Предел функции
3.1. Определение предела функции. Пусть функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0. Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции.
Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне):
Число А называется пределом функции у =
при х, стремящемся к числу х0, если для любой последовательности значений аргумента
, сходящейся к х0, т. е. 
, последовательность значений функции 
сходится к числу А, т. е. 
В этом случае пишут 
f(x) = А или 
при 
Определение 2 (на «языке 
- », или по Коши):
Число А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к числу х0, если для любого 
существует число 
такое, что для всех х
х0, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется неравенство 
Это определение с помощью логических символов можно записать так: 
|
Геометрический смысл предела функции у=f(x) при 
состоит в том, что для произвольного можно найти такое положительное 
, что для всех х из проколотой 
- окрестности точки х0, все точки 
графика функции y = f(x) будут лежать внутри полосы 
(см. рис. 3.1). При этом, если функция 
определена при х0, то точка 
не обязательно принадлежит этой области (см. рис. 3.2).
Пусть функция y=f(x) определена на бесконечном промежутке 
Определим предел функции при 
Число А называется пределом функции y=f(x) при 
(на языке последовательностей), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента 
, такой, что хп >0 (хп < 0),
, последовательность значений функции сходится к числу А.
Эквивалентное определение предела функции при 
на «языке 
будет следующим:
Число А называется пределом функции у= f(x) при если для любого > 0 существует число > 0, такое, что для всех 
выполняется неравенство
Символические обозначения предела функции при х, стремящемся к ±
: 
и 
.
Число А называется пределом функции y = f(x) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого > 0 существует число > 0, такое, что для всех 
, выполняется неравенство 
Коротко это определение можно записать так:
Из этих определений следует, что 
тогда и только тогда, когда одновременно и
Из определения 1. предела функции и теоремы 2.1 об единственности предела последовательности следует, что если функция при имеет предел, то этот предел единственный.
Пример 3.1. Доказать на основании определения 2 предела функции, что: а) 
б) 
Решение:
а) Согласно определению 2, нужно доказать, что для любого существует такое , что из неравенства 
следует неравенство
где 
Решив полученное неравенство относительно 
имеем 
. Итак, если 
то 
Таким образом, доказано, что 
б) Нужно доказать, что для любого > 0 существует такое , что для всех 
выполняется неравенство 
, где 
Разрешим последнее неравенство относительно х,
Если продолжить 
, то при 
выполняется неравенство 
, т. е. 
Если положить 
то при 
выполняется неравенство т. е. 
.2. Свойства функций, имеющих предел. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0.
Теорема 3.1. Если 
то существует окрестность точки х0 такая, что для каждого х из этой окрестности, кроме, быть может х = х0, выполняется неравенство 
Доказательство. Так как , то для любого > 0, в частности, 
существует - окрестность точки х0, такая, что для каждого х из этой окрестности, кроме, быть может, х = х0, выполняется неравенство
Отсюда следует, что для всех х из указанной окрестности
Следующие теоремы устанавливают правила вычисления пределов, связанные с арифметическими действиями над функциями.
Теорема 3.2. Если 
, где с – константа, то 
Теорема 3.3. Пусть 
и 
тогда а)
б) 
в) 
, если 
Доказательство. Все перечисленные в теореме случаи могут быть доказаны одинаковым способом, основанным на определении первого предела функции и соответствующих свойствах пределов последовательностей. Докажем например случай б).
Так как и тогда, согласно определению 1 предела функции, для любой последовательности 
такой, что 
, справедливы равенства:
и 
Так предел произведения сходящихся последовательностей существует и равен произведению их пределов (теорема 2.9), то имеем
Этот предел не зависит от выбора : он всегда равен 
, потому, что согласно определению 1, доказанное равенство означает, что
Следствие 3.1.Постоянный множитель можно выносить за знак предела: 
Пусть 
- сложная функция, причем 
- элементарная функция, а имеет конечный предел при Если точка и=А вместе с некоторой окрестностью принадлежит области определения элементарной функции и то для предела сложной функции справедливо равенство 
Из этого свойства следует:
1) правила вычисления пределов некоторых сложных функций:
, если 
если 
2) правило замены переменного ( или подстановки) в пределе: если в равенстве (*) положить
