УДК 539.3

,

Сибирский государственный индустриальный университет, г. Новокузнецк

Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного университета, г. Новокузнецк

МОДЕЛЬ СТАТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ КОРОБЧАТОЙ КОНСТРУКЦИИ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ДЛИТЕЛЬНОМ СИЛОВОМ НАГРУЖЕНИИ

Рассматривается модель вязкоупругого деформирования коробчатых конструкций типа балки мостового настила из стеклоэпоксидных и стеклополиэфирных пластиков при длительном силовом нагружении, в которой учитываются деформации сдвига. Для получения зависимости перемещений от времени используется численно-аналитический алгоритм решения наследственной задачи вязкоупругости.

Одной из важных проблем, которые необходимо решить при рациональном проектировании длительно эксплуатируемых конструкций, является обеспечение долговечности. Преимущества композиционных материалов (высокая коррозийная стойкость, высокий ресурс по усталости) способствуют повышению долговечности, однако существенным является то обстоятельство, что полимерные композиционные материалы реологически активны, что требует учета неупругих свойств, и в первую очередь вязкоупругости.

Рассматривается коробчатая конструкция типа балки мостового покрытия из стеклоэпоксидных и стеклополиэфирных пластиков, изготавливаемая методом полтрузионного формования, которая представляет собой тонкостенную конструкцию неизменного по длине сечения, состоящую из горизонтальных полок и вертикальных и наклонных стенок.

В конструкциях рассматриваемого вида используются стеклянные армирующие волокна и полимерное связующее. Уровень действующих напряжений при длительной эксплуатации может быть в десятки раз меньше предельных для данного материала напряжений. Поэтому ползучестью армирующих волокон в первом приближении допустимо пренебречь, что подтверждается данными, опубликованными в различных известных источниках. Однако в связующем постоянно действуют напряжения, что с течением времени приводит к накоплению необратимых деформаций ползучести.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В первую очередь при оценке деформаций ползучести необходимо учесть напряжения поперечного сдвига, поскольку при однонаправленном армировании они не стеснены армирующими волокнами. Таким образом, при построении модели вязкоупругого деформирования целесообразно учитывать деформацию сдвига. Остальные компоненты деформации будем считать линейно упругими.

Рассматривается армированный материал, в котором упругие армирующие волокна равномерно распределены по объему, нагруженный растяжением (сжатием) вдоль волокон, поперек волокон и сдвигом.

Физический закон вязкоупругости в операторном виде имеет вид:

. (1)

Все деформации при сложном напряженном состоянии приведены к сдвигу связующего, поэтому вязкоупругие свойства можно определить с помощью одного операторного параметра. Выберем ядро разностного типа. Тогда соотношение (1) можно записать в виде:

, (2)

где - скалярное ядро релаксации.

Таким образом, оператор Г* определен для произвольной векторной функции времени f(t) следующим образом:

(3)

Определяющее соотношение (2) дает мгновенные значения напряжений, совпадающие с решением задачи об упругом деформировании, и описывает релаксацию напряжений при постоянной деформации с течением времени. Считая, что это соотношение выполняется и при переменной во времени деформации, можно получить решение задачи о вязкоупругом квазистатическом деформировании конструкции, при котором в каждый момент времени выполняются условия равновесия, но возможно перераспределение напряжений между конструктивными элементами в соответствии с изменением их длительной жесткости. Для этого, с использованием принципа соответствия Вольтерра, строится конечно-элементная модель вязкоупругого деформирования многоэлементной конструкции с одним скалярным операторным параметром.

Считая параметры ядра известными, заменим операторный параметр Г* переменной величиной. Для конечного элемента запишем в операторном виде связь между узловыми перемещениями и узловыми реакциями:

, (4)

где K* - операторная матрица жесткости конечного элемента. Тогда для модели многоэлементной конструкции в целом, суммируя матрицы жесткости по одноименным степеням свободы, получим разрешающее операторное уравнение:

, (5)

где - глобальная операторная матрица жесткости,

- глобальные векторы узловых перемещений и нагрузок.

С учетом первого из равенств (4), поскольку материал конструкции на макроуровне однороден и все конечные элементы имеют одну и ту же матрицу упругости, уравнение (5) принимает вид:

, (6)

где Г* - скалярный операторный параметр,

K – матрица упругой жесткости,

Ks – матрица жесткости, обусловленная сдвиговой жесткостью связующего:

. (7)

Основная сложность при решении уравнений (7) заключается в высоком порядке операторной матрицы жесткости. Чтобы получить решение в аналитическом виде, применим численно-аналитический метод решения систем уравнений высокого порядка со свободным параметром. Заменим операторный параметр Г* скалярной переменной . Получим:

. (8)

Матрицы K, Ks – симметричные, а K вдобавок положительно определена; варьируемый параметр достаточно мал; - искомое решение системы со свободным параметром; R – правая часть, которая не зависит от параметра.

Разложим решение системы (8) в ряд по степеням параметра:

, (9)

где ui – числовые векторы-столбцы. Подставив равенство (9) в уравнения (8), раскрыв скобки и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, найдем векторы u0, u1,… из рекуррентных соотношений:

,

,

, (10)

.

С учетом нормировки, необходимой для исключения потери разрядности, соотношения (10) перепишутся в виде:

,

, ,

, ,

i = 0,1, (11)

, ,

где - нормирующий множитель на n-ой итерации.

При подстановке коэффициентов в степенной ряд необходимо учесть, что полученные коэффициенты отличаются от требуемых нормирующим множителем. Вместо (9) будем иметь:

, (10)

где через обозначено произведение нормирующих множителей:

. (12)

Возвращаясь к исходному уравнению (8), найдем:

, (13)

где - наименьшее по модулю собственное число пары матриц K и Ks.

Важным достоинством описанного численно-аналитического решения является то, что в результате перемещения получаются явно зависящими от времени. Это позволяет определять параметры ядра релаксации непосредственно по данным натурных испытаний (мониторинга), не прибегая к трудоемким численным расчетам.

Получено численно-аналитическое решение линейной задачи наследственной вязкоупругости для многоэлементной конструкции, учитывающее перераспределение напряжений между элементами и отличающееся тем, что в получаемую зависимость перемещений от времени явно входят в виде переменных параметры ядра релаксации, а постоянные числовые коэффициенты, требующие трудоемкого численного расчета, не зависят от параметров ядра. Разработанная методика расчета длительного деформирования с учетом вязкоупругих свойств связующего композиционного материала может быть использована при мониторинге прогиба в процессе эксплуатации для оценки остаточного ресурса по максимальному прогибу.