Тест 3.
Сложение и умножение вероятностей.
1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей:
P(A+B)=P(A)+P(B)
2. Вероятность суммы двух произвольных событий равна сумме их вероятностей минус вероятность их произведения:
P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB)
Теорема произведения вероятностей. Условная вероятность.
P(AB)=P(A)∙
(B) , где
(B) – условная вероятность, т. е. вероятность события В, вычисленная в предположении того, что событие А уже наступило.
Для независимых событий:
P(AB)=P(A)∙
(B)
1. Изготовлено 300 деталей, из них 20 шт. имеют дефект α, причем 5шт. из этих 20-ти имеют также дефект β. Относительная частота появления детали с обоими дефектами равна … .
1) 1/20 2) 5/20 3) 5/300
2. Брошены 100 раз 2 игральные кости. При этом оказалось, что совпадение числа очков было 15 раз, а шесть очков, на обоих костях, выпало 4 раза. Условная частота выпадения двух шестерок составила … .
1) 4/15 2) 4//100
3. В урне 5 белых шаров и 2 черных. Из нее вынимают, не возвращая, один за другим 2 шара. Вероятность того, что они будут разных цветов, составляет… .
1) 5/21 2) 10/21 3) 2/7
4. В коробке 11 зеленых, 5 синих и 9 красных карандашей. Из коробки наудачу берут по одному три карандаша. Вероятность того, что эти три карандаша будут зелеными, если карандаши возвращают в коробку, будет равна… .
1) 0,/25 3) 11/75
5. В коробке 11 зеленых, 5 синих и 9 красных карандашей. Из коробки наудачу берут по одному три карандаша. Вероятность того, что эти три карандаша будут зелеными, если любой вынутый карандаш не возвращать в коробку будет равна… .
1) 0,,,0036
6. Деталь последовательно изготавливается на трех станках. Первый станок допускает брак с вероятностью 0,05, второй с вероятностью 0,03, третий с вероятностью 0,02. Вероятность получения годной детали составляет… .
1) 0,,,975
7. Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность бесперебойной работы первого станка 
=0,9, второго станка 
=0,8. Вероятность бесперебойной работы обоих станков составляет… .
1) 1,7 2) 0,72 3) 0,98
8. Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность бесперебойной работы первого станка =0,9, второго станка =0,8. Вероятность работы хотя бы одного из двух станков составляет… .
1) 1,7 2) 0,72 3) 0,98
9. Имеется 6 учебников, из которых 3 в переплете. Наудачу берут 2 учебника. Вероятность того, что оба взятых учебника окажутся в переплете составляет… .
1) 0,2 2) 0,3 3) 0,5 4) 0,4
10. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу выбирают 3-х человек. Вероятность того, что все отобранные будут мужчинами составит … .
1) 0,3 2) 3/7 3) 0,,4
11. В ящике 10 шаров, из которых 6 окрашенных. Наудачу извлекают 4 шара, не возвращая их. Вероятность того, что все вынутые шары окажутся окрашенными, составляет… .
1) 0,6 2) 0,,142
12. В ящике 4 красных и 2 синих шара. Из него наудачу берут три шара. Вероятность того, что все эти три шара – красные, равна… .
1) 0,2 2) 0,75 3) 0,3 4) 0,4
13. Из колоды 36 карт вытягивают одну за другой две карты (без возвращения 1ой в колоду). Вероятность того, что вторая карта будет такого же цвета равна… .
1) 17/35 2) 18/36 3) 16/36
14. В коробке имеется 6 одинаковых занумерованных шаров. Наудачу, по одному извлекают все шары, не возвращая. Вероятность того, что номера извлеченных шаров появятся в возрастающем порядке, составляет… .
1) 1//6 3) 1/36
15. Студент знает 20 вопросов из 25 вопросов по дисциплине. Ему предлагают 3 вопроса. Вероятность того, что студент знает их, составляет… .
1) 0,,8 3) 0,9
16. Из двух орудий стреляют один раз по одной цели. Вероятность попадания для первого p=0,9; для второго p=5/6. Вероятность того, что будут два попадания в цель, составляет… .
1) 0,75/60 3) 53/60
17. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 выбирается одна, а из оставшихся – вторая. Вероятность того, что первая цифра нечетная, составляет… .
1) 0,5 2) 0,3 3) 0,6
18. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 выбирается одна, а из оставшихся – вторая. Вероятность того, что оба раза выбрана нечетная цифра, составляет… .
1) 0,5 2) 0,3 3) 0,6
19. В урне 4 белых и 3 черных шара. Одновременно вынимают два шара. Вероятность того, что оба шара белые, составляет… .
1) 4/7 2) 1/2 3) 2/7
20. Бросают несколько игральных костей, при этом ожидают, что ни на одной из граней не появится 6 очков. Если вероятность этого ожидания принять меньше, чем 0,3, то одновременно надо бросить n костей… .
1) n≥7 2) n≥3 3) n≥5
21. В электрическую цепь включены последовательно 3 независимых элемента. Вероятности их отказов равны 0,1; 0,15 и 0,2. Вероятность того, что тока в цепи не будет (т. е. хотя бы один элемент откажет) составляет… .
1) 0,65 2) 0,,35
22. В коробке 3 красных (к) и 5 синих (с) карандашей. Вынимают наудачу 1 карандаш и возвращают в коробку. Опыт повторяют 4 раза. Вероятность, что карандаши вынут в последовательности КСКК составляет… .
1) 0,3 2) 0,,62
23. В коробке 3 красных (к) и 5 синих (с) карандашей. Вынимают наудачу 1 карандаш и возвращают в коробку. Опыт повторяют 4 раза. Вероятность, что карандаши вынут в последовательности ССКС составляет… .
1) 0,0,27 3) 0,12
24. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по одной цели. Вероятности попадания в цель составляют: для 1-го стрелка =0,6; для 2-го =0,8; для 3-го 
=0,9. Вероятность того, что все три стрелка попадут в цель, составляет… .
1) 0,,,720
25. Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность промаха для 1-го выстрела 0,2; для 2-го - 0,3; для 3-го - 0,4. Вероятность того, что он промахнется все три раза, составляет... .
1) 0,2 2) 0,,576
26. Стрелок выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность промаха для 1-го выстрела 0,2; для 2-го - 0,3; для 3-го - 0,4. Вероятность того, что он попадет 2 раза из 3-х выстрелов, составляет... .
1) 0,0,,27
27. На стеллаже библиотеки в случайном порядке стоят 15 книг, причем 5 их них в переплете. Берут наудачу 3 книги. Вероятность того, что хотя бы одна из взятых книг окажется в переплете, составляет… .
1) 2/91 2) 45/91 3) 0,736
28. Бросают 3 кубика сразу. Вероятность того, что выпадут 3 шестерки, составляет… .
1) 1/6 2) 1/36 3) 1/216
29. Бросают кубик последовательно 3 раза; после 2-х бросания выпало: 6 – 1ый раз и 6 – 2ой раз. Вероятность того, что еще раз выпадет 6 очков, составляет… .
1) 1/36 2) 1//6
30.На 8 карточках написаны буквы, образующие слово КАРАНДАШ. Последовательно наудачу выбирают 4 карточки. Вероятность того, что получилось слово КАША, составляет… .
1) 1///10
31.На восьми карточках написаны буквы, образующие слово ШАРАДА. Последовательно наудачу выбирают 3 карточки. Вероятность того, что получилось слово ДАР, составляет… .
1) 3/6 2) 1/6 3) 1/40
Тест № | Пояснение | Ответ |
1. | Вероятность того, что уже есть дефект α: P(α)=20/300. Из этих 20шт. есть дефект β у 5шт.; т. е. | 1/60 |
2. | Вероятность того, что выпали две одинаковые цифры очков: Р(α)=15/100. Из этих 15 раз две шестерки выпали 4 раза, т. е. | 1/25 |
3. | Пусть событие А – шары разных цветов; оно распадается на сумму двух несовместных событий: А+В=С, где В – 1ый шар белый, а второй черный; С - 1ый шар черный, а второй белый. Р(В)=5/7∙2/6=5/21;Р(С)=2/7∙5/6=5/21;Р(А)=Р(В)+Р(С)=10/21 | 10/21 |
4. | Всего 25 карандашей, из них 11 зеленых, берут 3 карандаша, если карандаши возвращать, то: р=11/25∙11/25∙11/25= | 0,085 |
5. | Если карандаши не возвращать, то изменяется их количество и вероятность будет: р=11/25∙10/24∙9/23≈0,072 | 0,072 |
6. | Изготовление деталей на разных станках – независимые события. Вероятность, что деталь будет годной равна: р(А)= | 0,903 |
7. | Работа станков – независимые события, т. е.: р(А)= | 0,72 |
8. | р(А)= | 0,98 |
9. | Событие А – первый взятый учебник имеет переплет: р(А)=3/6=1/2. Событие В – второй взятый учебник имеет переплет (при условии, что событие А уже произошло): р(В)=2/5, тогда р(АВ)=р(А)∙ | 0,2 |
(β)=5/20 по теореме произведения вероятностей: Р(α∙β)=Р(α)∙Р(β)=20/300∙5/20=1/60
(β)=15/100∙4/15=0,04
≈ 0,085
∙
(В)=1/2∙2/5=1/5=0,210. | Событие А – отобран первый мужчина из 10 человек, вероятность этого события: р(А)=7/10. Событие В – отобран второй – тоже мужчина: | 0,292 |
11. | Р(АВСD)=6/10∙5/9∙4/8∙3/7=1/14≈0,071 | 0,071 |
12. | Р(АВС)=4/6∙3/5∙2/4=1/5=0,2 | 0,2 |
13. | Когда вынимают первую карту, то вероятность этого события р(А)=1, т. к. безразлично какого цвета она будет. Вероятность вынуть 2-ю карту такого же цвета (красную или черную) равна: р(А)=17/35, т. е. р(А)=1∙17/35=17/35 | 17/35 |
14. | р=1/6∙1/5∙1/4∙1/3∙1/2=1/720 | 1/720 |
15. | р=(АВС)=20/25∙19/24∙18/23=57/115≈0,495 | 0,495 |
16. | Здесь р(А)=0,9; р(В)=5/6. Два попадания – независимые события. Вероятность определяется по формуле: р(АВ)=р(А)∙р(В)=0,9∙5/6=3/4=0,75 | 0,75 |
17. | Вероятность того, что первая цифра будет нечетной: р=3/5=0,6 | 0,6 |
18. | Вероятность того, что оба раза будет нечетная цифра: р=3/5∙2/4=0,3 | 0,3 |
(В)=6/9 – вероятность при условии А. Событие С – третий отобранный – тоже мужчина: 
(С)=5/8 – вероятность при условии А и В. По формуле для независимых событий: р(АВС)=р(А)∙
(С)=7/10∙6/9∙5/8=7/24≈0,29219. | Пусть С – событие, когда оба шара белые, т. е. С=А∙В, где А – 1ый шар белый и В – 2ой шар белый; тогда р(А)=4/7. Надо найти | 2/7 |
20. | Вероятность того, что на грани кубика не появиться число 6 составляет р( | n≥7 |
21. | Безотказная работа 1го элемента → р=1-0,1=0,9; 2го → р=0,85; 3го → р=0,8 Элементы независимы, т. е. вероятность безотказной работы: р(1,2,3)=0,9∙0,85∙0,8=0,612 Вероятность отказа: q=1-р=1-0,612=0,388 | 0,388 |
22. | Всего 8 карандашей. Вероятность вынуть красный р(к)=3/8, синий р(с)=5/8. События вытаскивания карандашей независимы, т. е. р(кскк)=3/8∙5/8∙3/8∙3/8=135/4096≈0,033 | 0,033 |
23. | р(сскс)=5/8∙5/8∙3/8∙5/8=375/4096≈0,0915 | 0,0915 |
24. | Вероятность, что все три стрелка попадут в цель равна: р(АВС)=р(А)∙р(В)∙р(С)=0,6∙0,8∙0,9=0,432 | 0,432 |
25. |
| 0,024 |
(В), т. е. вероятность того, что второй шар – белый при условии, что 1ый шар взят тоже белый. 
(В)=4/7∙3/6=2/7
)=5/6. Так как события выпадения очков независимы, то применима теорема умножения вероятностей, т. е. р=
<0,3 → n∙
<
n>6,6, т. е. число игральных костей должно быть n≥7
=0,2; 
=0,8, тогда 
=0,7, 
=0,6 Промахнется три раза. Эти события независимы, т. е. 26. | Попадание 2 раза распадается на следующие возможные: | 0,452 |
27. | Пусть событие А – взята книга в переплете. Это событие осуществиться, если произойдет любое из следующих 3х несовместимых событий: Событие В - взяли одну книгу в переплете; Событие С – две книги в переплете; Событие D – три книги в переплете; Тогда вероятность события А будет: Р(А)=р(В)+р(С)+р(D) Вычислим эти вероятности: Р(В)= где Р(С)= Р(D)= Тогда: р(А)=45/91+20/91+2/91=67/91≈0,736 | 0,736 |
28. | Это независимые события, поэтому: р=1/6∙1/6∙1/6=1/216≈0,0046 | 1/216 |
29. | Шесть выпало уже два раза подряд, т. е. это событие уже осуществилось и оно не может повлиять на результат 3го бросания, поэтому: р=1/6 | 1/6 |
∙
∙
- 1ый раз – попал; 2ой раз – попал; 3ий раз – промах ; Аналогично 
∙
и 
∙
∙ 
=45/91,
– число способов, которыми можно взять остальные 2 книги из общего числа книг без переплета.
∙ 
=20/91,
=2/91,30. | Вероятность того, что первой выбрана буква К, составляет р=1/8 и т. д. р(КАША)=1/8∙3/7∙1/6∙2/5=1/280 | 1/280 |
31. | Вероятность того, что первой выбрана буква Д, составляет р=1/6 и т. д. р(ДАР)=1/6∙3/5∙1/4=1/40 | 1/40 |
