Синтез ПИД-регулятора для управления курсом судна с учетом модальных требований

УДК 681.51

(Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург)

Синтез ПИД-регулятора для управления курсом судна с учетом модальных требований

Изучается проблема синтеза регуляторов низкого порядка с учетом модальных требований. Предлагается вычислительный подход для синтеза ПИД-регулятора движением судна по заданному курсу с учетом требований к качеству динамики переходных процессов при наличии ограничений по расположению корней характеристического полинома замкнутой линейной системы..

Введение

Несмотря на широкие возможности, доступные в настоящее время для разработки линейных систем автоматического управления, исследования в данной области активно ведутся, что отражается в большом количестве работ, посвященных как изучению незакрытых проблем, так и поиску новых, более эффективных или простых, подходов к решению уже достаточно полно изученных задач. В частности, актуальным остается изучение вопросов, связанных с синтезом простых регуляторов, таких как пропорционально - интегрирующие - дифференцирующие регуляторы. Такие регуляторы являются достаточно понятными и простыми в реализации и часто позволяют достичь требуемого качества динамических процессов в замкнутой системе, поэтому остаются популярными для применения на практике. Они имеют фиксированную структуру и пониженный порядок в том смысле, что коэффициентов, которые их определяют, недостаточно для произвольного назначения корней характеристического полинома замкнутой системы. Указанные особенности часто приводят к сложностям при выборе коэффициентов в управлении, поскольку в такой задаче обычно нет однозначного решения, и не всегда могут быть обеспечены заданные свойства замкнутой системы. Существуют разные подходы для поиска параметров в управлении в таких задачах, обычно сводящиеся к применению различных численных процедур и не гарантирующие успешного решения [3]. Важной остается проблема построения таких регуляторов с учетом заданных требований и критериев качества. В работе предлагается вычислительный подход, базирующийся на выборе коэффициентов закона управления на основе решения специальной оптимизационной задачи с размещением части собственных чисел матрицы замкнутой системы в заданной области.

Основная часть

Постановка задачи

Рассмотрим линейную стационарную систему

(1)

где – вектор состояния, – вектор управлений, и – заданные матрицы с постоянными компонентами, пара – вполне управляема.

Будем считать, что при формировании управления может использоваться только часть переменных состояния

(2)

где – вектор переменных состояния, используемых при формировании управления, причем , – заданная матрица с постоянными компонентами.

Управление будем формировать в виде обратной связи по вектору :

, (3)

где – неизвестная матрица с постоянными компонентами.

Вводя обозначение , можно представить управление в виде .

Матрица имеет заданную структуру, и ее компоненты зависят от параметров , ,…,, , задающих матрицу .

Подставляя управление (3) в систему (1) с учетом(2), получим замкнутую систему

. (4)

Объединим в вектор все неизвестные параметры , ,…, в управлении и сформируем характеристический полином матрицы замкнутой системы (4)

. (5)

Будем предполагать, что коэффициенты полинома линейно зависят от параметров , ,…,.

Управление (3) должно обеспечивать асимптотическую устойчивость замкнутой системы и выполнение каких-либо дополнительных требований, накладываемых на ее динамические свойства. Поскольку характеристики переходных процессов замкнутой системы зависят от расположения собственных чисел, при выборе параметров в управлении часто требуется, чтобы собственные числа не просто имели отрицательные вещественные части, а лежали в заданной области на комплексной плоскости. Некоторые типы областей, отражающих модальные требования, предъявляемые к замкнутой системе, представлены на рис.1.

Рис. 1.

Будем считать, что в рамках данной работы требуется при заданной структуре управления найти такие его параметры, которые обеспечивали бы принадлежность корней характеристического полинома замкнутой системы одной из представленных областей. При этом среди всех возможных векторов , при которых собственные числа лежат в желаемой области, выбирается такой, который обеспечивает наилучшее качество функционирования замкнутой системы в заданном смысле.

Поскольку варьируемых параметров меньше, чем собственных чисел замкнутой системы, не всякий их набор может задаваться каким-либо вектором . Если выбираемых параметров всего два, можно воспользоваться методом -разбиений для того, чтобы выделить на плоскости изменения параметров и допустимые множества, соответствующие тем их значениям, которые обеспечивают принадлежность собственных чисел замкнутой системы (4) заданной области. В ситуациях с большим количеством параметров выделение и описание множества параметров, соответствующих собственным числам из желаемой области, для непосредственного использования при выборе параметров управления, обычно слишком трудоемко или невозможно. В этом случае задача может решаться на основе различных оптимизационных процедур, в рамках которых тем или иным образом собственные числа сдвигаются в заданную область комплексной плоскости [3],[4].

В данной работе рассматривается вычислительный подход, сводящийся к поиску неизвестных коэффициентов в управлении как решения специальной оптимизационной задачи, в рамках которой их значения выбираются так, чтобы собственных чисел лежали в рассматриваемой области на комплексной плоскости, а остальные собственных чисел , ,…, полинома (5) замкнутой системы совпадали с назначаемыми в ней значениями.

Методика синтеза регулятора пониженного порядка с учетом

модальных требований

Зададим произвольный полином степени , коэффициенты которого однозначно определяются его корнями:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях полинома и полинома замкнутой системы (4), получим следующие соотношения

, (6)

где , постоянные матрица и вектор определяются коэффициентами полинома и имеют размеры соответственно и , .

Собственными числами замкнутой системы могут быть только корни полинома с вектором коэффициентов , обеспечивающим совместность линейной системы (6).

Известно, что можно ввести параметризацию коэффициентов полинома степени таким образом [1], чтобы его корни для любых вещественных значений параметров принадлежали одной из областей, представленных на рис.1. Приведем теорему, в которой описывается способ введения параметризации, соответствующий первой из рассматриваемых областей:

Теорема 1 [1].  Для любого вектора степень устойчивости полинома

не меньше наперед заданной величины , и обратно, если степень устойчивости некоторого полинома не меньше величины , то можно указать такой вектор , что справедливо тождество , где

,

, ,

.

Если вектор состояния полностью доступен для измерения, то для любого вещественного набора параметров в коэффициентах характеристического полинома замкнутой системы, введенного в соответствии с такой параметризацией, его корни будут лежать в желаемой области. Если при этом управление должно обеспечивать выполнение каких-то дополнительных требований, накладываемых на динамику замкнутой системы, поиск коэффициентов в обратной связи следует осуществлять, перебирая различные значения параметров в коэффициентах. Выбор подходящих значений может выполняться на основе оптимизационной процедуры, предполагающий минимизацию некоторого функционала, отражающего требования, предъявляемые к системе, на множестве всех вещественных значений параметров .

Поскольку в рассматриваемой ситуации варьируемых параметров меньше, чем собственных чисел, которые при правильном выборе параметров должны оказаться в заданной области, ввести параметризацию коэффициентов характеристического полинома замкнутой системы указанным способом невозможно.

Используем рассмотренный способ параметризации для того, чтобы выделить те полиномы вида , которые будут иметь корней в желаемой области. Для этого представим задаваемый полином с назначаемыми корнями в желаемой области как произведение

,

где ­ полином степени , который формируется в соответствии с указанной параметризации для вектора параметров , то есть имеющий корни в желаемой области, а ­полином степени с произвольными коэффициентами. Теперь для каждого заданного набора параметров выберем оставшиеся параметров таким образом, чтобы система (6) была совместна, то есть выполнялось условие

.

Для этого, считая вектор коэффициентов полинома зависимым от коэффициентов полинома в соответствии с соотношением (6), выразим через фиксированный рассматриваемый набор вектор

, (7)

исключая из системы (6) уравнений.

Теперь, подставив коэффициенты в виде (7) в оставшиеся уравнения системы (6), ее можно однозначно разрешить относительно вектора .

Представление (7) может быть получено только для таких наборов , которые могут быть обеспечены посредством обратной связи (3). Если для некоторого набора представление (7) может быть получено, то характеристический полином замкнутой системы (4) при учете (7) будет иметь набор корней, состоящий из корней полинома для и полинома с коэффициентами , полученными после подстановки вектора в (7).

Оптимизационную процедуру для поиска параметров в управлении следует организовывать на множестве всех значений параметров , вводя ограничение на выход собственных чисел из заданной области. В таком случае допустимым решением может быть только вектор , для которого представление (7) определено, и собственные числа замкнутой системы принадлежат заданной области. Оптимизация может выполняться и при использовании для имитационного моделирования нелинейной модели объекта управления.

Построение ПИД - регулятора для управления курсом судна

Применим предложенную схему при выборе коэффициентов ПИД - управления курсом судна . Такой закон управления является традиционным и характеризуется наличием интегрирующей составляющей, за счет включения которой в обратную связь обеспечивается астатизм по контролируемой переменной [2],[5].

Будем использовать математическую модель вида

,

,

и уравнение динамики привода вертикального руля

где – угол курса, – угловая скорость по курсу, – угол дрейфа, – угол отклонения вертикальных рулей, и – возмущения, – управление, коэффициенты , , , , и при фиксированной скорости хода постоянны.

Управление представляется в виде

. (8)

Вводя вспомогательную переменную , составим математическую модель замкнутой системы

,

,

(9)

Составим вектор и сформируем характеристический полином матрицы замкнутой системы (9)

.

Таким образом, количество варьируемых коэффициентов в управлении , а собственных чисел на единицу больше, и выбрать коэффициенты в управлении так, чтобы гарантировать совпадение собственных чисел с заданными значениями на комплексной плоскости, невозможно.

Параметры , , и входят в коэффициенты полинома линейно, поэтому можно перейти к системе (6):

, (10)

где , постоянные матрица и вектор определяются коэффициентами , , , , и , и имеют размеры соответственно и , .

Зададим в качестве желаемой области, в которую следует переместить собственные числа замкнутой системы, следующую

,

где – заданное вещественное число, характеризующее степень устойчивости замкнутой системы.

Составим полином в соответствии с теоремой 1

,

для любых вещественных значений его корнями являются комплексные числа, лежащие в области , и , где – оставшееся собственное число замкнутой системы (9).

Найдем вектор коэффициентов полинома , подставим его в систему (10). Она может быть совместна, только если существуют значения , , и , соответствующие заданным значениям , определяющим полином , и для таких значений последний корень характеристического уравнения зависим от компонент вектора в соответствии с системой. Найдем эту зависимость , обеспечивая совместность системы (10) и исключая из нее одно из уравнений. Подставляя представление в оставшиеся уравнения, однозначно определяем из них вектор , который соответствует управлению (8), обеспечивающему совпадение четырех собственных чисел замкнутой системы (9) с корнями полинома в области . Для того, чтобы выбрать вектор так, чтобы последний корень также принадлежал области , найдем его, как решение оптимизационной задачи

рассматривая только те значения вектора , для которых может быть определена зависимость для корня полинома .

Для того чтобы учесть дополнительные требования к качеству динамики соответствующих переходных процессов, характеризуемые функционалом , перейдем к оптимизационной задаче

где - весовой коэффициент.

Найдем в соответствии с описанным способом коэффициенты в управлении (8) для модели судна, описываемой коэффициентами , , , , и , при заданных возмущениях и . С помощью функционала опишем “коридор”, из которого не должна выходить функция при успешном выборе управления. Моделирование проведем в тестовом режиме при учете ограничений и при повороте по курсу на заданный угол . Полученный график изменения переменной показан на рис. 2.

Рис.2. Моделирование изменения курса при стабилизации на заданном значении.

Заключение

В работе представлена методика синтеза закона управления, характеризуемого тем, что варьируемых параметров в обратной связи используется меньше, чем собственных чисел замкнутой системы, с частичным заданием собственных значений в желаемой области. Используемый вычислительный подход может служить в качестве альтернативы другим алгоритмам для поиска параметров при синтезе закона управления в подобной ситуации.

Предложенный вычислительный подход использован при синтезе астатического закона управления курсом судна (ПИД - управления), обеспечивающего заданные требования к качеству переходного процесса в замкнутой системе с учетом модального ограничения, определяемого заданной степенью устойчивости замкнутой системы.

ЛИТЕРАТУРА

1.  Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами с неполной информацией // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика. — 1986. — № 4. — С.123–130.

2.  Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов // [и др.] — СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2002. — 370 с.

3.  Краткий обзор методов синтеза регуляторов пониженного порядка // Сборник научных трудов НГТУ. – 2010. – № 4(62). –С. 25–34.

4.  Компьютерное моделирование системы астатической стабилизации курса морского судна. // , Федорова трудов. – 2010. – № 4(62). –С. 25–34.

5.  Fossen T. I. Guidance and Control of Ocean Vehicles. John Wiley & SONS, 1994. ­ 480 c