Программа дисциплины «Методы некоммутативного анализа»

Правительство Российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"

Факультет прикладной математики и кибернетики

Программа дисциплины «Методы некоммутативного анализа»

для специальности 230401.65 «Прикладная математика» подготовки специалиста

Автор программы:

, д. ф.-м. н., профессор, *****@***ru.

Одобрена на заседании кафедры прикладной математики «29» июня 2012 г.

Зав. кафедрой

Рекомендована секцией УМС [Введите название секции УМС] «___»____________ 20 г

Председатель [Введите ]

Утверждена УС факультета [Введите название факультета] «___»_____________20 г.

Ученый секретарь [Введите ] ________________________ [подпись]

Москва, 2012

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

2  Область применения и нормативные ссылки

Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов специальности 230401.65 «Прикладная математика», обучающихся по специализации «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач», изучающих дисциплину «Методы некоммутативного анализа».

Программа разработана в соответствии с:

·  ГОС 230401 Прикладная математика.65 инженер-математик;

·  Образовательной программой 230401.65 «Прикладная математика».

·  Рабочим учебным планом университета по специальности230401.65 «Прикладная математика», специализации «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач», утвержденным в 2012 г.

3  Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины является формирование перечисленных ниже компетенций, а также ознакомление студентов с современной теорией функций от некоммутирующих операторов и ее приложениями в различных областях математики и математической физики.

4  Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

·  Знать:

- определения функций от некоммутирующих операторов (матриц и неограниченных

операторов);

- основные формулы операторного исчисления;

- метод усреднения для систем дифференциальных уравнений и квантовый метод

усреднения.

·  Уметь:

- использовать операторные методы для решения некоторых задач, возникающих в

теории дифференциальных уравнений и математической физике.

·  Иметь навыки (приобрести опыт):

- применения методов усреднения для линейных и нелинейных систем, в том числе

гамильтоновых.

5  Место дисциплины в структуре образовательной программы

Настоящая дисциплина относится к циклу «Дисциплины специализации».

Для специализации «Применение математических методов к решению инженерных и экономических задач» настоящая дисциплина является базовой.

Изучение данной дисциплины базируется на следующих дисциплинах:

-  Математический анализ.

-  Линейная алгебра и аналитическая геометрия.

-  Функциональный анализ.

-  Уравнения в частных производных.

Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении дисциплины «Математические модели наноструктур».

6  Тематический план учебной дисциплины

№	Название раздела	Всего часов	Аудиторные часы	Самостоя­тельная работа
Лекции	Семинары	Практические занятия
1	Функции от некоммутирующих операторов	25	10	7	7	8
2	Формулы операторного исчисления	26	11	7	7	8
3	Операторы регулярного представления	21	8	6	6	7
4	Метод усреднения	31	14	8	8	9
5	Возмущение спектра	22	8	6	6	8

7  Формы контроля знаний студентов

Тип контроля	Форма контроля	5-й курс
1-й семестр	2-й семестр	Параметры **
Текущий (неделя)	Домашнее задание	12-я - 15-я недели		Самостоятельная письменная работа, выполняется в течение трёх недель
Домашнее задание		10-я - 12-я недели	Самостоятельная письменная работа выполняется в течение двух недель
Промежу­точный	Экзамен	В конце семестра		Устный экзамен
Итоговый	Экзамен		В конце семестра	Устный экзамен

7.1  Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале. Сдача студентом экзамена оценивается по десятибальной системе в соответствии со знаниями и навыками, проявленными студентом на экзамене, а также с учетом выполнения домашних заданий.

8  Содержание дисциплины

1.  Раздел 1 Функции от некоммутирующих операторов

Основные свойства функций от матриц. Функции от неограниченных операторов.

Количество часов аудиторной работы – 17 часов.

2.  Раздел 2. Формулы операторного исчисления

Формула Ньютона. Формула дифференцирования. Формулы коммутации. Формула для сложной функции.

Количество часов аудиторной работы – 18 часов.

3.  Раздел 3. Операторы регулярного представления

Определение регулярного представления. Решение уравнений с помощью регулярного

представления.

Количество часов аудиторной работы – 14 часов.

4.  Раздел 4. Метод усреднения

Общая алгебраическая схема. Линейные системы. Нелинейные обыкновенные

уравнения. Квантовые уравнения.

Количество часов аудиторной работы – 22 часов.

5.  Раздел 5. Возмущение спектра

Вполне интегрируемые системы. Возмущенный осциллятор. Возмущенный атом

водорода.

Количество часов аудиторной работы – 14 часов.

9  Образовательные технологии

Рекомендуемые образовательные технологии:

– чтение лекций

– проведение практических занятий

– проведение экзамена.

Аудиторные занятия проводятся в форме лекций и практических занятий. Во время проведения практических занятий широко используются активные и интерактивные формы (обсуждение отдельных разделов дисциплины и методов решения задач, предложенных преподавателем; выбор вариантов задач в рамках конкретных тем домашних заданий).

Для обеспечения интерактивного и непрерывного учебного процесса, в качестве образовательных технологий широко используются коммуникационные средства, предоставляемые сетью «Интернет», в частности, студентам обеспечивается доступ к современной научной литературе в рамках изучаемого курса, осуществляется информационный обмен посредством электронной почты.

Самостоятельной работой студентов является выполнение домашних заданий.

10  Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

10.1  Тематика заданий текущего контроля

10.2  Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Примерный перечень вопросов к промежуточному и итоговому экзаменам.

7 семестр

Функции от матриц. Функции от одного оператора в банаховой шкале. Функции от нескольких операторов в банаховой шкале. Теоремы о раздвигании индексов и выделении множителя. Формула Ньютона. Непрерывность функции от оператора в банаховой шкале. Формула дифференцирования по параметру. Разложение в ряд теории возмущений f(A+eB) (с примерами: f(x)=exp(itx), f(x)=1/x). Псевдодифференциальные операторы. Формула квазикоммутации и формула коммутации с экспонентой. Формула коммутации с экспонентой. Разложение в асимптотический ряд. Второй вариант формулы коммутации с экспонентой. Формулы коммутации и изменения порядка действия операторов. Контрпример № 1. Контрпример № 2. Контрпримеры № 3, 4. Формула для сложной функции. Функция от суммы операторов. Формула Вейля. Экспонента от суммы двух операторов. Асимптотика решения задачи Коши для псевдодифференциального оператора (n=1). Асимптотика решения задачи Коши для уравнения Шредингера. Формула Кэмпбелла-Хаусдорфа. Алгебры Ли и группы Ли (как пример к формуле Кэмпбелла-Хаусдорфа). Некоммутативные произведения функций. Пример: псевдодифференциальные операторы. Операторы регулярного представления. Операторы регулярного представления для алгебр Ли.

8 семестр

Построение усредняющего преобразования и усредненного оператора в случае эрмитовых матриц. Метод усреднения для линейных систем дифференциальных уравнений. Метод усреднения для нелинейных систем дифференциальных уравнений в случае, когда все решения невозмущенной системы периодические. Метод усреднения для гамильтоновых систем при условии периодичности. Метод усреднения для псевдодифференциальных операторов. Алгебра симметрий su(2) гамильтониана двумерного осциллятора. Представление Швингера. Применение метода усреднения к задаче о двумерном осцилляторе с возмущением. Операторы рождение A+, уничтожение A-, и когерентные состояния алгебры su(2). Спектр оператора A3 . Разложение собственных векторов гамильтониана двумерного осциллятора по когерентным состояниям. Операторы антигоморфного представления алгебры su(2). Решение усредненной спектральной задачи для двумерного осциллятора с возмущением методом когерентного преобразования. Явное вычисление когерентных состояний в представлении Швингера. Сингулярный осциллятор и алгебра su(1,1). Операторы рождение A+, уничтожение A-, и когерентные состояния алгебры su(1,1). Спектр оператора A3 . Когерентные состояния для алгебры su(1,1).

11  Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1  Базовый учебник

, Операторные методы, М., Наука, 1973.

11.2  Основная литература

1.  М. Спивак и др. Математический анализ на многообразиях. СПб. «Лань». 2005.

2.  В. Назайкинский, Б. Стернин, В. Шаталов. Методы некоммутативного анализа. М: «Техносфера». 2002.

3.  , , Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование, М., Наука, 1991.

11.3  Дополнительная литература

1.  , Задачник по операторным методам, М., МИЭМ, 1979.

2.  , Основы функционального анализа, М., Мир, 1974.

3.  , , Рассеяние, реакции, распады в нерелятивистской квантовой механике, М., Наука, 1971.

4.  Геометрические асимптотики, М., Мир, 1981.

5.  , Математические методы классической механики, М., Наука, 1974.

6.  , Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., Наука, 1976.

7.  , , Нелинейные скобки Пуассона. Геометрия и квантование, М., Наука, 1991.

8.  , , Представление точных и квазиклассических собственных функций через когерентные состояния. Атом водорода в магнитном поле. Теор. и матем. физика, т. 108, N 3, 1996, 339-387.

9.  , Метод усреднения, Методические указания, МИЭМ, Москва, 1999.

11.4  Справочники, словари, энциклопедии

11.5  Программные средства

1.  программное обеспечение:

Wolfram MATHEMATICA, Maple, Mathcad, MATLAB.

2.  базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:

Zentralblatt Math database, Math Search, ., www. *****, www. /science, www. *****, wbooks. *****, *****, .

11.6  Дистанционная поддержка дисциплины

12  Материально-техническое обеспечение дисциплины

Традиционная аудитория с аудиторной доской.