Комплексные числа

Комплексные числа.

Введение

Начнем с нескольких напоминаний.

Одна из причин введения рациональных чисел обусловлена требованием, чтобы всякое линейное уравнение ax = b (где a 0) было разрешимо. В области целых чисел линейное уравнение разрешимо лишь в том случае, когда b делится нацело на a. Одна из причин расширения множества рациональных чисел до множества действительных чисел была связана с разрешимостью квадратных уравнений, например, уравнения вида x2 = 2. На множестве рациональных чисел это уравнение не разрешимо, так как среди рациональных нет числа, квадрат которого равен двум. Как известно,– число иррациональное. На множестве же действительных чисел уравнение x2= 2 разрешимо, оно имеет два решения x1 = и x2 = –.

И все же нельзя считать, что на множестве действительных чисел разрешимы все квадратные уравнения. Например, квадратное уравнение x2 = – 1 на множестве действительных чисел решений не имеет, так как среди действительных чисел нет такого числа, квадрат которого отрицателен.

Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это соображение приводит к необходимости вводить новые числа и расширять множество действительных чисел до множества комплексных чисел, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение. Множество действительных чисел недостаточно обширно, чтобы в нем были бы разрешимы все квадратные уравнения. Поэтому, расширяя множество действительных чисел до множества комплексных чисел, мы потребуем, чтобы в нем можно было бы построить полную и законченную теорию квадратных уравнений. Другими словами, мы расширим множество действительных чисел до такого множества, в котором можно будет решить любое квадратное уравнение. Так, уравнение x2 = – 1 не имеет решений во множестве действительных чисел потому, что квадрат действительного числа не может быть отрицательным. В новом числовом множестве оно должно иметь решение. Для этого вводится такой специальный символ i, называемый мнимой единицей, квадрат которого равен – 1.

Введение этого символа позволяет осуществить расширение множества действительных чисел, пополнив его мнимыми числами вида bi (где b – действительное число) таким образом, чтобы в новом числовом множестве (множестве комплексных чисел) при сохранении основных законов действительных чисел были разрешимы любые квадратные уравнения.

1.  Комплексные числа, их геометрическое представление

Определение. Комплексным числом z называется выражение

, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица,

которая определяется соотношением:

При этом число a называется действительной частью числа

z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0,

то число z будет действительным.

Определение. Числа и называются комплексно

сопряженными.

Определение. Два комплексных числа и

называются равными, если соответственно

равны их действительные и мнимые части:

Определение. Комплексное число равно нулю, если соответст-

венно равны нулю действительная и мнимая части.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Известно, что отрицательные числа были введены в связи с решением линейных уравнений с одной переменной. В конкретных задачах отрицательный ответ истолковывался как значение направленной величины (положительные и отрицательные температуры, передвижения в противоположных направлениях, прибыль и долг и т. п.). Однако еще в ХVI веке многие математики не признавали отрицательных чисел. Только с введением координатной прямой и координатной плоскости отчетливо проявился смысл отрицательных чисел, и они стали такими же «равноправными» и понятными, как и натуральные числа. Аналогично обстоит дело с комплексными числами. Смысл их отчетливо проявляется при введении их геометрической интерпретации.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу z = x + yi ставится в соответствие точка (x, y) координатной плоскости таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу, а коэффициент при мнимой части – ординату точки.

Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством комплексных чисел и множеством точек координатной плоскости. Подобным образом было установлено соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой.

На рисунке 1 изображена координатная плоскость. Числу 2 + 3i соответствует точка A(2, 3) плоскости; числу 2 – 3i – точка B(2, – 3); числу – 2 + 3i – точка C(– 2, 3); числу – 2 – 3i – точка D(– 2; – 3). Числу 3i соответствует точка E(0, 3); а числу – 3i – точка F(0, – 3). Итак, каждому комплексному числу соответствует единственная точка координатной плоскости и, обратно, каждой точке координатной плоскости соответствует единственное комплексное число, при этом двум различным комплексным числам соответствуют две различные точки координатной плоскости. Ясно, что действительным числам x + 0i соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым числам 0 + yi, где y 0 – точки оси ординат. Поэтому ось Oy называют мнимой, а ось Ox – действительной. Сопряженным комплексным числам и соответствуют точки, симметричные относительно оси абсцисс (рис. 2).

В некоторых случаях удобно считать вектор геометрическим изображением комплексного числа.

2. Модуль и аргумент комплексного числа.

φ

Рис.3

Точка координатной плоскости, соответствующая комплексному числу z = x + yi,

может быть указана по-другому: ее координатами могут быть расстояние r от начала координат и величина угла между положительной полуосью Ox и лучом Oz (рис. 3).

Расстояние r от начала системы координат до точки, соответствующей комплексному числу z, называют модулем этого числа. Тогда по теореме Пифагора (рис. 2) имеем:  r2 = x2 + y2 = (x + yi)(x – yi) = z•z.

Отсюда найдем модуль комплексного числа как арифметическое (неотрицательное) значение корня:

Если комплексное число z изображается точкой оси абсцисс (т. е. является действительным числом), то его модуль совпадает с абсолютным значением. Все комплексные числа, имеющие модуль 1, изображаются точками единичной окружности – окружности с центром в начале системы координат, радиуса 1 (рис. 4).

Угол между положительной полуосью Ox и лучом Oz называют аргументом комплексного числа z = x + yi (рис. 3).

Сопряженные комплексные числа и имеют один и тот же модуль   и аргументы, отличающиеся знаком:

В отличие от модуля аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Аргумент одного и того же комплексного числа может иметь бесконечно много значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 360°. Например, число z (рис. 3) имеет модуль r, аргумент же этого числа может принимать значения j; + 360°; + 720°; + 1080°; … или значения – 360°; –720°; – 1080°; … Данное значение модуля r и любое из приведенных выше значений аргумента определяют одну и ту же точку плоскости, соответствующую числу z.

Пример: Найти модуль и аргумент для комплексного числа

3.  Арифметические действия над комплексными числами.

Правило сложения и вычитания комплексных чисел.

( ) + () = () + ()i.

Например:

(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;

(– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;

(– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i =

= – 1 + 0i = – 1.

Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле:

( ) - () = () + ()i.

Например:

(5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i;

(3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.

Правило умножения комплексных чисел.

( ) () = () + ()i.

Таким образом операции сложения, вычитания и умножения над комплексными числами осуществляются так, как будто мы выполняем операции над многочленами, однако с условием, что i2 = – 1.

Действительно: ( ) () = = () + ()i.

Например, (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i;  (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.

Из второго примера следует, что результатом сложения, вычитания, произведения двух комплексных чисел может быть число действительное. В частности, при умножении двух комплексных чисел и , называемых сопряженными комплексными числами, в результате получается действительное число, равное сумме квадратов действительной части и коэффициента при мнимой части. Действительно:

()() = =

Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число.

Например:  5i•3i = 15i2 = – 15; – 2i•3i = – 6i2 = 6.

Деление комплексных чисел.

Деление комплексного числа на комплексное число0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле:

=+

Формула теряет смысл, если = 0, так как тогда = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается.

Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю.

Например,

4.  Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.

Пусть точке с координатами (x; y) соответствует комплексное число z = x + yi. Запишем это комплексное число через его модуль и аргумент. Воспользуемся определением тригонометрических функций синуса и косинуса (рис. 3):

Тогда число z выражается через модуль и аргумент следующим образом: 

Выражение z = r(cos + i sin) называют тригонометрической формой комплексного числа, в отличии от выражения z = x + yi, называемого алгебраической формой комплексного числа.

Приведем примеры обращения комплексных чисел из алгебраической формы в тригонометрическую:

Для числа i имеем r = 1, = 90°, поэтому   i = 1(cos 90° + i sin 90°);

Для числа – 1 имеем r = 1, = 180°, поэтому  – 1 = 1(cos 180° + i sin 180°);

Для числа 1 + i имеем Для числа ,имеем r = 1, = 45°, поэтому

=

Для числа имеем r = 2, = 120°, поэтому 

=2(cos120+isin120)

Справедливость приведенных равенств нетрудно проверить путем подстановки в их правой части числовых значений тригонометрических функций. Итак, для того, чтобы комплексное число, заданное в алгебраической форме, обратить в тригонометрическую форму, необходимо найти его модуль r и аргумент j.

Часто применяется следующая форма записи комплексного числа - называемая показательной формой.

Так, например, число 1 + i может быть записано так:

5. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра.

а) Умножение комплексных чисел.

Пусть комплексные числа даны в тригонометрической форме:

,

Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.

.

Т. е.

При этом использовались правила умножения комплексных чисел и формулы тригонометрии:

б) Деление комплексных чисел.

Частным от деления двух комплексных чисел, является число вида:

Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя; аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

в) Возведение комплексного числа в степень с натуральным показателем. Формула Муавра.

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

где n – целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра.

(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)

Пример:

Найти

Решение: Запишем сначала число в тригонометрической форме:

по формуле Муавра имеем

====-512.

Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т. д. углов.

Пример. Найти формулы sin2j и cos2j.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра:

Приравнивая, получим

Т. к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

г) Извлечение корня с натуральным показателем из комплексного числа.

Корнем n-ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n-я степень которого равняется подкоренному числу, т. е.

Возводя в степень, получим:

Так как у равных комплексных чисел модули должны быть равны, а аргументы могут отличаться на число, кратное , то

Придавая к значения 0,1,2,…,n-1, получим n различных значений корня. Для других значений к аргументы будут отличаться на число, кратное 2π, т. е. получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными.

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Пример: Вычислить все значения ;

Решение: Имеем . По формуле, получим:

=

при к=0 =

при к=1 =

при к=2 =

Итак имеет три различных значения: 1; ; .

Особое значение в электротехнике имеет умножение комплексного числа на мнимую единицу:

.

Найдем модуль и аргумент числа :

Поэтому .

При умножении комплексного числа на мнимую единицу его модуль не

изменяется, а аргумент увеличивается на . Этому (в геометрическом смысле) соответствует поворот отрезка Oz - без изменения его длины против часовой стрелки на .

6. Формулы Эйлера.

Пусть дано комплексное число , где х и у действительные переменные.

Если каждому значению комплексной переменной z из некоторой области комплексных значений, соответствует определенное значение другой переменной w , то w есть функция комплексной переменной z. Записывается .

Функция называется показательной и обозначается .

По определению

(1)

При у=0; имеем т. е. обычная функция действительной переменной.

Для будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3) где m – целое число.

Пусть - комплексная функция, где k-комплексное число, x-действительная переменная, то .

Если в уравнении (1) показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

формула Эйлера.

Если положить , то будем иметь вторую формулу:

Из этих двух уравнений получаем:

Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Заключение

При изучении функций вещественной переменной бывает полезным рассмотрение соответствующих комплексных функций, так как более общий взгляд на предмет исследования часто дает дополнительную информацию и обнаруживает невидимые ранее свойства.

Иногда оказывается, что сформулированная в терминах вещественных чисел задача экономнее всего решается с использованием комплексных чи-сел и функций.

Отметим, что упомянутое явление довольно интересно: ведь комплек-сные числа не выражают какого-либо количества и физические величины, как правило, не измеряются комплексными числами, однако к ответам на во-просы, поставленные в терминах вещественных величин, приводят вычисле-ния и исследования, выполненные с помощью комплексных чисел. Все это, разумеется, объясняется свойствами комплексных чисел.