Численный анализ комплексов двумерных солитонов в лазерных схемах класса А

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ КОМПЛЕКСОВ ДВУМЕРНЫХ СОЛИТОНОВ В ЛАЗЕРНЫХ СХЕМАХ КЛАССА А

, ,

Представлен обзор результатов численного моделирования локализованных (солитоноподобных) структур в широкоапертурных лазерах с насыщающимся поглощением в случае быстрой (безынерционной) нелинейности среды. Проведен анализ потоков энергии излучения и выделены случаи слабого и сильного взаимодействия лазерных солитонов. Особое внимание уделено поперечному движению комплексов солитонов и его связи с симметрией комплексов.

Введение

Автосолитоны, или диссипативные солитоны являются устойчивыми локализованными структурами поля в однородной или слабо промодулированной неконсервативной (с существенным энергообменом) нелинейной среде или системе [1]. Они формируются в различных открытых системах с притоком и оттоком энергии [2], что и отличает их от консервативных солитонов (уединенных волн), для которых диссипативные факторы пренебрежимо слабы и в идеальной модели отсутствуют [3]. Оптические автосолитоны, предсказанные в 1980-х годах [4, 5], обладают свойствами, не только общими для всех диссипативных солитонов, но и специфическими, связанными, например, с типичными для оптики дифракционными явлениями. Ввиду этого изучение оптических автосолитонов представляет заметный научный интерес; кроме того, необходимо отметить и их высокий потенциал для приложений в области оптической обработки информации [6]. В настоящей работе мы рассмотрим частный случай оптических автосолитонов – солитоны в широкоапертурном лазере с насыщающимся поглощением, предсказанные в [7]. Кроме того, мы ограничимся здесь анализом только двумерных лазерных солитонов; описание одномерных и трехмерных лазерных солитонов можно найти в [6]. Ряд свойств двумерных лазерных солитонов рассматривался затем, в частности, в [8-15].

Задачей данного обзора служит систематизация большого числа результатов, связанных со сравнительно новым подходом, в рамках которого существенно используется анализ потоков энергии лазерного излучения. При этом возникают также не столь привычные в области солитонов представления не только о слабой, но и о сильной и смешанной их связи. Важным мотивом в нашем изложении будет выяснение характера поперечного движения солитонных структур и его связи с симметрией этих структур. Мы обсудим также вызвавший в литературе дискуссию вопрос о роли дислокаций волнового фронта в движении оптических структур. С учетом того, что свойства лазерных солитонов описывались в монографиях [6, 15], мы будем основываться главным образом на результатах недавних работ [10, 12-14]. Анимации ряда динамических процессов можно найти на сайте [16].

Далее в разделе 1 мы опишем модель широкоапертурного лазера с насыщающимся поглощением, выпишем управляющее уравнение – обобщенное комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау, введем основные характеристики поля, обсудим симметрию структур поля и приведем основное положение о связи этой симметрии с характером поперечного движения структуры. Затем в разделе 2 мы напомним свойства одиночных лазерных солитонов, простейшие из которых обладают осесимметричным распределением интенсивности. Последующие разделы посвящены слабому (раздел 3), сильному и смешанному (раздел 4) взаимодействию различного числа лазерных солитонов с различными топологическими зарядами. В разделе 5 представлены несколько сценариев столкновений движущихся комплексов лазерных солитонов. Общие итоги подводятся в Заключении.

1.  Модель и исходные соотношения

1.1. Схема лазера и управляющее уравнение

Схема лазера с насыщающимся поглотителем представлена на рис. 1. Для простоты изображен резонатор, образованный двумя плоскими параллельными зеркалами, хотя резонатор может быть и кольцевым. Источником энергии служит накачка, создающая усиление излучения в среде, а стоки энергии отвечают поглотителю и другим каналам потерь. Излучение распространяется преимущественно вдоль оси резонатора z, а для наклонных лучей потери возрастают, например, из-за угловой зависимости коэффициентов отражения зеркал резонатора. Внутри резонатора помещена среда, которая обладает нелинейными усилением и поглощением. Параметры схемы выбраны так, что при малой интенсивности излучения потери превышают усиление, ввиду чего режим отсутствия генерации устойчив. Однако с ростом интенсивности поглощение убывает быстрее, чем усиление, поэтому при некотором уровне интенсивности возможен их устойчивый баланс и поддерживается генерация излучения с такой интенсивностью. Безгенерационный и генерационный режимы в определенном диапазоне параметров схемы сосуществуют, то есть в зависимости от начальных условий устанавливается один из них (оптическая бистабильность). Теперь учтем широкоапертурность (большое поперечное сечение) лазера. Тогда возможны режимы, когда на одной (центральной) части апертуры устанавливается генерационный режим, а на остальной (периферийной) сохраняется безгенерационный режим. Конечно, дифракция размывает переход между режимами и несколько меняет уровень интенсивности. Тем не менее, соответствующее яркое пятно или островок генерации на темном фоне безгенерационного режима и представляет простейший лазерный автосолитон.

Динамика лазерного излучения в приведенной схеме будет описываться в следующих приближениях [6]. Для излучения рассматривается режим с фиксированной поляризацией и предполагается медленность изменения огибающей поля во времени и пространстве, так что поле описывается скалярной огибающей электрической напряженности E. Нелинейность среды

Рис. 1. Схема лазера с насыщающимся поглощением: З – плоские зеркала резонатора, между ними среда с нелинейными усилением и поглощением, излучение генерируется в узкой цилиндрической области, представляющей автосолитон, стрелки показывают выходящее лазерное излучение; x и y – поперечные координаты

считается безынерционной (времена релаксации нелинейности много меньше времени установления поля в резонаторе, лазер класса А). Резонатор характеризуется большой апертурой и малой длиной (большим числом Френеля), так что в идеальной модели поперечные размеры резонатора бесконечно велики и в схеме нет поперечных неоднородностей (неоднородность возможна лишь в начальных условиях). Мы полагаем, что за один проход резонатора линейные (дифракционные) и нелинейные изменения огибающей малы, что позволяет воспользоваться усреднением огибающей в продольном направлении (модель среднего поля). При этих условиях справедливо описание в рамках обобщенного комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау:

. (1)

Здесь t – безразмерное время в единицах времени затухания поля в пустом резонаторе, d – эффективный коэффициент диффузии, описывающий слабую угловую селективность потерь (), – поперечный оператор Лапласа, отвечающей дифракции излучения, поперечные координаты x и y выражены в единицах эффективной ширины зоны Френеля , где – длина резонатора, k – волновое число в линейной среде и R – произведение амплитудных коэффициентов отражения зеркал резонатора. Функцию здесь мы будем считать вещественной (пренебрежение частотными расстройками) функцией интенсивности поля , так что . Она описывает насыщение усиления и поглощения; в нее же включаются постоянные (нерезонансные) потери. Тогда для функции f можно использовать форму, следующую из двухуровневой модели сред с усилением и поглощением

, (2)

где и – линейные коэффициенты усиления и поглощения, b – отношение интенсивностей насыщения усиления и поглощения, а нерезонансные потери за счет нормировки времени представлены членом –1 в правой части. Интенсивность излучения нормируется на интенсивность насыщения усиления. Необходимым условием устойчивости лазерных солитонов служит требование преобладания потерь над усилением для слабого поля (отвечающего периферии солитонов):

. (3)

Другое требование состоит в том, что поглощение должно насыщаться быстрее усиления, то есть b > 1. Тогда возможна бистабильность, то есть установление в зависимости от начальных условий либо безгенерационного режима E = 0, либо генерации с определенным уровнем интенсивности , определяемым условием баланса усиления и потерь . На основе (1) можно показать, что в условиях моностабильности поперечно однородных состояний устойчивые локализованные структуры невозможны [6]; в действительности интервал параметров, отвечающих устойчивым лазерным солитонам, находится внутри интервала бистабильности и заметно уже его. Заметим, что в ряде работ функция нелинейности f аппроксимируется ее степенным разложением по интенсивности . Такое выражение заведомо неприменимо при больших интенсивностях, так что полученные с его использованием результаты еще следует проверять на соблюдение условия достаточной малости интенсивности. От этого ограничения свободна физически более обоснованная форма (2), которой мы и будем пользоваться далее.

1.2. Потоки энергии, симметрия и движение

При указанных выше условиях поперечные (по отношению к оси основного распространения) потоки энергии лазерного излучения (поперечный вектор Пойнтинга) в фиксированный момент времени t выражаются через медленно меняющимуюся комплексную амплитуду (огибающую) E, вещественную амплитуду и фазу соотношениями

. (4)

Линии тока для поперечных потоков энергии (кривые, касательная к которым в каждой точке совпадает по направлению с вектором ) определяются уравнениями, которые удобно записать с помощью параметра , меняющегося вдоль кривой вместе с ее длиной:

. (5)

Задание в фиксированный момент времени поперечных распределений интенсивности и поперечного вектора Пойнтинга определяет структуру поля с точностью до несущественного постоянного сдвига фазы.

Важной характеристикой локализованной структуры поля служит положение ее центра инерции, или центра интенсивности, определяемое в фиксированный момент времени следующим соотношением:

. (6)

Соответственно, скорость движения центра инерции дается выражением

. (7)

Мгновенная скорость движения центра полностью определяется распределениями (в тот же момент времени) интенсивности и поперечного вектора Пойнтинга . Действительно, в силу инвариантности управляющего уравнения (1) к постоянному сдвигу фазы эта фаза не может влиять на интересующее нас движение. Формально это можно показать, исходя из следующего из управляющего уравнения для интенсивности:

(8)

В (8) первое слагаемое правой части отвечает изменению интенсивности за счет переноса энергии и сохраняет вид и для схем без диффузии (d = 0) и потерь (f = 0); эти факторы описываются, соответственно, вторым и третьим слагаемыми. Из (7) и (8) следует, что мгновенная скорость движения центра инерции выражается через вектор Пойнтинга и интенсивность излучения I.

Важно подчеркнуть, что общий характер движения может быть выяснен уже из соображений симметрии, причем не только для установившихся структур, но и на стадии установления. Здесь нужно оговорить объект симметрии, поскольку требование симметрии интенсивности и фазы поля слишком обременительно. Вместо этого мы будем иметь в виду симметрию одновременно распределений интенсивности и поперечного вектора Пойнтинга локализованных структур поля в фиксированный момент времени. Кроме того, мы будем считать, что симметричная структура устойчива по отношению к малым асимметричным возмущениям (последние не нарастают при дальнейшей эволюции). Для дальнейшего важны следующие два случая симметрии:

1. Осевая симметрия. Для скалярного поля условие симметрии очевидно, а для векторного поля имеется в виду, что при отражении от оси (зеркальной) симметрии продольная (по отношению к этой оси) компонента сохраняется, а поперечная меняет знак. Утверждение состоит в том, что для этого типа симметрии скорость движения центра инерции направлена вдоль оси симметрии (поперечная компонента скорости равна нулю). Соответственно, движение структуры может быть только прямолинейным, а ее вращение невозможно. Если структура обладает двумя или б’ольшим числом осей симметрии, то отсутствует как движение центра инерции, так и вращение структуры.

2. Симметрия по отношению к повороту на угол , то есть наличие оси симметрии М-го порядка (). В этом случае можно утверждать, что скорость , так что центр инерции неподвижен. При этом может иметь место вращение структуры. Случай М = 2 отвечает центральной симметрии, а реализуется для осесимметричных структур.

Доказать эти утверждения можно следующим образом. Согласно (7) мгновенная скорость движения центра инерции определяется интегралом по поперечным координатам от функции интенсивности и вектора Пойнтинга. Для симметричной структуры область интегрирования можно разбить на несколько подобластей: две (в случае оси зеркальной симметрии, которая и будет служить границей разбиения) или М (для оси симметрии поворота М-го порядка, когда подобласти – угловые секторы). Тогда скорость представляется как сумма двух или М составляющих

, (9)

причем каждая из них получается из вектора соответствующим преобразованием симметрии. Например, для осевой симметрии, как это пояснялось выше, продольная компонента та же, что у , а поперечная отличается знаком. Поэтому суммарный вектор может обладать только продольной компонентой, что и доказывает первое из сделанных утверждений. Аналогично, при наличии оси симметрии М-го порядка М-го порядка , где отдельные слагаемые отвечают интегралу по соответствующему угловому сектору. Эти слагаемые-векторы для соседних секторов отличаются поворотом на угол . Вводя комплексное представление этих двумерные векторов по правилу , можно записать . Тогда

, (10)

что и доказывает второе утверждение. В общем (невырожденном) случае отсутствие симметрии приводит к движению и вращению структуры.

2.  Одиночные лазерные солитоны

Области существования и устойчивости и свойства одиночных солитонов в широкоапертурных лазерах класса А с насыщающимся поглощением уже описывались достаточно детально в литературе, поэтому здесь мы только приведем краткие сведения, необходимые для дальнейшего изложения. Поперечное распределение интенсивности выходящего из лазера излучения для ряда лазерных солитонов, найденных ранее авторами данной статьи, показано на рис. 2. Поперечные координаты x и y здесь и далее приводятся в безразмерных единицах, а реальные ширины солитонов в полупроводниковых микрорезонаторах составляют около десятка микрометров. Варианты (1)-(3) отвечают солитонам с осесимметричным распределением интенсивности. Простейший («фундаментальный») солитон (1) обладает колоколообразным распределением интенсивности и регулярным искривленным волновым фронтом (не показанная здесь поверхность постоянной фазы, см. ниже рис. 3). Для вихревых солитонов (2, 3, 5-7) волновой фронт включает дислокацию, то есть интенсивность излучения в некоторой точке обращается в нуль, а фаза при полном обходе этой точки по замкнутому контуру сдвигается на величину , где целое число m называется топологическим зарядом. Для (2) и (3) топологический заряд один и тот же (), но для (3) имеется дополнительная радиальная осцилляция интенсивности. Солитоны (1-3) отвечают монохроматическому излучению, но их частоты различаются; изменение знака m равносильно замене направления возрастания фазы на противоположное при сохранении частоты генерации. Для солитонов (4-7) интенсивность не обладает осевой симметрией, и эти структуры вращаются как целое с постоянной угловой скоростью. Пример (4) показывает, что вращение солитонов не обязательно связано с наличием дислокаций волнового фронта.

Рис. 2. Поперечные распределения интенсивности I устойчивых лазерных солитонов с топологическим зарядом m = 0 (1, 4) и m = 1 (2, 3, 5-7). Стрелки указывают вращение солитона как целого

Поскольку соблюдаются условия устойчивости безгенерационного режима (3), возбуждение лазерных солитонов является жестким, то есть требует инициирования достаточно крупным выбросом излучения (внешний сигнал в виде пакета волн с конечной шириной и длительностью) или характеристик среды (временное и локальное изменения усиления или поглощения). В рамках управляющего уравнения (1) инициирование сводится к заданию начальных условий для огибающей поля. Для возбуждения топологических солитонов (2, 3, 5-7) необходимо инициирование внешним пучком-импульсом с дислокацией волнового фронта. Асимметричные солитоны (4-7) возбуждаются при асимметричном инициировании (начальном условии) или из первоначально симметричных структур при изменении параметров схемы, приводящем к потере устойчивости (нарушении) симметрии.

Основными элементами, из которых составлены рассматриваемые далее структуры, являются стационарные одиночные солитоны с осесимметричным распределением интенсивности типа (1)-(3) на рис. 2. Для них временная зависимость огибающей имеет вид , где – частотный сдвиг, служащий собственным значением задачи, а огибающая поля в полярных координатах имеет вид

, (11)

где целое число – топологический индекс. Комплексная радиальная функция F(r) удовлетворяет вытекающему из (1) нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению

(12)

и естественным требованиям конечности при и экспоненциального убывания при . Отметим, что из (12) видно вырождение собственного числа и собственной функции F(r) по знаку топологического заряда m. Помимо вещественной амплитуды A(r) = |F(r)| и «мгновенной» фазы удобно ввести «радиальную фазу» , причем

. (13)

В (13) фиксирован момент времени t и ввиду несущественности постоянной составляющей фазы считается . Устойчивость этих солитонов по отношению к малым возмущениям имеет место в определенных диапазонах параметров схемы, в том числе для топологических индексов .

На рис. 3 и 4 приводятся радиальные профили вещественной амплитуды и радиальной фазы фундаментального и вихревого солитонов. На этих же рисунках дан и портрет потоков энергии, для вычисления которого удобно записать вектор Пойнтинга (4) в полярных координатах (с ортами ):

. (14)

Существенно, что для фундаментального солитона (m = 0) на фазовой плоскости энергетических потоков (рис. 3в) имеется только одна замкнутая линия – круг радиуса, отвечающего минимуму фазы в зависимости от радиуса. Для солитонов с ненулевым топологическим зарядом радиальная зависимость обладает максимумом в центре (при ) и тремя дополнительными экстремумами при . Соответственно, на фазовой плоскости энергетических потоков (рис. 4в) имеются три замкнутые линии (предельные циклы), которые здесь являются концентрическими окружностями с теми же радиусами . Эти замкнутые линии служат «сигнатурами» диссипативных солитонов. Нетрудно видеть, что для рассматриваемых одиночных солитонов распределения интенсивности и вектора Пойнтинга инвариантны относительно поворота на любой угол, то есть обладают осью симметрии бесконечного порядка (). Поэтому их центр инерции неподвижен.

Рис. 3. Радиальные профили вещественной амплитуды (а) и радиальной фазы (б), а также портрет потоков энергии (в) для лазерного солитона с топологическим зарядом m = 0

Рис. 4. Те же зависимости, что и на рис. 3, для вихревого лазерного солитона с топологическим зарядом m = 1

Для вихревых солитонов с большими значениями топологического индекса портрет потоков энергии излучения топологически эквивалентен рис. 4в. То же можно сказать и о случае солитона с дополнительными радиальными осцилляциями (рис. 2(3)).

3.  Слабые взаимодействия лазерных солитонов

Простейшие симметричные солитоны служат элементами для составления более сложных структур. В этом разделе нас будет интересовать случай слабой связи солитонов, когда каждый из них при любых временах сохраняет все свои «собственные» замкнутые линии в фазовой плоскости потоков энергии. В начальный момент времени можно задать исходное распределение поля в виде линейной суперпозиции K одиночных симметричных солитонов, находящихся на сравнительно большом (по сравнению с шириной одиночного солитона) расстоянии друг от друга:

. (15)

Здесь и – полярные координаты в системе координат с началом в центре n-го солитона, и – сдвиг фазы n-го солитона, обладающего топологическим зарядом . Дальнейшую эволюцию можно найти либо полуаналитически в рамках теории возмущений в приближении слабого перекрытия полей солитонов [17], либо численным решением (1). Последний вариант свободен от ряда приближений, необходимых для полуаналитического подхода, и позволяет рассмотреть более разнообразные ситуации. Поэтому в данном обзоре мы приведем результаты численного решения (1) с функцией нелинейности (2) (метод расщепления с применением алгоритма быстрого преобразования Фурье [8]).

Устанавливающаяся при фиксированных параметрах схемы солитонная структура существенно зависит от вида начальных условий – числа исходных солитонов K, их типа и топологических зарядов и разностей фаз между ними. Вообще говоря, результат зависит и от начальных расстояний между солитонами, поскольку уже для пары оптических автосолитонов имеется дискретный набор равновесных расстояний между ними, а выбор конкретного расстояния определяется начальным расстоянием между солитонами. Однако, ввиду (экспоненциально) быстрого убывания поля автосолитона на периферии, области устойчивости связанных структур с большими межсолитонными расстояниями весьма узки, а сами такие структуры сравнительно легко разрушаются неизбежными шумами (в данном случае погрешностями вычислений). Поэтому далее мы будем рассматривать только более устойчивые структуры с не столь большими расстояниями между солитонами. Тем не менее, ввиду многопараметричности и разнообразия солитонных структур затруднительно дать их исчерпывающую классификацию. Несколько упрощает ситуацию то обстоятельство, что в интересующем нас случае малой эффективной диффузии (коэффициент ) слабая связь солитонов приводит к установлению структур с разностью фаз, близкой к значениям 0 и π. Но главным при классификации структур будет набор топологических зарядов индивидуальных солитонов. В основной части расчетов использовались параметры функции нелинейности (2) , b = 10, и коэффициент эффективной диффузии d = 0.06 и 0.12. При варьировании параметров в определенном диапазоне основные результаты сохраняются. Начнем анализ солитонных комплексов со случая фундаментальных солитонов с нулевым топологическим зарядом .

3.1. Фундаментальные лазерные солитоны

Пара противофазных автосолитонов (K = 2, ). Для пары автосолитонов эволюция исходного распределения (15) определяется, при фиксированных параметрах схемы, только двумя начальными значениями – исходным расстоянием между центрами солитонов и разностью их фаз . Из двух возможных значений разности фаз (0 и π) более тесной упаковке и, соответственно, более устойчивой конфигурации отвечает второй вариант (). Результаты расчетов представлены на рис. 5. На рис. 5а, б показаны установившиеся распределения интенсивности и фазы, причем разность фаз полей в центрах солитонов близка к (далее мы не будем оговаривать малых отклонений разностей фаз от значений 0 и π). Слабость взаимодействия солитонов иллюстрирует рис. 5в-д, где показаны распределения потоков энергии излучения (на протяжении всего процесса установления сохраняются замкнутые траектории, окружающие центры индивидуальных солитонов). В то же время в процессе установления пары происходит бифуркация структуры энергетических потоков. Так, для начального распределения (соотношение (15), рис. 5в) у каждого из двух солитонов имеется по паре седел S, расположенных приблизительно над отвечающими центрам солитонов узлами N. Затем эти седла приближаются, с некоторыми осцилляциями, к периферийным узлам N (рис. 5г) и сливаются с этими узлами, так что при этом сохраняются периферийные седла S (рис. 5г). Если внести в распределение поля малую асимметрию, слияние периферийных седел и узлов будет не одновременным (невырожденный случай), но из-за устойчивости симметричной структуры оправдано и рассмотрение вырожденной (негрубой) структуры, которая и устанавливается со временем. Как видно из рис. 5а, д, установившиеся распределения интенсивности и потоков энергии обладают двумя осями зеркальной симметрии, ввиду чего этот двухсолитонный комплекс неподвижен.

Пара синфазных автосолитонов (K = 2, ). Такая пара тоже устойчива, хотя установившееся расстояние между автосолитонами больше, чем при противофазной связи. Распределения интенсивности и фазы для нее показаны на рис. 6. Вновь видно наличие двух осей зеркальной симметрии, поэтому эта пара тоже неподвижна.

Комплексы синфазных автосолитонов (, ). Достаточно очевидно, что при синфазной связи автосолитонов можно сконструировать комплексы с любым числом составляющих автосолитонов N, причем расстояния между соседними автосолитонами будут близки к расстоянию в паре, изображенной на рис. 6. Примеры представлены на рис. 7 и 8. В конфигурации равностороннего треугольника (рис. 7) и прямоугольной решетки (рис. 8а) имеется не менее двух осей зеркальной симметрии, поэтому эти комплексы неподвижны. Однако, для комплекса, изображенного на рис. 8б, реализуется симметрия второго типа – центральная. Соответственно, центр этой структуры неподвижен, а сама она вращается с постоянной и фиксированной угловой скоростью.

Рис. 5. Распределение интенсивности (а) и фазы (б) для устойчивой пары слабо связанных противофазных () фундаментальных автосолитонов. Временная эволюция распределения потоков энергии излучения: исходный (в), промежуточный (г) и окончательный (д) портреты потоков для пары противофазных фундаментальных автосолитонов. Особые (неподвижные) точки портретов потоков здесь и далее: N – узлы, S – седла. В установившемся режиме имеется две оси зеркальной симметрии, ввиду чего структура неподвижна

Рис. 6. Распределение интенсивности (а) и фазы (б) для устойчивой пары слабо связанных синфазных () фундаментальных автосолитонов. Структура неподвижна ввиду наличия двух осей зеркальной симметрии

Рис. 7. Распределение интенсивности (а) и фазы (б) для установившегося комплекса трех слабо связанных синфазных () фундаментальных автосолитонов. Структура неподвижна ввиду наличия осей зеркальной симметрии

Рис. 8. Распределение интенсивности для неподвижного (а, две оси симметрии) и вращающихся (б, в, центральная симметрия) комплексов синфазных () фундаментальных автосолитонов

Рис. 9. Распределение интенсивности (а), фазы (б) и траектория центра инерции (в) асимметричного комплекса семи слабо связанных синфазных () фундаментальных автосолитонов

На рис. 9 мы показываем устойчивый комплекс семи слабо связанных синфазных фундаментальных автосолитонов, не обладающий элементами симметрии. Оказывается, что движение его центра инерции близко к круговому (незамкнутость траектории на рис. 9в связана с накоплением погрешностей вычислений). Кроме того, весь комплекс в целом вращается вокруг мгновенного положения центра инерции. Отметим, что в рассматриваемом случае синфазной слабой связи фундаментальных солитонов интенсивность поля в области между автосолитонами в нуль не обращается, так что здесь отсутствуют дислокации волнового фронта и оптические вихри. Тем самым, такие комплексы движутся, в том числе криволинейно и вращаются вследствие своей (устойчивой) асимметрии.

Комплексы синфазно-противофазных автосолитонов (, и ). В отличие от синфазной связи, противофазная связь не может реализоваться для всех пар автосолитонов в их комплексах с . Однако, можно сформировать комплексы, в которых для некоторых пар разность фаз близка к π, а для остальных – к нулю. В соответствии с рис. 5 и 6, расстояния между парами противофазных автосолитонов меньше, чем для синфазных пар. Ниже приводятся примеры, представляющие этот обширный круг комплексов.

«Равнобедренные треугольники» (K = 3, разности фаз ). Конфигурация автосолитонов в установившемся комплексе характеризуется как «равнобедренный треугольник» (рис. 10б, в). Его короткие стороны (бедра) отвечают противофазным парам автосолитонов вида рис. 5, а более длинное основание – паре синфазных автосолитонов вида рис. 6. Из рис. 10б, в следует наличие только одной оси зеркальной симметрии, ввиду чего комплекс движется прямолинейно с фиксированной скоростью и без вращения. Однако, это утверждение относится только к установившейся симметричной структуре. Если же в начальный момент времени структура несимметрична (рис. 10а), то хотя она и симметризуется со временем, превращаясь в изображенную на рис. 10б, до этой симметризации ее центр инерции движется криволинейно (рис. 10г). Это обстоятельство также подчеркивает важную связь характера движения с асимметрией.

Комплексы большего числа автосолитонов, слабо связанных в одном и том же комплексе синфазно и противофазно, показаны также на рис. 11 – 14. Стационарную конфигурацию, представленную на рис. 11, можно получить сложением двух треугольных структур вида рис. 10. Аналогична симметрия и прямолинейное движение вдоль оси зеркальной симметрии.

Использованное в последнем случае повторение «элементарной» трехсолитонной ячейки, представленной на рис. 10, может приводить к разнообразным фрагментам треугольной решетки. Так, представленный на рис. 12 комплекс отвечает конфигурации параллелограмма, у которого короткие стороны отвечают противофазным парам автосолитонов типа рис. 5, а более длинные – синфазным парам типа рис. 7. Распределения интенсивности (рис. 12а) и потоков энергии излучения (рис. 12в) имеют центр симметрии, но осей зеркальной симметрии нет. Поэтому центр инерции комплекса неподвижен, но комплекс вращается с фиксированной угловой скоростью.

Рис. 10. Распределение интенсивности (а, б), поток энергии излучения (в) и траектория центра инерции (г) комплекса трех фундаментальных автосолитонов. На портрете потоков особые точки F – фокусы. Установившемуся режиму отвечают (б, в). Начальное распределение интенсивности (а) асимметрично, ввиду чего начальный участок траектории (г) криволинеен

Рис. 11. Распределение интенсивности (а) и фазы (б) для шести слабо связанных фундаментальных автосолитонов. Фазы автосолитонов в центральном ряду совпадают друг с другом и отличаются на π от фаз автосолитонов в левом и правом рядах. Комплекс имеет одну ось зеркальной симметрии и движется прямолинейно вдоль этой оси (стрелка)

Рис. 12. Распределение интенсивности (а), фазы (б) и потоков энергии излучения (в) для комплекса четырех слабо связанных фундаментальных автосолитонов в конфигурации параллелограмма. Солитоны, расположенные по коротким сторонам параллелограмма, противофазны, а по длинным – синфазны. Ввиду центральной симметрии центр инерции неподвижен, а комплекс вращается с фиксированной угловой скоростью (стрелка)

Рис. 13. Распределение фазы (а, в) и интенсивности (б) для пяти слабо связанных фундаментальных автосолитонов. В случае (а) реализуется центральная симметрия без осей зеркальной симметрии и структура вращается. В конфигурации центрированного квадрата (б, в) фаза автосолитона в центре отличаются на π от фаз автосолитонов в углах квадрата, комплекс имеет две оси зеркальной симметрии и потому неподвижен

На рис. 13 представлены два комплекса из пяти слабо связанных фундаментальных автосолитонов. В случае рис. 13а имеет место центральная симметрия, а осей зеркальной симметрии нет, ввиду чего центр инерции комплекса неподвижен и он вращается с постоянной угловой скоростью. Еще один пример стационарного (неподвижного ввиду наличия двух осей зеркальной симметрии) комплекса в конфигурации центрированного квадрата с центральным автосолитоном, противофазным расположенным в углах квадрата автосолитонам, приведен на рис. 13б, в. Отметим также пример равномерно вращающегося комплекса шести слабо связанных фундаментальных автосолитонов, представленный ниже на рис. 38 (правый ряд).

Приведенные выше примеры относились к стационарным установившимся структурам, причем мы видели, что начальное нарушение симметрии приводит к криволинейности движения (рис. 10г). Однако, автосолитоны и их стационарные комплексы устойчивы только в определенном диапазоне параметров, а при выходе из этого диапазона они обычно осциллируют (бифуркация Андронова-Хопфа). Можно задать вопрос о сохранении связи симметрии с движением для возникающих нестационарных структур. Положительный ответ дает рис. 14, где изображена структура, периодически осциллирующая при сохранении двух осей зеркальной симметрии и потому не движущаяся в целом поступательно и не вращающаяся.

Рис. 14. Распределение интенсивности (а, б) в два момента времени, разделенные интервалом , и фазы (в) для периодически осциллирующего (с периодом T = 24) комплекса четырех слабо связанных фундаментальных автосолитонов с квадратной конфигурацией. Ввиду сохранения двух осей симметрии даже в процессе временных изменений структура неподвижна

«Шахматные решетки». В этот обширный класс помещены устойчивые комплексы, в которых автосолитоны расположены в шахматном порядке с разностью фаз ближайших соседних солитонов. Число «строк» и «столбцов» в комплексе может различаться. Примеры «идеальных шахматных решеток» приводятся на рис. 15. Все они неподвижны ввиду наличия двух осей зеркальной симметрии.

Структура волнового фронта этих комплексов, вообще говоря, нетривиальна, и ее затруднительно выявить численно ввиду быстрого убывания поля солитонов на их периферии. Однако возможно приближенное рассмотрение для решетки с достаточно большим числом слабо взаимодействующих солитонов, если пренебречь искажениями самой решетки вследствие взаимодействия и отклонениями от принципа суперпозиции полей индивидуальных солитонов. Точнее, нам потребуется менее жесткое условие одинаковости радиальных зависимостей полей в (15) при . Рассмотрим суммарное поле в междоузлии – центре элементарной ячейки с длиной стороны a, представляющей собой квадрат с солитонами, расположенными в его углах. Просуммировать поля в (15) удобнее по слоям – наборам солитонов, расположенных на одинаковом расстоянии от междоузлия. Радиусы окружностей, проходящих через узлы-солитоны, , где m и n – целые положительные числа. При в слое находятся 4 узла решетки, а при узлов 8. С ростом m и n радиус быстро возрастает и, соответственно, вклад солитонов слоя в поле в центре существенно ослабевает. Нетрудно видеть, что при суммировании в пределах каждого слоя поле в самом междоузлии обращается в нуль (с учетом противофазности соседних солитонов). Более того, в разложении Тейлора поля вблизи междоузлия в нуль обращаются и линейные по отклонениям от междоузлия (x и y) члены. Поэтому случай междоузлий является вырожденным. Указанное разложение Тейлора начинается с квадратичных членов (вклад полей ближайшего слоя):

, (16)

где штрихи означают производные по r, вычисляемые при . В соответствии с (16) в распределении интенсивности просматривается темный крест (интенсивность обращается в нуль на линиях x = 0 и y = 0). Фаза же полного поля в окрестности междоузлия примерно постоянна, , где и . Поэтому в (малой) окрестности междоузлий бесконечной решетки оптических вихрей нет.

В связи с вырожденностью ситуации здесь важен учет дефектов решетки. Такими дефектами могут служить края решетки и вакансии – отсутствие одного или нескольких автосолитонов в решетке или присутствие «лишних» автосолитонов. В этих случаях для поля в окрестности междоузлия в (15) нужно добавить поле дефектов , для которого достаточно использовать разложение Тейлора с линейными по отклонениям членами . Теперь для отыскания нулей поля имеем два уравнения

(17)

где индексы r и i обозначают вещественную и мнимую части. Из (17) следует линейное соотношение между x и y

, (18)

с учетом которого (17) сводится к квадратному уравнению

. (19)

В зависимости от знака дискриминанта либо имеются два вещественных решения, что отвечает паре вихрей (D < 0), либо вещественные решения отсутствуют (D > 0), и тогда в окрестности междоузлия интенсивность положительна, что исключает наличие оптических вихрей. Для дефектов в виде границ решетки в силу соображений симметрии и реализуется первый вариант – образование в окрестности междоузлия пары близких вихрей. Оценки показывают, что этот же вариант возникает и для дефекта в виде одиночной вакансии (при этом ). Следует отметить, что в данном случае ввиду близости вихрей они не оказывают заметного влияния на динамику комплекса.

Рис. 15. Поперечное распределение интенсивности (а, в, д) и фазы (б, г, е) для «идеальных шахматных структур», в которых соседние автосолитоны противофазны. Структуры неподвижны из-за наличия двух осей зеркальной симметрии

«Шахматные структуры с вакансией». Нарушить симметрию можно внесением вакансии – изъятии одного или нескольких автосолитонов. Расчеты показывают, что структуры лучше сохраняются при изъятии внутренних автосолитонов. На рис. 16 показаны такие структуры, которые после изъятия одного автосолитона сохраняют одну ось зеркальной симметрии. Соответственно, они движутся с постоянной скоростью вдоль этой оси.

В шахматную структуру достаточно больших размеров вакансию можно внести и асимметрично. Такая структура без элементов симметрии показана на рис. 17. Оказывается, что она вращается, а ее центр инерции движется по кругу. Периоды вращения и кругового движения совпадают (как при движении Луны вокруг Земли). Тем самым, в отсутствие симметрии движение центра инерции криволинейно.

Рис. 16. Начальное (а) и конечное (б, в) распределение интенсивности и фазы (г) для двух шахматных структур с симметричной вакансией

Рис. 17. Поперечное распределение интенсивности (а) и фазы (б) и траектория центра инерции (в) шахматной структуры с асимметрично расположенной вакансией

3.2. Вихревые солитоны с одинаковым топологическим зарядом

Синфазная пара одинаковых вихревых солитонов. Анализ комплексов слабо связанных вихревых солитонов начнем со случая одинаковых топологических зарядов всех солитонов (). Установившуюся пару (K = 2) таких солитонов иллюстрирует рис. 18. Существенно, что устойчивыми оказываются теперь пары синфазных солитонов (фазы двух солитонов близки, ). Распределения интенсивности и потоков энергии (фокусы в центрах основных вихрей на рис. 18 и далее не указываются) обладают центральной симметрией, оси зеркальной симметрии отсутствуют. Поэтому центр инерции этой пары неподвижен, а сама она вращается с постоянной угловой скоростью. Таким образом, устойчивые вращающиеся структуры возникают уже в случае двух слабо связанных вихревых солитонов. Отличие от выводов работы [9], в которой пары вихревых солитонов считаются неустойчивыми и для вращения требуется как минимум три солитона, связано с тем, что в [9] рассматривались только пары противофазных вихревых солитонов (разность их фаз близка к ), которые действительно не образуют устойчивого комплекса.

Рис. 18. Поперечное распределение интенсивности (а), фазы (б) и потоков энергии излучения (в) для синфазной пары двух вихревых автосолитонов с совпадающими топологическими зарядами. Распределения (а) и (в) обладают центральной симметрией, ввиду чего центр инерции пары неподвижен, а сама она вращается с постоянной угловой скоростью

С увеличением числа автосолитонов K разнообразие комплексов возрастает. Уже для трех автосолитонов возможны как «линейные молекулы» (цепочки), так и различные треугольные конструкции. Пример вращающейся линейной цепочки с центральной симметрией, составленной из трех синфазных вихревых автосолитонов, представлен на рис. 19.

Рис. 19. Цепочка слабо связанных синфазных вихревых автосолитонов с совпадающими топологическими зарядами . Ввиду центральной симметрии центр инерции цепочки неподвижен, а сама цепочка вращается с фиксированной угловой скоростью

Три вихревых солитона с одинаковыми топологическими зарядами, помимо линейной цепочки, могут образовывать и ряд «треугольных» конструкций. Здесь мы приведем три таких конструкции, обладающие симметрией второго типа (по отношению к повороту на угол ), но не имеющие осей зеркальной симметрии, см. также [9]. Ввиду этого эти конструкции вращаются при неподвижном центре инерции.

Cлабосвязанное состояние с симметрией к повороту (ось третьего порядка), но без осей зеркальной симметрии, мы сконструируем из трех одиночных установившихся вихрей с единичным топологическим зарядом. Из соображений симметрии следует, что такое устойчивое состояние может только вращаться без одновременного поступательного движения. Последующая проверка устойчивости такой конструкции с помощью решения управляющего уравнения (1) позволит определить скорость и направление вращения.

Требование симметрии распределения интенсивности комплекса заставляет разместить центры вихревых автосолитонов с разностью полярных углов (см. рис. 20-22). Требование симметрии потоков энергии фиксирует одинаковую разность фаз между двумя соседними вихрями. Последняя величина неоднозначна и может быть равна трем значениям, , что дает три возможных типа связанных состояний (соответственно, рис. 20, 21 и 22). Чтобы более подробно рассмотреть отличия между комплексами вихревых автосолитонов, определим положение дополнительных «интерференционных» вихрей, возникающих между основными в результате сложения полей. На картинах потоков энергии они проявляются в виде дополнительных фокусов, , с входящими в них сепаратрисами седел S. Приблизительное расположение дополнительных вихрей можно определить, складывая асимптотики полей вихревых автосолитонов, при этом достаточно учесть влияние только наиболее близко расположенных автосолитонов. В нашем случае дополнительные вихри могут появиться только в центре симметрии, и на трех прямых линиях, выходящих из центра и проходящих от двух соседних вихрей на одинаковом расстоянии. В случае синфазного сложения ( рис. 20), в результате парного взаимодействия, как и на рис. 18, дополнительные вихри с противоположным зарядом () появляются на прямых линиях, соединяющих соседние автосолитоны. Топологический заряд вихря, возникающего в центре симметрии, нетрудно получить, учитывая изменение асимптотики при обходе центра по замкнутой круговой линии. Такое рассмотрение показывает, что для синфазной конфигурации (рис. 20) заряд в центре симметрии (фокус на рис. 20в), а для трех дополнительных вихрей, расположенных между центрами автосолитонов (фокусы на рис. 20в) заряд противоположного знака. Вращение всего синфазного комплекса происходит против часовой стрелки, в направлении возрастания фазы в окрестности центрального вихря. Скорость вращения синфазного комплекса – наибольшая из трех вариантов, что можно связать с конфигурацией дополнительных вихрей в виде “мельницы” (ср. с “мельницой” из трех вихрей на рис. 12).

В случае сложения солитонов с разностью фаз , рис. 21, дополнительные вихри могли бы появиться в центре комплекса, но там мы должны учитывать наложение полей всех трех автосолитонов. В результате оказывается, что в центре расположен один отрицательно заряженный вихрь, других дополнительных вихрей нет. Направление вращения такого комплекса – по часовой стрелке, в сторону увеличения фазы центрального вихря. Скорость вращения существенно меньше, чем в синфазном комплексе.

При сложении полей автосолитонов с разностью фаз (рис. 22) дополнительные вихри, возникающие в результате парного взаимодействия автосолитонов, должны появляться на периферии комплекса. Они не показаны на рис. 22в, поскольку там интенсивность излучения весьма мала, что существенно уменьшает точность определения фазы. В центре симметрии вихрь отсутствует (как видно из рис. 22в, там расположен узел , представляющий максимум фазы), однако комплекс вращается против часовой стрелки, как и синфазный комплекс, но со сравнительно малой скоростью. Основной вклад в асимметрию, приводящую к вращению, в этом случае вносят периферийные дополнительные вихри.

Рис. 20. Распределение интенсивности (а), фазы (б) и потоков энергии излучения (в) для вращающегося синфазного комплекса трех вихревых автосолитонов с совпадающими топологическими зарядами

Из вихревых солитонов с одним и тем же топологическим зарядом также можно строить фрагменты решеток. Примеры таких комплексов, обладающих центральной симметрией и потому вращающихся при неподвижном центре инерции, представлены на рис. 23 и 24.

Рис. 21. То же, что на рис. 20, при разности фаз между автосолитонами

Рис. 22. То же, что на рис. 20 и 21, при разности фаз между автосолитонами

Рис. 23. Вращающийся комплекс четырех синфазно слабо связанных вихревых солитонов с топологическим зарядом 1; ввиду центральной симметрии центр инерции комплекса неподвижен

Рис. 24. Вращающийся комплекс семи синфазно слабо связанных вихревых солитонов с топологическим зарядом 1; ввиду центральной симметрии центр инерции комплекса неподвижен

Синфазная пара вихревых солитонов с противоположными зарядами.

Теперь приведем примеры комплексов слабо связанных вихревых солитонов с противоположными знаками топологического заряда. Установившаяся пара синфазных солитонов с топологическими зарядами и представлена на рис. 25. В этом случае распределения интенсивности и вектора Пойнтинга имеют только одну ось симметрии, ввиду чего комплекс не вращается и движется вдоль этой оси с постоянной скоростью. Заметим, что в терминах нелинейной динамики структура потоков энергии негрубая (вырожденная). Вся ось симметрии отвечает неподвижным точкам, в одну из которых входят две линии (вырожденное седло). Качественно структура фазовой плоскости вблизи оси симметрии такая же, как для отвечающей следующей модельной системе уравнений:

Рис. 25. Поперечные распределения интенсивности (а), фазы (б) и потоков энергии (в) для пары синфазных автосолитонов с противоположными знаками топологических зарядов («диполь»). Распределения (а) и (в) обладают одной осью зеркальной симметрии, ввиду чего эта пара движется прямолинейно с постоянной скоростью вдоль оси симметрии (показана стрелкой)

, (20)

где n – постоянная. Для этой системы фазовая плоскость состоит из линий вида

. (21)

При С = 0 это оси x и y, а при – гиперболы n-го порядка. Вырожденность ситуации не противоречит ее устойчивости, то есть физической реализуемости, она вызвана устойчивостью симметричной структуры. Если в начальный момент времени в распределение поля внести малую асимметрию, то вырождение снимется, но со временем эта асимметрия будет ослабевать, а вся структура приближаться к вырожденной.

Устойчивыми оказываются и комплексы с б’ольшим числом солитонов с различными знаками топологического заряда. Такой фрагмент прямоугольной решетки, составленной автосолитонами с противоположным направлением вращения потоков энергии, показан на рис.26.

Рис. 26. Распределение интенсивности (а) и фазы (б) для фрагмента квадратной решетки, формируемой вихревыми автосолитонами с топологическими зарядами +1 и -1. Фазы солитонов в верхнем ряду совпадают и сдвинуты на π по сравнению с (совпадающей) фазой автосолитонов нижнего ряда. Комплекс неподвижен ввиду наличия двух осей зеркальной симметрии

3.3. Некогерентная связь лазерных солитонов

Как мы видели, взаимодействие автосолитонов друг с другом существенно определяется разностью их фаз. Это обстоятельство могло бы привести к выводу о невозможности связанных состояний двух автосолитонов с заметно отличающимися частотами, поскольку разность их фаз не постоянна, а приблизительно линейно меняется со временем. Однако, в данном разделе мы продемонстрируем устойчивые слабо связанные состояния двух пространственных лазерных солитонов с различающимися топологическими зарядами и, соответственно, собственными частотами.

В случае пар автосолитонов с различающимися по модулю топологическими зарядами суперпозиция их полей отвечает приблизительно бигармоническому (двухчастотному) полю

, (22)

где

. (23)

Медленная зависимость от времени t отвечает движению солитонов с малой относительной скоростью и соответствующему передвижению систем координат . В этом случае поперечный поток энергии (вектор Пойнтинга) включает постоянный (не зависящий от времени) член и интерференционный член с биениями на разностной частоте :

, ,

. (24)

Динамика солитонов определялась численным решением (1), (2) при следующих значениях параметров: d = 0.06, g0 = 2.11, a0 = 2, b = 10. При этом начальное условие для поля задавалось в виде суперпозиции полей индивидуальных солитонов (23) с определенным расстоянием между солитонами (значение начальной разности фаз солитонов непринципиально ввиду сравнительно быстрого ее изменения со скоростью частоты биений). Расчеты для пары с нулевым и единичным топологическими зарядами () приводят к следующим выводам.

При начальном расстоянии между центрами солитонов они начинают сближаться (вообще говоря, немонотонно) и сливаются в двух - или трехгорбую структуру с единичным топологическим зарядом, которая постепенно трансформируется в фундаментальный солитон с осесимметричным распределением интенсивности и зарядом (при принятых параметрах асимметричные n-горбые солитоны не существуют).

При начальном расстоянии между центрами солитонов в интервале формируется связанная двухсолитонная структура (рис. 27). Биения потоков энергии (24) приводят, главным образом, к периодическим осцилляциям расстояния между солитонами (для невзаимодействующих солитонов это расстояние было бы произвольным). Период осцилляций отвечает частоте биений, . Среднее за период расстояние между солитонами , а амплитуда осцилляций расстояния . На рис. 27 приводится также мгновенное распределение фазы поля, поскольку это распределение непрерывно меняется из-за наличия частоты биений. Игнорируя слабые осцилляции, в соответствии с (22) можно приближенно говорить о том, что разность фаз солитонов со временем растет линейно, . Хотя в каждый момент времени структура асимметрична, вращение структуры в целом и движение ее центра инерции практически отсутствуют (в расчетах наблюдается медленное движение со скоростями на уровне погрешностей вычислений). Это можно связать с периодическим изменением фазовых соотношений. Из-за этого обстоятельства при усреднении за период осцилляций определяющей взаимодействие солитонов переменной части вектора Пойнтинга (24) она обращается в нуль.

При начальном расстоянии между центрами солитонов они начинают отталкиваться и расходиться. На больших расстояниях () взаимодействие солитонов столь слабо, что не обнаруживается при имеющейся точности расчетов. Тем самым, для усредненного за период колебаний расстояния между центрами солитонов имеется одно устойчивое равновесное значение () и два неустойчивых (25.7 и 28.5).

Таким образом, в настоящем разделе продемонстрировано устойчивое связанное состояние двух лазерных солитонов с различающимися собственными частотами, что исключает поддержание определенных значений разности фаз солитонов. Этот случай существенно отличается от рассматривавшихся ранее. Хотя разность частот индивидуальных солитонов приводит к осцилляциям (биениям) расстояния между солитонами и их формы, глубина модуляции весьма мала (случай слабой связи солитонов). По-видимому, установление такой некогерентной связи можно интерпретировать как эффект выпрямления осцилляций, поскольку возникающие в высших порядках теории возмущений [17] квадратичные по перекрытию солитонов члены будут уже содержать и постоянную по времени составляющую. Найденный эффект делает также возможной постановку вопроса о связанных состояниях некогерентных оптических солитонов [3].

Рис. 27. Мгновенное распределение интенсивности (а) и фазы (б) для осциллирующей с малой глубиной модуляции пары слабо связанных фундаментального и вихревого автосолитонов. Усреднение асимметрии за период модуляции приводит к отсутствию регулярного движения и вращения пары

4.  Сильное и смешанное взаимодействие лазерных солитонов

Напомним, что критерием слабого взаимодействия автосолитонов в предыдущем разделе было сохранение их индивидуальных замкнутых линий в портрете потоков энергии излучения. Однако, даже если в некоторый начальный момент времени это и имеет место, в процессе дальнейшей эволюции автосолитоны могут сближаться и индивидуальные замкнутые линии могут утрачиваться вследствие бифуркаций. В данном разделе мы рассматриваем именно такие варианты и вновь обращаем внимание на соотношение симметрии структуры и ее движения.

4.1. Сильная связь вихревых автосолитонов

Задавая начальное состояние поля по-прежнему в виде суперпозиции полей индивидуальных лазерных солитонов (15), но с другими значениями параметров, чем в случае слабой связи (меньшие расстояния между солитонами), можно найти решения (1) и (2) в виде разнообразных сильно связанных структур. На рис. 28 иллюстрируется сильно связанная пара вихревых автосолитонов с совпадающими топологическими зарядами . Отметим, что в портретах потоков энергии каждый из центров двух вихрей окружен только одним индивидуальным предельным циклом, тогда как при слабой связи, в том числе в начале процесса установления этой структуры, таких циклов было три. Кроме того, возникли два общих для обоих вихрей предельных цикла, охватывающих оба вихря. Перестройка портрета потоков происходит в виде последовательных бифуркаций [18].

Как видно из рис. 28, поперечные распределения интенсивности и потоков энергии излучения имеют центральную симметрию, но осей зеркальной симметрии нет. Поэтому, в соответствии с общим утверждением, центр инерции такой пары неподвижен, а сама она вращается (с постоянной угловой скоростью). Разность фаз двух вихрей близка к π. Эту структуру можно наращивать, выстраивая линейные цепочки сильно связанных одинаковых вихрей, см. рис. 29. Цепочки также обладают только центральной симметрией и вращаются при неподвижном центре инерции.

Рис. 28. Поперечное распределение интенсивности (а), фазы (б) и потоков энергии излучения (в) для пары сильно связанных вихревых автосолитонов с совпадающим топологическим зарядом. Распределения (а) и (в) обладают центром симметрии, осей зеркальной симметрии нет, ввиду чего центр инерции пары неподвижен, а пара вращается с постоянной угловой скоростью

Рис. 29. Поперечное распределение интенсивности (верхний ряд) и фазы (нижний ряд) для цепочек сильно связанных вихревых автосолитонов с совпадающим топологическим зарядом, получаемых присоединением вихревого солитона (крайний левый ряд) к цепочке меньшей длины. Ввиду центральной симметрии цепочек они вращаются при неподвижном центре инерции

Рис. 30. Поперечное распределение интенсивности (а), фазы (б) и потоков энергии излучения (в) для трех сильно связанных вихревых автосолитонов с одинаковыми топологическими зарядами. Ввиду отсутствия элементов симметрии центр инерции структуры движется по круговой траектории; d = 0.25

«Треугольная» конфигурация сильно связанных трех одинаковых вихревых солитонов (рис. 30) уже не обладает элементами симметрии. Поэтому эта структура не только вращается, но и ее центр инерции движется криволинейно.

Рис. 31. Поперечное распределение интенсивности (а), потоки энергии излучения (в) и траектория центра инерции (б) сильно связанной пары вихревых автосолитонов с противоположными топологическими зарядами (элементы симметрии отсутствуют)

Для сильно связанной пары вихревых автосолитонов с противоположными по знаку топологическими зарядами («диполь») отсутствуют не только оси зеркальной симметрии, но и центральная симметрия (рис. 31). Ввиду этого центр инерции структуры движется по круговой траектории (в), а сама пара вращается, причем периоды этих двух движений совпадают (уже встречавшийся нам в случае слабой связи тип движения как у Луны вокруг Земли).

Рис. 32. Поперечное распределение интенсивности (а) и круговая траектория центра инерции асимметричной сильно связанной пары двух вихревых автосолитонов с различным числом радиальных осцилляций интенсивности

Аналогичное отсутствие симметрии и тот же тип движения наблюдаются у сильно связанной пары вихревых автосолитонов с различным числом радиальных осцилляций интенсивности (рис. 32) и для более сложных цепочек сильно связанных вихревых автосолитонов с различными по знаку топологическими зарядами (рис. 33).

Рис. 33. Поперечное распределение интенсивности (а) и фазы (б) асимметричной цепочки сильно связанных вихревых автосолитонов с топологическими зарядами -1, 1 и 1

4.2. Смешанная связь вихревых автосолитонов

В комплексах автосолитонов некоторые из них могут быть связаны сильно, а другие – слабо. В этом случае можно говорить о смешанной связи автосолитонов. В этом разделе мы представим не имеющие аналогов среди других типов солитонов «планетарные» системы лазерных автосолитонов с таким типом связи. Более подробное изложение содержится в [12, 13].

На рис. 34 представлен устойчивый комплекс, состоящий из «ядра» – вращающейся сильно связанной пары двух вихревых автосолитонов с

Рис. 34. Мгновенные распределения интенсивности (верхний ряд) и фазы (нижний ряд) для планетарной системы, состоящей из «ядра» – сильно связанной пары вихревых автосолитонов – и еще одного вихревого автосолитоны – «сателлита», вращающегося вокруг «ядра». Справа – траектория центра инерции всей системы

одинаковыми топологическими зарядами, как на рис. 28, и «сателлита» – вихревого солитона с тем же зарядом, слабо связанного с ядром и вращающегося вокруг него. Периоды двух вращений сильно различаются (ядро вращается примерно в 10 раз быстрей). Поэтому эта система существенно нестационарна. Однако, ввиду нелинейного взаимодействия в определенном диапазоне параметров периоды двух вращений синхронизуются так, что их отношение равно отношению двух целых чисел. Естественно, что мгновенные распределения интенсивности и потоков не обладают элементами симметрии, так что центр инерции движется криволинейно. Однако, траектория его движения, ввиду указанной синхронизации, состоит из ряда сегментов, получающихся друг из друга поворотом на некоторый угол (рис. 34, справа). С точностью до погрешностей вычислений траектория замыкается. Регулярного поступательного движения всей системы здесь нет, так как средняя за обход полного витка траектории асимметрия отсутствует.

На рис. 34 мы показываем тоже устойчивую «планетарную» систему, но теперь включающую два «сателлита», слабо связанные с «ядром» и обращающиеся вокруг него. В установившемся режиме сателлиты располагаются в противоположных направлениях от ядра, что эффективно симметризует систему. В результате центр инерции комплекса оказывается практически неподвижным. Если же в начальный момент времени сдвинуть один из сателлитов, то со временем их противостояние восстанавливается (рис. 36), что подтверждает устойчивость системы. Отметим, что ввиду удаленности сателлитов и быстрого убывания поля отдельных автосолитонов сателлиты взаимодействую друг с другом не непосредственно, а через ядро (сателлит индуцирует искажения ядра, которые «ощущаются» другим сателлитом).

Рис. 35. Мгновенные распределения интенсивности (верхний ряд) и фазы (нижний ряд) для планетарной системы с двумя «сателлитами»

Рис. 36. Поперечные распределения интенсивности в моменты времени, указанные на рисунках, иллюстрирующие восстановление противостояния сателлитов

5.  Столкновения лазерных комплексов

Как мы видели выше, в невырожденном случае (ненулевой коэффициент эффективной диффузии) простейшие симметричные автосолитоны неподвижны, а их асимметричные комплексы, обладающие осью зеркальной симметрии для распределений интенсивности и потока энергии, движутся прямолинейно со скоростями, модуль которых принимает определенные дискретные значения. Соответственно, возникает вопрос о столкновениях таких движущихся комплексов. Задачей настоящего раздела служит анализ столкновений наиболее простых движущихся комплексов лазерных солитонов, сформированных слабой связью солитонов. В то же время при столкновениях при достаточном сближении комплексов связь солитонов может становиться и сильной, что приводит к большому разнообразию сценариев столкновений. Здесь мы ограничимся анализом столкновений комплексов слабо связанных солитонов, которые по-отдельности (на больших расстояниях друг от друга) обладают осью зеркальной симметрии распределений интенсивности и потоков энергии и потому движутся прямолинейно с постоянной скоростью. Параметры в (1) и (2) выбраны теми же, что и ранее (d = 0.06, g0 = 2.11, a0 = 2, b = 10).

Мы будем рассматривать столкновения комплексов двух типов. Первый тип составлен из автосолитонов с нулевым топологическим индексом. Простейший движущийся прямолинейно комплекс такого типа состоит из трех беззарядовых солитонов, см. рис. 10. Одиночный комплекс движется вдоль оси симметрии со скоростью v = 0.07 (при указанных выше параметрах).

Второй тип рассматриваемых комплексов отвечает слабо связанным вихревым солитонам (с ненулевым топологическим индексом). Здесь прямолинейное движение реализуется уже для пары вихревых солитонов с противоположными топологическими зарядами и –1 (рис. 25). Для такой пары единственная зеркальная ось симметрии распределений интенсивности и потоков энергии ортогональна линии, соединяющей центры вихрей, и скорость движения комплекса вдоль этой оси при выбранных параметрах составляет v = 0.025.

Первоначально комплексы расположены на значительном расстоянии друг от друга (по сравнению с характерной величиной – шириной одиночного солитона), перекрытие их полей отсутствует, комплексы не взаимодействуют и движутся независимо со скоростью, фиксированной по модулю, но направленной произвольно. Если минимальное расстояние сближения комплексов будет превышать ширину солитона, то результатом столкновения будет служить только слабое изменение траекторий комплексов и их разности фаз. Нас будут интересовать случаи более сильного взаимодействия. В связи с большим разнообразием сценариев столкновений ограничимся здесь вариантами антипараллельного движения исходных комплексов (их начальные скорости направлены противоположно, для одного комплекса – в положительном направлении оси x, а для другого – в отрицательном направлении той же оси x). Поле второго комплекса получается из поля первого комплекса операцией центральной симметрии с дополнительным сдвигом фазы на величину :

. (25)

Тогда, при выбранном типе комплексов, результат столкновения определяется прицельным расстоянием p (расстоянием по оси x между центрами инерции первого и второго комплексов) и исходной разностью фаз . Заметим, что при распределения интенсивности и потоков энергии, даже с учетом слабого перекрытия полей комплексов, обладают центральной симметрией, поэтому в этом случае в отсутствие флуктуаций центр инерции всей структуры поля должен оставаться неподвижным. Для произвольных значений разности фаз это утверждение справедливо при возможности пренебрежения перекрытием полей исходных комплексов.

Начнем демонстрацию различных сценариев столкновения солитонных комплексов со случая антипараллельного столкновении незаряженных треугольных комплексов с нулевой разностью фаз. При лобовом столкновении (p = 0) наблюдается распад на пять симметрично расположенных незаряженных несвязанных солитонов, четыре из которых синфазны и расположены в углах параллелограмма, а пятый – в его центре и обладает фазой, сдвинутой на . После столкновения с прицельным параметром p = 10 (рис. 37) формируется параллелограмм из четырех несвязанных солитонов. При увеличении прицельного параметра до значения p = 20 результатом столкновения является «цепочка» из трех линейно расположенных несвязанных незаряженных солитонов. Расчеты показывают, что в этом варианте при не слишком больших прицельных расстояниях результатом столкновения является распад на меньшее, по сравнению с исходным, число симметрично расположенных несвязанных незаряженных солитонов.

Другой набор сценариев получается в случае столкновения тех же треугольников, но с противоположными фазами (). Так, при лобовом столкновении сталкивающиеся треугольники просто останавливаются и стоят, упершись вершинами, образуя новый комплекс шести слабо связанных солитонов (рис. 38). При прицельном расстоянии p в диапазоне примерно от 2 до 9 мы получаем в итоге четыре невзаимодействующих осколка столкновения – два одиночных и две пары связанных вихрей с противоположными зарядами при сохранении центральной симметрии картины. При значениях p = 10, 20, 30 и 35 получаем вращающуюся Z-образную структуру из шести солитонов с периодом около 1370 (рис. 39). А при значении p = 25 в результате столкновения образуется движущийся треугольник, сформированный из солитонов двух исходных треугольников, и два одиночных несвязанных солитона. При p > 36 сталкивающиеся треугольники почти не взаимодействуют.

Теперь рассмотрим столкновения пар солитонов с противоположным знаком топологического заряда, ограничившись случаем нулевой разности фаз двух пар (). Как указывалось выше, такая одиночная пара движется прямолинейно с постоянной скоростью. При малых прицельных параметрах вплоть до р = 10 в итоге образуется весьма устойчивый квадрат слабо взаимодействующих солитонов с противоположными зарядами типа изображенного на рис. 26. При увеличении прицельного параметра р до 11-12 сталкивающиеся пары вступают в сильное взаимодействие, которое заканчивается в итоге формированием одиночного незаряженного солитона. Такой же сценарий реализуется и при б’ольших значениях прицельного расстояния, таких как 23 и 28, а также, например, при р = 20 и (рис. 40).

Другой характерный сценарий реализуется при прицельных параметрах р = 14, 15, 19, 21 и 38, когда результатом сильного взаимодействия сталкивающихся пар является образование одиночного заряженного солитона. А при прицельном параметре 33 после столкновения образуется пара противоположно заряженных солитонов (рис. 41). Иногда реализуются и другие сценарии, когда происходит расплывание генерации на все поперечное сечение (р = 16.5 – 17) или полное слипание всех взаимодействующих солитонов с последующим исчезновением генерации во всем поперечном сечении (р = 20 и 40).

Таким образом, в отсутствие взаимодействия комплексов они движутся прямолинейно ввиду зеркальной симметрии распределений интенсивности и потоков энергии. Численные расчеты выполнены для случая антипараллельного движения исходных (далеко разнесенных) комплексов, когда результат столкновения комплексов фиксированного типа определяется только двумя параметрами – прицельным расстоянием и исходной разностью их фаз. Значения обоих этих параметров существенно влияют на характер столкновения. Продемонстрированы различные режимы столкновений, в том числе с перестройкой структуры комплексов, сопровождающейся их полным или частичным развалом (фрагментацией), формированием единой неподвижной структуры со слабой связью всех солитонов, вращающихся структур, с изменением числа солитонов.

Рис. 37. Столкновение двух треугольных солитонных комплексов с нулевой разностью фаз () с прицельным параметром p = 10. Здесь и далее на черном фоне приводится поперечное распределение фазы поля, а на сером фоне – распределение интенсивности в моменты времени, указанные внутри изображения

Рис. 38. Лобовое столкновение двух движущихся треугольников с противоположными фазами ()

Рис. 39. Столкновение движущихся треугольников с формированием вращающейся структуры, , p = 10

Рис. 40. Распределения интенсивности для случая столкновения заряженных пар солитонов при , р = 20 и . Знаки «+» и «–» указывают знак топологического заряда составляющих комплексы индивидуальных солитонов

Рис. 41. Столкновение заряженных пар солитонов при и р = 33

6.  Заключение

В данном обзоре приведены результаты анализа комплексов двумерных (авто)солитонов в лазерных схемах класса А с насыщающимся поглощением. Существенную роль в анализе играют топология потоков энергии излучения и симметрия распределений интенсивности и потоков. В зависимости от топологии потоков связь автосолитонов может быть слабой, сильной и смешанной. Симметрия комплекса определяет характер движения. Оказывается, что даже в случае слабой синфазной связи фундаментальных автосолитонов, когда дислокации волнового фронта отсутствуют, возможно криволинейное движение центра инерции комплекса, что наиболее ярко демонстрирует роль симметрии. В случае вихревых солитонов [19] или же асимметричного расположения вторичных (интерференционного характера) дислокаций волнового фронта степень асимметрии может существенно увеличиваться.

Представленные результаты могут быть важными в области оптической обработки информации [6]. Экспериментально наиболее перспективными представляются полупроводниковые микрорезонаторы с квантовыми ямами и точками [20]. Работа поддержана грантом Минобрнауки РНП.2.1.1.1189.

Список литературы

1. Автосолитон / Большая Российская энциклопедия, т. 1, с. 

2. , Автосолитоны. М.: Наука, 1991.

3. , Оптические солитоны. М.: Физматлит, 2005.

4. Розанов В. Е., Поперечная структура поля в нелинейных бистабильных интерферометрах. III. Зависимость профиля пучка от числа Френеля // Квантовая электроника. 1983. Т. 10. В. 11. С. .

5. , Автосолитоны в бистабильных интерферометрах // Опт. и спектр. 1988. Т. 65. В. 6. С. .

6. Rosanov N. N. Spatial Hysteresis and Optical Patterns. Berlin: Springer, 2002.

7. , Дифракционные волны переключения и автосолитоны в лазере с насыщающимся поглощением // Опт. и спектр. 1992. Т. 72. В. 6. С. 101-106.

8. Fedorov S. V., Rosanov N. N., Shatsev A. N., Veretenov N. A., Vladimirov A. G. Topologically multicharged and multihumped rotating solitons in wide-aperture lasers with a saturable absorber // IEEE J. Quantum Electron. 2003. V. 39. # 2. P. 197-205.

9. Skryabin D. V., Vladimirov A. G. Vortex induced rotation of clusters of localized states in the complex Ginzburg-Landau equation // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 89. # 4. P. 044101.

10. , С. В., Структура энергетических потоков и ее бифуркации для двумерных лазерных солитонов // ЖЭТФ. 2004. Т. 125. В. 3. С. 486-498.

11. Dissipative Solitons // N. Akhmediev and A. Ankiewicz. Lect. Notes Phys. V. 661 (Springer, Berlin 2005).

12. Rosanov N. N., Fedorov S. V., Shatsev A. N. Curvilinear motion of multivortex laser-soliton complexes with strong and weak coupling // Phys. Rev. Lett. 2005. V. 95. P. 053903.

13. Rosanov N. N., Fedorov S. V., Shatsev A. N. Two-dimensional laser soliton complexes with weak, strong, and mixed coupling // Appl. Phys. B. 2005. V. 81. # 7. P. 937-943.

14. , , Движение комплексов слабо связанных двумерных лазерных солитонов // ЖЭТФ. 2006. Т. 129. № 4. С. 625-635.

15. Rosanov N. N. Solitons in Laser Systems with Saturable Absorption. In Dissipative Solitons / N. Akhmediev and A. Ankiewicz. Lect. Notes Phys. V. 661 (Springer, Berlin 2005), p. 101-130.

16. http://www. /rosanovteam/

17. Gorshkov K. A., Ostrovsky L. A. Interactions of solitons in nonintegrable systems: Direct perturbation method and applications // Physica. 1981. V. 3D. P. 428-438.

18. , , Динамика установления сильной связи лазерных солитонов // Квантовая электроника. 2005. Т. 35. № 3. С. 268-272.

19. Desyatnikov A. S., Kivshar Y. S., Torner L. Optical vortices and vortex solitons // Progress in Optics, ed. E. Wolf. 2005. V. 47. P. 219-319.

20. Barland S., Tredicce J. R., Brambilla M., Lugiato L. A., Balle S., Giudici M., Maggipinto T., Spinelli L., Tissoni G., Knodel T., Muller M., Jager R. Cavity solitons as pixels in semiconductors // Nature (London). 2002. V. 419. P. 699-702.