Материалы для проведения III этапа Всероссийской

политехнической олимпиады школьников, 2008 год

Задача №1

По Пифагору существуют только пять правильных многогранников, которые называют платоновыми телами. Эти тела долгое время считали не более чем игрушкой для математиков, не имеющей никакого практического значения. Примечательно, что как раз эти фигуры оказались в центре внимания современных ученых в их яростных спорах относительно точной формы вирусов. Например, многие вирусы, в том числе полиомиелита, имеют форму … Перечислите эти правильные многогранники.

(10 баллов)

Задача №2

Как соединить шлангами герметичные сосуды (1) с чашей (2), заполненные водой, чтобы после открытия кранов (3), предотвращающих утечку воды, система заработала как фонтан, придуманный древнегреческим механиком Героном. Объясните принцип работы.

(10 баллов)

Задача №3

Какое максимальное количество четырехугольников изображено на рисунке?

(10 баллов)

 

Задача №4

Длинномерные профильные детали (стрингеры) входят в конструкции летательных аппаратов. Изготавливают их из узких длинных полос, нарезанных из алюминиевых листов, методом гибки (изгиба) на специальных гибочных станках.

Для производства стрингеров из листов шириной = 60 см и длиной требуется нарезать 36 полос шириной = 14 см и 300 полос шириной = 9 см (см. рис.).

1). Определите все возможные варианты разрезки листа на полосы, представив их в виде таблицы.

2). Методом перебора найдите такую комбинацию из двух вариантов разрезки, которая отвечает условиям задачи и при этом будет израсходовано минимальное количество алюминиевых листов. Определите количество отходов в процентах для минимальной комбинации разрезки.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Профильная деталь
 
 

(10 баллов)

Задача №5

На рисунке показан винтовой домкрат.

Найти минимальную силу, которую надо приложить к концу рукоятки домкрата, чтобы поднять груз массой 160 кг.

Шаг винта h = 10 мм. Длина рукоятки L = 0,5 м. Трением в резьбе винта пренебречь.

(10 баллов)

Задача №6

«Магический квадрат – это квадрат, в каждую клетку которого вписано число, при чем сумма чисел по горизонтали, по вертикали и по диагонали всегда одна и та же».1

Составьте элементарный магический квадрат, используя цифры от 1 до 9, вписав их в свободные ячейки заготовки, изображенной на рисунке так, чтобы сумма цифр по каждой строке, столбику и диагонали равнялась 15.

(10 баллов)

 

Задача №7

При ликвидации ледяных заторов на реках под лед необходимо поместить взрывчатку. Для этого во льду проплавляют лунку, используя термогенератор на основе железо–амониевого термита (75% Fe2O3, 25% Al), который дает тепловой эффект .

Определить массу термозаряда m для проплавления лунки глубиной и диаметром . Температура льда , удельная теплоемкость , удельная теплота плавления , плотность . Тепловые потери составляют 1/3 всей энергии.

(10 баллов)

Задача №8

На рисунке показана схема установки для измерения мощности двигателя. На вал 1 двигателя надет шкив 2, который обхватывается гибкой лентой 3. Правая ветвь ленты подсоединена к пружинному динамометру 4. Левая ветвь ленты натягивается грузом массой m.

Определите мощность двигателя в Вт, если вращаясь равномерно он делает 145 об/мин; при этом динамометр показывает натяжение правой ветви ленты в 50 н. Масса груза равна 2 кг. Диаметр шкива равен 400 мм.
 

10 баллов)

1 Шри Шримад Свами Прабхупада «Источник вечного наслаждения», стр. 325.

Задача №9

В процессе модернизации радио – локационной станции (РЛС) к ней был добавлен новый блок стоимостью 300 тыс. руб. Чтобы привести блок в рабочее состояние в первый год после монтажа необходимо затратить 10 тыс. руб. на техосмотр, отладку электрических цепей, пробные пуски, обучение обслуживающего персонала. В последние годы эти затраты увеличиваются так как требуется дополнительно проводить профилактический ремонт, заменять вышедшие из строя узлы и детали. Было установлено, что в каждом следующем году, начиная со второго, эти расходы увеличиваются на 6 тыс. руб. по сравнению с предыдущим.

Определите минимальный ежегодный расход, необходимый для успешной работы блока и соответственно время оптимальной его эксплуатации, после которой блок следует заменять.

(10 баллов)

Задача №10

В приводах сельскохозяйственных машин, транспортеров, станков передачу вращения от одного вала к другому осуществляют с помощью гибкой связи (ремня). Передача состоит из 2-х шкивов, закрепленных на валах, и охватывающей их бесконечной гибкой ленты. Передача осуществляется силами трения, возникающими между шкивами и ремнем. На рисунке дана схема открытой ременной передачи шлифовального станка. Ведущий шкив (1) расположен на валу двигателя. Ведомый шкив (2) получает вращение от 1-го шкива и находится на валу шлифовального круга. При вращении ведущего шкива в направлении стрелки нижняя ведущая часть ремня получает натяжение Т1, верхняя, ведомая - Т2. Причем Т1>Т2.

w1
 

Определите силу трения между ремнем и ведомым шкивом привода станка.

Хватит ли передаваемой ремнем мощности для работы привода, если шлифовальный круг, сидящий на этом же валу, потребляет 2,5 кВт мощности?

Принять R=200 мм, r = 125 мм, Т1 = 700 н, Т2 = 500 н, w1 = 750 об/мин.

(10 баллов)

Решение заданий

Решение задачи №1

Тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр

Решение задачи №2

Из чаши вода выливается в правый сосуд, сжимая в нем воздух. Давление воздуха передается в левый сосуд, вытесняя из него воду в сопло фонтана. Фонтан будет работать, пока вся вода не вытечет из чаши.

Решение задачи №3

43 четырехугольника.

Решение задачи №4

1. Как показано на рисунке, рассмотрим все возможные варианты разрезки листов на полосы заданной ширины и представим их в виде таблицы 1.

Примечание. Разрезка листа считается законченной, если ширина остатка или отход при разрезке листа получается меньше 9 см.

Таблица 1

Варианты

№ п/п

Количество полос в варианте разрезки одного листа при ширине полос

Ширина

отхода , см

Количество

листов,

= 14 см

= 9 см

1

4

0

4

2

3

2

0

3

2

3

5

4

1

5

1

5

0

6

6

2. Методом перебора найдем все комбинации из двух вариантов разрезки листов, отвечающих условиям задачи, и занесем их в таблицу 2.

Таблица 2

Комбина-ции, № п/п

Количество листов

в комбинациях вариантов

Потребное количество листов

1

= 9 листов

= 50 листов

+ = 59 листов

2

= 12 листов

= 46 листов

+ = 58 листов

3

= 18 листов

= 41 листов

+ = 59 листов

4

= 36 листов

= 20 листов

+ = 56 листов

Примечание. Любые другие комбинации из двух вариантов, но без варианта № 5, не отвечают условиям задачи.

3. При минимальном количестве использованных листов равном 56, суммарные отходы после разрезки всех 56 листов составят (см. таб. 1): 361 + 206 = 156 см, что равно 3,6 листа. Таким образом, отходы от 56 листов составят 6,43%.

Решение задачи №5

1. Находим работу силы за один оборот рукоятки вокруг оси винта:

2. Находим работу, затрачиваемую для поднятия груза на шаг резьбы винта, т. к. за один оборот рукоятки груз поднимается на шаг резьбы:

3. Приравниваем затраченные работы:

=

Решение задачи №6

Задача имеет несколько вариантов решения. Один из них представлен ниже.

 

Решение задачи №7

Решение задачи №8

1. Разность натяжений ветвей ленты равна силе, тормозящей шкив.

2. Момент силы сопротивления:
 
3. Угловая скорость шкива:

4. Мощность:

Решение задачи №9

Ежегодные расходы составляют арифметическую прогрессию.

тыс. р.

тыс. р.

, где эксплуатационные расходы

С учетом закупочной стоимости общие затраты за составили

Разделив на получим ежегодные затраты

Определим минимальное значение

 

т. к. , то

тыс. р.

Оптимальный срок эксплуатации 10 лет

Решение задачи №10

1. Определение силы трения:

2. Определение мощности:

2.1. Крутящий момент на ведомом шкиве:

2.2. Угловая скорость ведомого шкива:

2.3. Передаваемая мощность:

,

следовательно, мощности хватит.