С НЕОРДИНАРНЫМИ ПОТОКАМИ И ИНТЕНСИВНОСТЯМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ СОСТОЯНИЯ
КЛАСТЕРОВ СИСТЕМ
,
Саратовский государственный университет
имени , Саратов, Россия
Рассмотрим сеть массового обслуживания 
с непрерывным временем и неординарными потоками требований. Сеть содержит 
систем массового обслуживания 
, 
, и 
требований одного класса. Вероятности перехода требований между системами сети определяются маршрутной матрицей 
, 
, где 
– вероятность того, что требование после обслуживания в системе 
поступает в систему 
. Система , 
, включает одинаковых обслуживающих приборов. Предполагается, что системы сети массового обслуживания принадлежат одному из 
непересекающихся кластеров, с каждым из которых связано множество 
, номеров систем, и что интенсивности обслуживания в системах одного кластера одинаковые и равны 
, 
. Суммарная интенсивность обслуживания в кластере является функцией общего числа требований в этом кластере. Длительность обслуживания требований в системе , 
, имеет экспоненциальное распределение с параметром , 
, (данные ограничения на значения не влияют на общность полученных результатов). Состояние сети определяется вектором 
, , где 
– число требований, находящихся в системе . Множество состояний сети обозначим 
.
Из описания структуры и алгоритмов функционирования сети непосредственно следует, что ее эволюция может быть описана цепью Маркова 
с непрерывным временем и множеством состояний 
. Рассмотрим переход из состояния 
в состояние 
, обусловленный тем, что 
требований покинули систему 
, 
требований поступили в систему и 
требований оставались в системе . Таким образом, можно записать 
и 
, где 
– вектор оставшихся требований, а 
и 
– векторы, представляющие соответственно уходящие и поступающие требования. Векторы 
и 
далее будем называть векторами перемещений. Множество векторов перемещений обозначим 
. Алгоритмы перехода сети из состояния в состояние подробно описаны в работах [1,2].
Введем следующие обозначения для числа требований в кластере 
, :
,
,
то есть 
, , представляет вектор числа требований в кластерах, а 
, , – вектор числа требований, уходящих из кластеров.
Если сеть находится в состоянии 
, то с вероятностью 
формируется вектор 
, который затем с вероятностью 
преобразуется в вектор 
.
При независимой маршрутизации требований в сети вероятности преобразования вектора 
в вектор
где
.
В выражении для учитываются все возможные переходы требований между системами обслуживания в сети.
Введем в рассмотрение маршрутную цепь Маркова 
с дискретным временем и множеством состояний 
[3]. Вероятности перехода цепи определяются выражением
,
где 
– символ Кронекера.
Для сети вероятность формирования вектора при пребывании сети в состоянии имеет вид [1]
, (1)
где 
, 
и 
– произвольные заданные функции; 
, 
, а 
.
Введем в рассмотрение вектор относительных интенсивностей потоков требований в сети 
, 
, который является решением системы уравнений потоков
, ,
с условием
.
Сеть имеет мультипликативную форму стационарного распределения [1]
, 
, (2)
где
,
.
Для сети с кластерами вероятность формирования вектора , когда сеть находится в состоянии 
, имеет вид
.
Из (1) видно, что тогда
, (3)
, (4)
. (5)
Подставляя (4) в (2), получим, что стационарные вероятности состояний сети
, ,
где
.
Предположим, что требуется, чтобы число требований в кластере 
не превосходило некоторого фиксированного числа 
. Этого можно достичь замедлением обслуживания в других кластерах посредством использования множителя 
в кластере , 
, когда 
, 
. Таким образом, получим обслуживание в сети, учитывающее взаимную зависимость кластеров.
В этом случае, если 
, вероятность 
формирования вектора , когда сеть находится в состоянии , имеет вид (1), в противном случае
.
Тогда функции 
и 
определяются по формулам (3) и (5), а функция 
имеет вид
, (6)
где 
обозначает индикатор события 
, то есть 
, если событие произошло, и 
в противном случае.
Стационарные вероятности состояний сети с взаимозависимыми кластерами вычисляются по формуле (2) после подстановки (6).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. И., С., П. Анализ неоднородных сетей массового обслуживания с групповыми переходами требований // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11, вып. 3. С. 41–46.
2. Boucherie R. J., Dijk N. M. Product forms for queueing networks with state-dependent multiple job transitions // Advances in Applied Probability. 1991. V. 23, № 1. P. 152–187.
3. Henderson W., Taylor P. G. Product form in networks of queues with batch arrivals and batch services // Queueing Systems. 1990. V. 6. P. 71–88.
