Описание открытого урока в 9а классе по теме:
«Как исследуют качество знаний школьников»
(элементы статистического исследования)
в 9а классе Физико-технического лицея (с углубленным изучением иностранных языков) 20.10.06.
Цели урока:
1. Знакомство с основными этапами статистического исследования; с такими понятиями, как генеральная совокупность и репрезентативная (от фр. выборка.
2. Формирование умения понимать и интерпретировать статистические результаты: а) Первоначальное знакомство с понятийным аппаратом математической статистики, с такими статистическими характеристиками, как среднее значение, мода, медиана и размах; б) Первоначальное знакомство со способами представления данных в виде диаграмм и полигонов.
3. Научить воспроизводить алгоритм статистического исследования на несложных примерах.
4. Формирование исследовательских навыков учащихся.
Описание урока.
1. На прошлом уроке вы получили задание: определить среднее значение, моду, медиану и размах ваших текущих оценок по алгебре. Сейчас группа Маши ознакомит нас с полученными результатами и выводами, сделанными на основе этих данных.
Выступление Маши.
Вопрос: Вы по всем этим данным смогли бы сказать, какую оценку за четверть я бы поставила?
Учитель: Да, оказывается даже знание таких статистических характеристик величин, не позволяет нам с уверенностью сказать об оценке ученика. А почему?
Давайте вспомним, за какой вид работы вы получили ту или иную оценку?
Да, за письменную, устную работу; за быстрое восприятие, за хорошую память, за настойчивость, упорство (например, итоговая оценка за выполнение домашних заданий). Поэтому получается, что за разные виды работ вы получаете оценки: «5», «4», «3» или «2», и разные статистические характеристики отражают результат по разным критериям.
В последующем, мы узнаем, как поступают в таких случаях статисты, а сегодня мы на одном примере увидим, как еще можно использовать эти характеристики при статистических исследованиях и ознакомимся с этапами проведения таких исследований.
Многие из вас летом отдыхали в деревнях. Этим летом по всей России проводили сельскохозяйственную перепись. И данные эти собирались в деревне не в каждом хозяйстве. А как тогда судить о состоянии дел в сельском хозяйстве по всей России? Будет ли собранная информация достоверно отражать действительное положение дел?
Оказывается может, но только если проводить эти исследования по определенному алгоритму.
Наука «математическая статистика» занимается созданием алгоритма (правил) исследований, результаты которых стопроцентно или почти стопроцентно соответствовали бы реальному состоянию дел.
Рассмотрим такой пример.
Возникла проблема определения уровня знаний девятиклассников в некотором регионе России, например, в Республике Саха (Якутия). Понятно, что для получения точных результатов исследования необходимо, чтобы в исследовании участвовали все девятиклассники всего региона. Допустим, что мы проведем контрольную работу из шести заданий и посмотрим, сколько заданий верно выполнил каждый ученик.
Даже проведение одной контрольной работы – это рассылка текстов по всем школам, одновременное проведение работы, проверка и обработка полученных результатов, хотя дело и возможное, но весьма трудоемкое и дорогостоящее.
В математической статистике, тем временем, уже доказано, что для получения вполне достоверной информации (даже можно потребовать с какой вероятностью достоверно!) по интересующему нас вопросу достаточно провести выборочное исследование, ограничившись проверкой знаний сравнительно небольшой части школьников.
Но, чтобы по результатам выборочного обследования можно было с достаточной уверенностью судить о свойствах всей генеральной совокупности обследуемых (т. е. о математической подготовке девятиклассников всего региона), эта выборка должна быть, как говорят статисты, репрезентативной (representative фр.), т. е. представительной. Почему представительной? Верно, в этой выборке должны быть представлены все виды школ (сельская, городская, малокомплектная, общеобразовательная, лицеи, гимназии и т. д). Построение репрезентативной выборки (как именно выбирать) – это сложный вопрос и выходит за рамки школьной программы.
Надо только сказать, что в ситуациях подобной нашей, обычно ограничиваются обследованием 5-10% всей изучаемой совокупности. Кроме того, осуществляют случайный отбор учащихся, обеспечивая одинаковую вероятность попадания в выборку любого объекта генеральной совокупности.
Пусть в некотором селении девятиклассников всего 716 человек. Выберем случайным образом из генеральной совокупности всего 50 учащихся (это – репрезентативная выборка составляет, сколько процентов от генеральной совокупности? Верно - 6,9%).
Получены следующие результаты контрольной работы из шести заданий (о количестве верно решенных заданий).
4; 2; 0; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 0;
1; 5; 2; 6; 4; 3; 3; 2; 3; 1;
3; 3; 2; 6; 2; 2; 4; 3; 3; 6;
4; 2; 0; 3; 3; 5; 2; 1; 4; 4;
3; 4; 5; 3; 2; 3; 1; 6; 2; 2.
Чтобы работать далее с этими данными, т. е. с этим рядом чисел, в первую очередь мы как поступали?
Ответ: Будем ранжировать эти данные, т. е. располагать их в порядке возрастания.
0;0;0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2;
2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3;
3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3;
3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4;
4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6.
Итак, эти семь различных чисел 0, 1, 2,3, 4, 5, 6 отражают семь ситуаций, или как говорят в теории вероятностей, семь событий. Например, «1» - это следующее событие: «ученик решил 1 задачу из шести». Частота появления этих событий различна.
Составим следующую таблицу:
События: «число верно решенных задач» | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Σ |
частота | 3 | 4 | 12 | 15 | 8 | 3 | 5 | 50 |
относительная частота | 6 | 8 | 24 | 30 | 16 | 6 | 10 | 100% |
Чаще всего такие данные представляют в виде диаграмм и полигонов.
Столбчатая диаграмма частот. Полигон относительности.
число решенных задач число решенных задач
Для более качественного анализа
ответьте на следующие вопросы (устно).
1. Найдите наиболее типичный, т. е. чаще всего встречающийся результат (моду ряда). Ответ: это событие: «решены 3 задачи из шести».
2. Найдите среднее значение ряда данных.
3. Найдите медиану ряда данных.
Сейчас вы получите задания, которые выполните по группам и выступите с результатами итогов исследований.
Для выполнения работы на столах есть карточки с заданиями; в каждой группе из четырех человек – листы полуватмана размера А3, фломастеры, линейки. Калькуляторы имеются у каждого. Распределите виды работ и приступайте к выполнению заданий.
Вариант 1.
Были опрошены учащиеся одной школы, сколько раз в жизни они летали на самолете. Получены следующие данные:
Число совершенных полетов | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Количество человек | 420 | 150 | 280 | 110 | 32 | 8 |
а) Постройте таблицу относительности частот каждого события для данной выборки;
б) представьте полученные данные на столбчатой диаграмме;
в) представьте эти данные с помощью полигона;
г) укажите моду и среднее арифметическое данного ряда;
д) объясните, можно ли считать указанную выборку репрезентативной для выводов обо всем населении России.
Вариант 2.
Были опрошены члены одного садоводства, сколько дней в неделю в среднем они проводят весной за городом. Получены следующие данные:
Число дней, проведенных за городом | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Количество человек | 8 | 12 | 40 | 20 | 16 | 4 |
а) Постройте таблицу относительности частот каждого случая для данной выборки;
б) представьте полученные данные на столбчатой диаграмме;
в) представьте эти данные с помощью полигона;
г) укажите моду и среднее арифметическое значение данного ряда;
д) объясните, можно ли считать указанную выборку репрезентативной для выводов обо всем населении России.
Выслушать ответы представителей двух групп (по вариантам) у доски.
Заключение.
Сегодня мы рассмотрели пример статистического исследования. Поняли, что именно такой подход статистики позволил прижиться такому афоризму, как «статистика знает все». Да, статистика имеет возможность исследовать все. Также нам стало понятно, что именно развитие статистики как математической науки дает возможность доверять результатам, полученным в ходе статистических исследований. В дальнейшем, мы ознакомимся с такими статистическими понятиями как интервальный ряд и гистограмма.
Открытый урок по теме
«Интервальный ряд»
в 9а классе
МОУ «Физико-технический лицей (с углубленным изучением иностранных языков)»
26.04.07.
Цели урока:
1. Ознакомление с основными этапами статистического исследования. Знакомство с еще одним способом табличного и графического представления данных.
2. Формирование умения понимать и интерпретировать статистические результаты: а) первоначальное знакомство с понятийным аппаратом математической статистики как интервальный ряд; б) первоначальное знакомство с гистограммой – еще одним способом представления данных.
3. Научить воспроизводить алгоритм статистического исследования на несложных примерах.
4. Повторить определения статистических характеристик: среднего значения, моды, размахав и медианы.
5. Формирование исследовательских навыков учащихся.
Описание урока.
Сегодня у нас урок по математической статистике. Если вы внимательно читали на стенде информацию о профессии статиста, которую представили Галя Борисова и Лиана Степанова, то вы, наверное, поняли, что статист – это математик. Но математическая статистика – это целая наука, следовательно, она имеет свой специфический язык, определенные термины и понятия.
Давайте вспомним, что для сравнения значений случайных величин или данных, как иногда говорят в статистике, используются различные статистические характеристики.
Рассмотрим следующую совокупность:
3, 3, 3, 4Ю 4, 5, 5, 5, 8, 12. N = 10.
Как мы видим, эти данные уже ранжированы.
· По какому признаку они ранжированы? И что значит ранжировать данные?
1) R (размах) – разница между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины данной совокупности.
R = 12 – 3 = 9.
2) 
(мода) – наиболее часто встречающееся значение случайной величины.
= 3 и 
= 5.
3) 
(медиана) – серединное значение упорядоченного ряда значений случайной величины. 
Рассмотрим следующую задачу:
Найдите R, , следующей совокупности:
-2, 3, 4, -3, 0, 1, 3, -2, -1, 2, -2, 1. N = 12.
Вызвать к доске желающих.
1. Ранжируют совокупность значений случайных величин.
2. После этого вычисляют значения размаха, моды и медианы.
R = 4 –= 7
= -2
= 0,5.
- среднее значение случайной величины Х, т. е. среднее арифметическое всех значений случайной величины:
=0.
В статистике эти статистические характеристики называются мерами центрально тенденции или просто центральными тенденциями.
В течение довольно длительного времени вам надо было замерить продолжительность времени, которое вы тратите на дорогу из дома в школу, и обратно.
Егоров Айаал собрал все ваши данные и подготовил такую таблицу.
(Вывесить таблицу.)
Здесь представлены данные о времени (в минутах), которое вы тратите на дорогу.
Мы видим, что одинаковые значения встречаются очень редко, а число различных вариантов довольно велико, поэтому ранжирование не позволит нам выявить характерные черты ряда данных, в отличие от задачи о старике и золотой рыбке.
Так вот, в таких случаях для обработки данных строят интервальный ряд.
1. Найдем наибольшее значение совокупности представленных данных, это 50 минут, а наименьшее значение – 7 минут. R = 50 – 7 = 43 мин. Размах данных равен 43 минутам.
2. Теперь весь промежуток значений ряда данных разобьем на несколько интервалов (обычно берут 5-10 интервалов). 
(длина интервала).
3. Найдем границы интервалов. За начало первого интервала принято брать значение, расположенное на полуинтервале левее наименьшего значения в ряду: 7 – 3 = 4, 4; 10; 16; 22; 28; 34; 40; 46; 52. Если значение ряда окажется на границе двух интервалов, то его будем считать лежащим в правом промежутке. Итак, h = 6, интервалов всего 8. Составим таблицу:
Х | [4;10) | [10;16) | [16;22) | [22;28) | [28;34) | [34;40) | [40;46) | [46;52) |
М | 3 | 8 | 2 | 3 | 2 | 0 | 4 | 2 |
w(частота) |
|
|
|
|
| 0 |
|
|
4. Для интервального ряда используют специальное графическое изображение – гистограмму (прямоугольники шириной h = 6 и высотой М или w.
5. Как по интервальному ряду определить, сколько минут в среднем вы тратите на дорогу? Для упрощения исследований, составим таблицу средних значений каждого интервала:
Х | 7 | 13 | 19 | 25 | 32 | 39 | 46 |
М | 3 | 8 | 2 | 3 | 2 | 0 | 4 |
И найдем среднее значение ряда :
минут
минут
. Итак, треть учеников класса тратит на дорогу около 20 минут.
А теперь вы выполните проверочную работу П – 49, работать будете в парах. Все, что необходимо для представления работы находится у вас на столах.
Вариант 1.
Дан ряд чисел: 11, 14, 12, 11, 21, 23, 22, 16, 17, 14, 20, 11, 13, 16, 17, 18, 12, 19, 18, 11, 22, 20, 21, 22, 12. а) Определите его размах; б) определите границы соответствующего интервального ряда с длиной интервала, равной 3; в) постройте гистограмму частот для этого интервального ряда.
Вариант 2.
Дан ряд чисел: 9, 10, 11, 10, 10, 20, 17, 21, 16, 12, 14, 18, 19, 17, 12, 10, 12, 20, 19, 16, 15, 15, 13, 12, 13. а) Определите его размах; б) определите границы соответствующего интервального ряда с длиной интервала, равной 3; в) постройте гистограмму частот для этого интервального ряда.
Подведение итогов урока.
1. Повторены основные статистические характеристики случайных величин.
2. Ознакомились с понятием интервального ряда.
3. Также ознакомились с графическим представлением статистических данных в виде гистограмм.
Овладение этими понятиями вы показали при успешном выполнении проверочной работы. Попов Петя, Сыроватский Ньургун, Попов Николай и Попова Светлана представили решение проверочной работы у доски (показали построенную гистограмму) и каждая пара смогла проверить свою работу.
Для выполнения домашней работы вы получаете некоторые статистические данные и конкретные задания. Ознакомьтесь, пожалуйста, с заданиями и если появились вопросы к домашнему заданию – задаем вопросы.
Спасибо за плодотворную работу.
