с другими курсами. Понятие тензора. Инвариантность. Основная задача тензорного исчисления.

2.2. Преобразование координат

Локальный и взаимный базисы. Метрическая матрица. Ковариантные и контравариантные компоненты вектора. Закон преобразования координат. Матрицы преобразования при переходе от декартовой к ортонормированной криволинейной системе координат.

2.3. Тензорная алгебра

Алгебраические операции над тензорами: сложение тензоров, умножение тензора на действительное число, умножение тензоров, свертывание тензора, свертывание произведения тензоров, перестановка индексов тензора.

2.4. Тензорная производная

Тензорное поле и его дифференцирование. Абсолютный дифференциал и абсолютная производная.

Практические занятия

· Дифференцироние векторных функций, нахождение единичных векторов касательной, нормали и бинормали к пространственным и плоским кривым.

· Вычисление градиента скалярных полей, вычисление производных по направлению.

· Нахождение уравнений векторных линий векторных полей.

· Вычисление дивергенции векторных полей.

· Вычисление ротора векторных полей.

· Нахождение потенциалов векторных полей. Операции второго порядка векторного анализа, вычисление оператора Лапласа.

· Вычисление градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа в сферической и цилиндрической системах координат.

· Вычисление матриц преобразования при переходе от декартовой к ортонормированной криволинейной системе координат и наоборот. Определение координат вектора при переходе к другой системе координат.

3. Учебно-методическое обеспечение курса

3.1. Рекомендуемая литература (основная).

1. Рашевский геометрия и тензорный анализ. М.:"Наука", 1964.

2. Кочин исчиление и начала тензорного исчисления. М., Изд-во АН СССР, 1951.

3. , Гольдберг исчисление. М., "Наука", 1969.

4. Победря по тензорному анализу. М., Изд-во МГУ, 1974.

3.2. Рекомендуемая литература (дополнительная).

1. , Позняк математического анализа: Учеб.: В 2 ч. М.: Наука, . Ч. 1-2.

2. Смирнов высшей математики: Учеб.: В 4 т. М.: Наука, 1981. Т.1-3.

3. Шилов по векторному анализу. М., ГИТТЛ,1954.

4. Сокольников анализ. Теория применения в геометрии и в механике сплошных сред. М., "Наука", 1971.

III. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА курса “Векторный и тензорный анализ”

Всего часов на дисциплину - 70, в том числе

Аудиторные занятия - 36

Лекции - 18

Практические занятия - 18

Самостоятельная работа - 34

Контрольная форма - экзамен

Программу составил:

доцент кафедры теоретической физики КемГУ, к. ф.-м. н.

СОДЕРЖАНИЕ

рабочей программы.

1. Пояснительная записка.

2. Тематический план

3. Содержание дисциплины

а) Теоретический курс

б) Практические занятия

4. Список основной учебной литературы

5. Формы текущего, промежуточного и рубежного контроля

а) «Обязательные» вопросы к экзамену и зачету

б) Примерный список задач, выносимых на экзамен

в) Примеры вопросов к лекционным «диктантам»

г) Темы рефератов

1. Пояснительная записка

Рабочая программа составлена на основании типовой программы курса «Векторный и тензорный анализ» для специальности 010701 «Физика», направления 510400 «Физика», утвержденной УМС по физике УМО классических университетов (Москва, 2001г.) и полностью соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта специальности 010400 «Физика» (направления 510400 «Физика»), утвержденного в 2000г.

Актуальность и значимость курса.

Элементы векторного и тензорного анализа широко применяется во всех разделах физики. Курс направлен на формирование представлений и навыков работы с математическими объектами тензорного характера, которые составляют основу инвариантного математического аппарата, широко используемого как в общей (электричество и магнетизм), так и в теоретической физике (теоретическая механика, электродинамика, основы механики сплошных сред, квантовая механика и т. д.). Данный курс является также основой для большинства курсов специальной подготовки.

Цель и задачи изучения курса.

Место дисциплины в профессиональной подготовке специалистов.

Структура учебной дисциплины.

Особенности изучения дисциплины.

физическом факультете

Форма организации занятий по курсу.

Взаимосвязь аудиторной и самостоятельной работы студентов.

домашние задания

Требования к уровню усвоения содержания курса.

Свободно оперировать такими математическими понятиями как тензор, вектор и скаляр; ротор и дивергенция векторного поля, градиент скалярного поля. Владеть навыками работы в разных системах координат. Уметь применять знания тензорного и векторного анализа к физическим задачам.

Объем и сроки изучения курса.

Виды контроля знаний и их отчетности.

Критерии оценки знаний студентов по курсу.

2. Тематический план.

№	Название и содержание разделов, тем, модулей	Объем часов	Формы контроля
Общий	Аудиторная работа	Самостоятельная работа
Лекции	Практические	Лабораторные
1	2	3	4	5	6	7	8
1	Элементы векторной алгебры	6	2	2		2	Лекционный диктант, проверочная работа
2	Тензорная алгебра	16	4	6		6	Лекционный диктант, проверочная работа
3	Векторный анализ - основные определения	8	2	2		4	Лекционный диктант, проверочная работа
4	Интегральные теоремы векторного анализа, дифференциальные характеристики векторных полей	10	2	4		4	Лекционный диктант, проверочная работа
5	Основные операции векторного дифференцирования	8	2	2		4	Лекционный диктант, проверочная работа
6	Формулы Грина и основная теорема векторного анализа	5	3	-		2	Лекционный диктант
7	Криволинейные системы координат	10	2	2		6	Реферат
8	Элементы теории групп	7	1	-		6	Реферат
Итого:	70	18	18		34

3. Содержание дисциплины.

Теоретический курс.

Элементы векторной алгебры. Скаляры. Векторы - определение, правило сложения. Противоположный вектор. Нуль вектор. Проекция вектора на ось. Линейная зависимость векторов. Условие линейной независимости трех векторов. Разложение векторов. Векторный базис. Декартов базис. Скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное произведение векторов - определение, вычисление в декартовой системе координат. Преобразование ортов двух ортогональных базисов. Ортогональные преобразования. Ортогональные матрицы.

Тензорная алгебра. Общее определение тензора. Закон преобразования при ортогональных преобразованиях систем координат. Ковариантность тензорных уравнений. Примеры. Алгебра тензоров: сложение, умножение, свертка тензоров. Симметричные и антисимметричные тензоры. -символ Кронекера. Признак тензорности величины. Собственные и несобственные ортогональные преобразования. Псевдотензоры. Псевдотензор Леви-Чивиты.

Векторный анализ - основные определения. Вектор-функция скалярного аргумента. Производная вектор-функции скалярного аргумента. Тензорное поле. Дифференцирование тензорного поля по координате. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Векторное поле. Векторные линии. Уравнение векторных линий.

Интегральные теоремы векторного анализа, дифференциальные характеристики векторных. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для векторных полей. Дивергенция векторного поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса для векторных полей. Ротор векторного поля.

Основные операции векторного дифференцирования. Оператор Гамильтона (). Запись основных операций векторного дифференцирования в векторном виде с оператором и в декартовой системе координат. Запись основных операций векторного дифференцирования в тензорном виде. Векторные дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа.

Формулы Грина и основная теорема векторного анализа. Следствия из интегральных теорем: 1-я и 2-я формулы Грина. Основная теорема векторного анализа - построение потенциального и соленоидального векторных полей.

Криволинейные системы координат. Определение. Коэффициенты Ламэ. Локальный базис. Цилиндрическая, сферическая системы координат. Градиент, дивергенция, ротор, оператор Лапласа в криволинейных системах координат.

Элементы теории групп. Абстрактные группы. Аксиомы теории групп. Подгруппа, сопряженные совокупности. Классы. Изоморфизм и гомоморфизм групп. Прямое произведение групп. Таблицы умножения групп.

Практические занятия

1. Векторная алгебра (векторы, скаляры, основные операции с векторами: скалярное, векторное, смешанное произведение векторов).

2. Тензорная алгебра. -символ Кронекера, правило суммирования Эйнштейна, дифференцирование функций многих переменных с использованием индексных обозначений (, )

3. Тензорная алгебра. Тензоры: определение, закон преобразования (задачи на закон преобразования, инвариантные тензоры на примере -символа). Дополнительно: дифференцирование (занятие 2).

4. Тензорная алгебра. Псевдотензор Леви-Чивиты, четная и нечетная перестановки, запись векторных выражений в тензорном виде.

5. Векторный анализ. Градиент: определение (декартовая система координат). Рассмотрение основных примеров : в декартовой системе Бескоординатное дифференцирование ()

6. Векторный анализ. Дивергенция векторного поля: определение (декартовая система координат), физический смысл на примерах. Основные задачи , , векторные линии. Бескоординатное «векторное» дифференцирование с использование свойств дивергенции ()

7. Векторный анализ. Ротор векторного поля: определение (декартовая система), физический смысл на примерах. Основные задачи: . Примеры на бескоординатное «векторное» дифференцирование с использованием свойств ротора ().

8. Решение задач на векторное дифференцирование

9. Криволинейные системы координат. Рассмотрение основных примеров (, , …) в цилиндрической и сферической системах координат.

4. Список основной учебной литературы

Сведения об учебниках	Количество экземпляров в библиотеке на момент утверждения программы	Электронный вариант в библиотеке факультета
Наименование, гриф	Автор	Год издания
Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3		2003 1969 1966	2 1969(45) 1
Методические указания по курсу “Основы векторного и тензорного анализа”		1988	0	PDF, 3.93 Мб
Методы теоретической физики. Т.1	,	1958	2

ЛИТЕРАТУРА.

О с н о в н а я.

1. Дмитриенко исчисление. – М.: Высшая школа, 2001. – 575 с.

2. Коренев исчисление.- М.: Издательство МФТИ, 2000. – 240 с.

3. , , Полыгалов векторного и тензорного анализа. Ч. I. Векторная алгебра. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Кемерово, КемГУ, 1996.

4. , , Полыгалов векторного и тензорного анализа. Ч. I. Векторная алгебра. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Кемерово, КемГУ, 1996.

5. Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматлит, 2003, т.3, 723 с.

6. Полыгалов указания по курсу “Основы векторного и тензорного анализа”. – Кемерово. Изд-во КемГУ, 1988, 82 с.

7. , , Полыгалов векторного и тензорного анализа. Ч.2. Основы векторного анализа. Методические указания для самостоятельной работы студентов. Кемерово, КемГУ, 1995.

8. , Методы теоретической физики. Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. Лит., Т.1, 930 с.

9. Борисенко. А., Тарапов анализ и начала исчисления. – М.: Высшая школа, 1963. – 262 с.

10. Анчиков векторного и тензорного анализа. Уч.-методич. пособие. Казань. Изд-во КГУ, 1988

11. , Мурзагалиев тензорного исчисления в евклидовом пространстве. Алма-Ата. КазГУ, 1981.

12. Кручек векторного и тензорного исчисления. Уч. пособие. Петрозаводск, 1983.

Д о п о л н и т е л ь н а я.

1. , Гольдберг исчисление. – М.: Наука, 1969. – 352 с.

2. , Соколова исчисление и векторный анализ. Калиниград, 1976.

3. , , Милославская векторного и тензорного анализа. Уч. Пособие. Воронеж, изд-во ВГУ, 1978.

4. Лаптев векторного исчисления. М.: Наука, 1975.

5. Формы текущего, промежуточного и рубежного контроля.

А) «Обязательные» вопросы к экзамену и зачету

Скаляры. Векторы - определение, правило сложения. Противоположный вектор. Нуль вектор. Проекция на ось. Линейная зависимость векторов. Условие линейной независимости трех векторов. Разложение векторов. Векторный базис. Декартовый базис. Скалярное, векторное, смешанное, двойное векторное произведение векторов - определение, вычисление в декартовой системе координат. Преобразование ортов двух ортогональных базисов. Ортогональные преобразования. Ортогональные матрицы. Общее определение тензора. Закон преобразования при ортогональных преобразованиях систем координат. Ковариантность тензорных уравнений. Примеры. Алгебра тензоров: сложение и умножение тензоров. Алгебра тензоров: свертка тензоров. Симметричные и антисимметричные тензоры. d -символ Кронекера (определение, закон преобразования, ранг). Признак тензорности величины. Собственные и несобственные ортогональные преобразования. Псевдотензоры. Псевдотензор Леви-Чивиты. Запись векторного произведения в тензорном виде. Вектор-функция скалярного аргумента. Производная. Тензорное поле. Дифференцирование тензорного поля по координате. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Векторное поле. Векторные линии. Уравнение векторных линий. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для векторных полей (формулировка). Дивергенция векторного поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса для векторных полей. Ротор векторного поля. Запись основных операций векторного дифференцирования в векторном виде с оператором Ñ и в декартовой системе координат. Запись основных операций векторной алгебры и вектоного дифференцирования в тензорном виде:

. Векторные дифференциальные операции второго порядка. Следствия из интегральных теорем: первая формула Грина. Следствия из интегральных теорем: вторая формула Грина. Основная теорема векторного анализа. Построение соленоидального векторного поля. Основная теорема векторного анализа. Построение потенциального векторного поля. Криволинейные координаты. Градиент скалярного поля в ортогональных криволинейных системах координат. Дивергенция векторного поля в ортогональных криволинейных системах координат. Ротор векторного поля в ортогональных криволинейных системах координат. Оператор Лапласа в ортогональных криволинейных системах координат. Аксиомы теории групп. Подгруппа, сопряженные совокупности. Индекс подгруппы. Классы. Прямое произведение групп.

Примерный список задач, выносимых на экзамен

1. Операции с векторами.

1.1 Вычислить и для векторов:

1.1.1 и

1.1.2 и

1.1.3 и

1.1.4 и

1.1.5 и

1.2 Вычислить для векторов : (1)

1.2.1 , и

1.2.2 , и

1.2.3 , и

1.2.4 , и

1.2.5 , и

1.3 Показать прямым вычислением, что : (1)

1.3.1 , и

1.3.2 , и

1.3.3 , и

1.3.4 , и

1.3.5 , и

1.4 Показать прямым вычислением, что : (1)

1.4.1 , и

1.4.2 , и

1.4.3 , и

1.4.4 , и

1.4.5 , и

1.5 Вычислить объем пирамиды ABCD, вершины которой имеют координаты : (2)

1.5.1 A(1,-1,0), B(2,3,1), C(-1,1,1), D(4,3,-5)

1.5.2 A(2,0,3), B(1,1,1), C(4,6,6), D(-1,2,3)

1.5.3 A(-3,1,1), B(0,-4,-1), C(5,1,3), D(4,6,-2)

1.5.4 A(2,1,-4), B(-3,-5,6), C(0,-3,-1), D(-5,2,-8)

1.5.5 A(1,1,4), B(2,1,2), C(1,-1,2), D(6,-3,8)

2. Просуммировать выражение с -символом:

2.1 (2)

2.4 (2)

2.5 (2)

2.7 (2)

2.9 (2)

2.11 (2)

2.13 (1)

2.15 (2)

2.17 (2)

2.19 (2)

2.21 (2)

2.23 (2)

2.25 (1)

2.27 (4)

2.29 (4)

3. Записать закон преобразования и указать ранг величины:

3.1 (1)

3.3 (2)

3.5 (2)

3.7 (2)

3.9 (2)

3.11 (2)

3.13 (2)

3.15 (2)

3.17 (3)

3.19 (3)

3.21 (3)

3.23 (4)

3.25 (2)

3.27 (2)

3.29 (2)

4. Продифференцировать :

4.1 (1)

4.3 (2)

4.5 (2)

4.7 (2)

4.9 (3)

4.11 (3)

4.13 (3)

4.14 (3)

4.17 (3)

4.19 (1)

4.21 (2)

4.23 (2)

4.25 (2)

4.27 (3)

4.29 (3)

5. Вычислить, используя какой-либо из способов – представление в декартовой системе координат, в тензорной или векторной форме :

5.1 (2)

5.3 (2)

5.5 (5)

5.7 (6)

5.9 (10)

5.11 (3)

5.13 (3)

5.15 (4)

5.17 (3)

5.19 (5)

5.21 (3)

5.23 (3)

5.25 (3)

5.27 (4)

5.29 (5)

в) Примеры вопросов к лекционным «диктантам»

Дать определение d-символа Кронекера дать определение тензора n-го ранга записать правило сложения тензоров записать правило умножения тензоров дать определение псевдотензора дать определение псевдотензора Леви – Чивиты. указать, как меняется ранг тензора при его дифференцировании по скалярному аргументу указать, как меняется ранг тензора при его дифференцировании по координатам радиус-вектора записать оператор Ñ в декартовой системе координат дать определение потока векторного поля физический смысл дивергенции сформулировать теорему Стокса для векторных полей физический смысл ротора вычислить