§ 4. Неравенства
Пример 4.1. Пусть a, b - длины катетов, c – длина гипотенузы прямоугольного треугольника. Тогда для всех натуральных чисел n ³ 2 имеет место неравенство
(4.1)
Теорема 1. Из теоремы Пифагора следует равенство a 2 + b 2 = c 2.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть дано, что неравенство (4.1) выполняется при n = k, 
,
т. е. верно 
. Тогда неравенство (4.1) выполняется при n = k +1: 
.
Действительно: 
. Теорема 2 доказана.
Из доказанной теоремы 1 и теоремы 2 следует, что неравенство (4.1) выполняется для любого натурального n ³ 2.
Пример 4.2. Доказать, что, если 
, то
. (4.2)
Теорема 1. При n = 1 имеем:
Левая часть неравенства (4.2): 
;
Правая часть неравенства (4.2): 
. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть дано, что неравенство (4.2) выполнено при n = k: 
. Тогда оно верно для n = k +1: 
.
Действительно, так как 
, то
.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.2) выполняется для любого натурального n.
Замечание 1.
Из курса математического анализа известно, что последовательность 
имеет конечный предел, который называют числом e:
.
Из свойств числовой последовательности следует:
. (4.2.1)
Доказать,
что последовательность 
монотонно возрастает, а последовательность 
монотонно убывает.
Доказательство. Последовательность 
монотонно возрастает, если 
. То есть нам нужно
доказать неравенство: 
. (4.2.2)
Последовательность 
монотонно убывает, если 
. То есть нам нужно
доказать неравенство 
. (4.2.3)
Докажем неравенство (4.2.2) :
. 
.
Аналогично можно доказать неравенство (4.2.3):
. 
.
Так как последовательность 
строго монотонно возрастает, а последовательность 
строго монотонно убывает, то, учитывая равенства (4.2.1), получим следующее
неравенство: 
. (4.2.4)
Замечание 2. Докажем неравенство (4.2.2) методом математической индукции. Прежде заметим, что это неравенство равносильно такому неравенству
. (4.2.2.1)
Теорема 1. При 
имеем: 
.
Теорема 2. Дано. Неравенство (4.2.2.1) выполняется при n = k:
. Нужно доказать выполнение неравенства (4.2.2.1) при
n = k + 1: 
.
Доказательство. 
. Теорема 2 доказана.
Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.2.2.1) выполняется для любого натурального n.
Пример 4.3. Доказать неравенство
(4.3)
где 
, - числа одного и того же знака, большие -1.
Теорема 1. При имеем: 
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано. Неравенство (4.3) выполняется при n = k:
.
Нужно доказать выполнение неравенства (4.3) при n = k + 1:
.
Доказательство.
.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.3) выполняется для любого натурального n.
Пример 4.4. Доказать неравенство
. (4.4)
Теорема 1. При n = 1: 
. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано. При n = k: 
Нужно доказать: 
Доказательство. 
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.4) выполняется для любого натурального n.
Пример 4.5. Доказать неравенства:
; (4.5.1)
. (4.5.2)
Докажем неравенство (4.5.1).
Теорема 1. При n = 2: 
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано. При n = k: 
Нужно доказать 
Доказательство. 
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.5.1) выполняется для любого натурального 
.
Докажем неравенство (4.5.2).
Теорема 1. При n = 2: 
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано. Неравенство (4.5.2) выполняется при n = k:
Нужно доказать, что оно выполняется при
n = k + 1: 
Доказательство. 
.
Остаётся доказать неравенство 
, которое равносильно:
. Последнее неравенство следует из неравенства и равенства 
.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.5.2) выполняется для любого натурального .
Заметим, что 
.
Пример 4.6. Доказать неравенство
. (4.6)
Теорема 1. При n = 3: 
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано, что при n = k выполняется неравенство 
.
Нужно доказать выполнение неравенства 
.
Доказательство. Так как , то 
. Умножая последнее неравенство на положительное число 
, получим следующую цепочку равенств и неравенств:
. Теорема 2 доказана.
Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.6) выполняется для любого натурального n большего или равного 3.
Пример 4.7. Доказать неравенства:
; (4.7.1)
; (4.7.2)
; (4.7.3)
; (4.7.4)
. (4.7.5)
Докажем неравенство (4.7.1).
Теорема 1. При n = 1 имеем: 
. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано, что неравенство (4.7.1) справедливо при n = k: 
.
Докажем, что это неравенство выполняется при n = k+1: 
.
Доказательство. 
Умножим и разделим на число 
Промежуточные вычисления:
.
.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.7.1) выполняется для любого натурального n.
Докажем неравенство (4.7.2).
Теорема 1. При n = 2:
Левая часть неравенства (4.7.2): 
;
Правая часть неравенства (4.7.2): 
.
Так как 2 < 2,25, то теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано, что неравенство (4.7.2) выполняется при n = k: 
. Нужно доказать, что оно выполняется при n = k+1:
.
Доказательство. 
Умножим и разделим на число 
Докажем, что выполняется неравенство 
.
.
.
.
.
Теорема 2 доказана.
Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.7.2) выполняется для любого натурального n большего или равного 2.
Докажем неравенство (4.7.3).
Теорема 1. При n = 3: Левая часть неравенства (4.7.3): 
.
Правая часть неравенства (4.7.3): 
.
Так как 
, то теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано, что неравенство (4.7.3) выполняется при n = k: 
. Нужно доказать, что оно выполняется при n = k+1: 
.
Доказательство.
В примере (4.6) доказано неравенство 
Из этого неравенства следует: 
Тогда при n = k имеем:
.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.7.3) выполняется для любого натурального n большего или равного 3.
Докажем неравенство (4.7.4).
Теорема 1. При n = 3: Левая часть неравенства (4.7.4): 
;
Правая часть неравенства (4.7.4): 
.
Так как 6 > 4, то теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано, что неравенство (4.7.4) выполняется при n = k: 
. Нужно доказать, что оно выполняется при n = k+1: 
.
Доказательство. 
.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.7.4) выполняется для любого натурального n большего или равного 3.
Докажем неравенство (4.7.5).
Теорема 1. При n = 1 имеем: 
. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано, что неравенство (4.7.5) справедливо при n = k: 
. Нужно доказать, что оно выполняется при n = k+1:
.
Доказательство. Докажем левую часть этого неравенства.
.
Докажем правую часть неравенства (4.7.5).
. Теорема 2 доказана.
Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.7.5) выполняется для любого натурального n.
Заметим, что, используя неравенство (4.7.2) и неравенство 
при
n>1, получим: 
.
Пример 4.8. Доказать неравенства:
; (4.8.1)
.
(4.8.2)
Докажем неравенство (4.8.1).
Теорема 1. При n = 1 имеем:
. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано, что неравенство (4.8.1) справедливо при n = k:
.
Нужно доказать, что оно выполняется при n = k+1:
.
Доказательство.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.8.1) выполняется для любого натурального n.
Докажем неравенство (4.8.2).
Теорема 1. При n = 1 имеем: 
. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано, что неравенство (4.8.1) справедливо при n = k:
.
Нужно доказать, что оно выполняется при n = k+1:
.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.8.2) выполняется для любого натурального n.
Пример 4.9. Доказать неравенство
(4.9)
Теорема 1. При n = 6: 
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано, что выполняется неравенство 
. Нужно доказать выполнение неравенства
.
Доказательство. При 
имеем:
.
Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.2) выполняется для любого натурального 
.
Пример 4.10. Доказать, что при любом натуральном n имеет место
неравенство: 
. (4.10)
Теорема 1. При n = 1: 
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано, что при n = k выполняется неравенство 
.
Нужно доказать выполнение неравенства 
.
Доказательство. 
. Теорема 2 доказана.
Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.10) выполняется для любого натурального n.
Пример 4.11. Доказать, что при любом натуральном n имеет место
неравенство 
. (4.11)
Обозначим через 
.
Теорема 1. При n = 1: 
. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Дано, что при n = k выполняется неравенство
. Нужно доказать выполнение неравенства
.
Доказательство.
.
Неравенство “ > 0 ” следует из того, что
. Теорема 2 доказана.
Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что неравенство (4.11) выполняется для любого натурального n.
Литература. Содержание
