Устойчивость и расчет критических нагрузок балки прямоугольного сечения из нелинейного материала при чистом изгибе и растяжении

УСТОЙЧИВОСТЬ И РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКИХ НАГРУЗОК БАЛКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ ИЗ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ И РАСТЯЖЕНИИ

,

Институт машиноведения УрО РАН, Екатеринбург, Россия

Введение. Возрастающие требования к достоверности методов оценки несущей способности и долговечности конструкций предопределяют необходимость учета в расчетах всех стадий деформирования материала, в том числе и состояние предразрушения. Эта стадия появляется вследствие диссипативных процессов, происходящих в материале при его деформировании, характеризуется существенным повреждением материала микропорами и микротрещинами и, следовательно, падением его несущей способности. С феноменологической точки зрения, этот эффект проявляется падающим участком диаграммы деформирования. Материал с такой диаграммой является реологически неустойчивым. Многие реальные материалы, такие как горные породы [1], ряд металлов [2] и даже лед [3], могут быть описаны именно моделями реологически неустойчивых материалов.

В процессе нагружения некоторого элемента механической конструкции потеря устойчивости деформирования этого элемента сопровождается разрушением материала микротрещинами. Однако наличие участков локальной потери устойчивости отдельного элемента не вызывает исчерпания устойчивости всей конструкции в целом вследствие геометрических связей, накладываемых другими элементами конструкции или внешними факторами. Поэтому учет дополнительного вклада неустойчивого элемента системы может быть существенным при расчете предельных нагрузок всей системы.

1. Постановка задачи. Рассмотрим балку прямоугольного сечения высотой 2h = 20 мм, длины L = 50 мм и ширины b = 1 мм. (рис. 1). К торцам балки прикладывается изгибающий момент M, реализующий в ней состояние чистого изгиба [4], и растягивающая сила, распределенная по всему поперечному сечению, с результирующей Q (рис. 2). Квазистатическое деформирование осуществляется изотермически. В случае чистого изгиба в балке возникают только продольные напряжения , а продольные деформации линейно распределены по высоте (рис. 2) в силу принципа параллельных сечений [5].

γ2

Растягивающая сила, приложенная к торцам балки, способствует отклонению нейтральной линии, где напряжения и деформации нулевые, от оси симметрии Ox. Однако в силу симметрии поперечного сечения Q не приводит к появлению в балке поперечных или тангенциальных напряжений, таким образом, модель остается одномерной при комбинированном нагружении растягивающей силы и изгибающего момента.

Полные деформации вычисляются по формуле . Здесь κ – кривизна центральной оси балки в результате изгиба и a – расстояние от оси симметрии Ox до нейтральной линии (рис. 2). На рисунке 2 также отмечены γ1 и γ2 – деформации крайних волокон балки наиболее сжатых и наиболее растянутых соответственно.

Свойства материала, из которого изготовлена балка, определяет полная диаграмма деформирования σ(ε), обладающая восходящей и падающей до нуля ветвями. Диаграмму характеризует функция , имеющая смысл касательного модуля. Ее знак определяет состояние материала: если , то имеет место упрочнение материала (восходящие участки диаграммы), если - разупрочнение (падающие участки).

В задаче о чистом изгибе и растяжении дифференциальные уравнения равновесия и условия совместности деформаций удовлетворяются тождественно.

Выпишем функцию полной энергии механической системы:

Здесь - потенциал напряжений, равный работе деформаций материального элемента, - работа растягивающей силы , распределенной по поперечному сечению c площадью и равнодействующей Q. - относительное удлинение балки вдоль продольной оси. Преобразуем выражение для потенциальной функции:

(1)

Вычислим частные производные функции (1) по параметрам состояния:

Приравнивая их нулю, получаем равенства

(2)

которые совпадают со статическими уравнениями равновесия и граничными условиями в задаче об изгибе и растяжении бруса, а именно равенство продольной силы в балке растяжению Q и равенство моменту внутренних сил приложенному изгибающему моменту M. Соотношения (2) также связывают параметры управления (прикладываемые растягивающее усилие Q и момент M) и параметры состояния (расстояние a от нейтральной линии и кривизна κ) в положениях равновесия.

2. Операторные уравнения равновесия. Соотношения (2) можно рассматривать в качестве операторных уравнений

(3)

с нелинейным векторным оператором , отображающим евклидово пространство состояний в евклидово пространство управлений .

Уравнения (3) относительно пар переменных (a, κ) и (Q, M) определяют одну группу переменных через другую как неявную функцию. Если функции и непрерывно дифференцируемы по совокупности переменных и Якобиан отображения (детерминант матрицы Якоби), равный сильной производной отображения - производной по Фреше [6],

(4)

не равен нулю в некоторой точке из множества , тогда по теореме об обратном отображении [7] для и в некоторой окрестности точки существуют обратные отображения и , и для системы уравнений (3) можно поставить в соответствие локально эквивалентную систему функциональных связей

определенную в окрестности точки из пространства , где , . Причем якобиан обратного отображения в точке не равен нулю.

Таким образом, система функций и в окрестности точки устанавливает взаимно-однозначное соответствие этой окрестности и множества точек, образованных значениями функций и , принимаемыми в данной окрестности.

На совокупности точек , где якобиан J равен нулю, уравнения (3) не определяют в окрестности точки переменные (a, κ) как неявные функции от (Q, M). Однако в этой точке существует единственное решение .

Вычислим компоненты матрицы Якоби (4), дифференцируя по параметрам состояния правые части уравнений равновесия (3). После преобразований имеем:

Введение в рассмотрение падающего участка диаграммы деформирования приводит к тому, что функция потенциальной энергии механической системы (1) имеет катастрофу типа сборки (или складки) [8] на пространстве допустимых управлений . Отсюда на всем пространстве можно обозначить область Ξ (), где отображение Φ не является взаимно-однозначным и любой точке из Ξ обратный оператор ставит в соответствие три пары параметров состояния балки (a, κ). Таким образом, имеет место локальный гомеоморфизм отображения Φ. Известно [7], что отображение гомеоморфно в некоторой точке пространства, если определитель матрицы Якоби (4) в этой точке не равен нулю. В задаче о чистом изгибе и растяжении это условие есть

(5)

Точки пространства , удовлетворяющие условию (5), являются критическими точками [8] отображения Φ. На плоскости параметров состояния совокупность критических точек образует линии критических отображений, разделяющие Ω на области, где матрица (4) либо положительно определена, либо отрицательно определена, либо не является знакоопределенной. Соответственно на этих областях функции и либо выпуклы вверх, либо выпуклы вниз, либо имеют седловые точки [9].

Отображение линий критических точек посредством уравнений равновесия (2) дает сепаратрису потенциальной функции (1). Она представляет собой проекцию крайних листов сборки на пространство допустимых управлений и поэтому ограничивает область Ξ. Отметим, что отсутствие глобального гомеоморфизма приводит к тому, что пространство допустимых управлений в результате отображения пространства состояний системы с помощью уравнений равновесия деформируется, зачастую сужаясь. Этот факт объясняется тем, что при отображении границы пространства (a = 0, κ = 0) не переходят в границы (Q = 0, M = 0).

3. Метод построения сепаратрисы потенциальной функции механической системы. Алгоритм построения сепаратрисы состоит из следующих этапов:

1) Выписывается матрица Якоби (6) для балки с заданной геометрией и свойствами материала, и определитель этой матрицы приравнивается нулю. На плоскости параметров состояния Ω отмечаются все точки, удовлетворяющие равенству (5). Для этого один из параметров состояния фиксируется, например, κ. Множество допустимых кривизн разбивается сеткой на N интервалов с малым шагом . Значение каждого узла сетки подставляется в уравнение (5), которое решается относительно отклонения a. Получаем соответствующую величину . Совокупность пар , образует на плоскости Ω кривую критических отображений оператора Φ. Возможно и построение критических точек и с помощью любого современного вычислительного пакета непосредственно из условия (5).

2) Полученные в п.1 величины ΘC подставляем в правые части уравнений равновесия (3) и, вычислив интегралы, находим соответствующие значения растягивающей силы и изгибающего момента . На плоскости допустимых управлений эти точки образуют сепаратрису потенциальной функции (1).

4. Устойчивость процесса деформирования балочного элемента. Для исследования устойчивости воспользуемся методами специальной математической теорией катастроф [8, 10], в соответствии с которой считаем, что при деформировании материал балки неотличим от нелинейно упругого и характеризуется потенциалом напряжений . Состояние всей системы описывает потенциальная функция (1).

Критические (морсовские) точки функции Π определяет равенство нулю градиента потенциальной функции [9], то есть необходимо выполнение уравнений

, ,

совпадающих со статическими уравнениями равновесия (2). Соотношения (2) связывают параметры управления и состояния системы в устойчивых и неустойчивых положениях равновесия балки. Для определения вырожденных критических точек, в которых происходит смена типов равновесия (с устойчивого на неустойчивое), выписывается матрица устойчивости (матрица Гессе) [10]

(6)

и совместно с уравнениями (2) решается уравнение

(7)

Компоненты симметричной матрицы (6) есть частные производные функций

по параметрам состояния κ и a:

Очевидно, что матрица Гессе зависит не только от параметров состояния системы, но и от управлений Q. Тогда и равенство (7), имеющее вид

также есть уравнение относительно трех переменных (a, κ и Q). Однако для определения вырожденных критических точек решается система уравнений (2) и (7). Преобразуем (7) с учетом уравнений равновесия:

В начале процесса нагружения напряженно-деформированное состояние балки устойчивое. В каждой точке сечения и . При постепенном возрастании прикладываемой нагрузке согласно принципу максимального промедления [8] балка будет сохранять устойчивое равновесие до тех пор, пока определитель матрицы Гессе (гессиан) не обратится в нуль. В этот момент критическая точка, отвечающая данному положению равновесия, становится вырожденной и процесс нагружения скачкообразно теряет устойчивость. Потеря устойчивости процесса нагружения сопровождается разрушением материала балки микропорами и микротрещинами, нарушая сплошность среды. Таким образом, условие (7) можно рассматривать как критерий разрушения механической системы.

Отметим, что, несмотря на различие матриц Якоби и Гессе (первая несимметричная, вторая симметричная), их определители отличаются в раз и условия (5) и (7) приводят к одному уравнению относительно параметров состояния системы. Отсюда, вырождение матрицы Якоби (4) есть вырождение матрицы Гессе (6). Таким образом, возможно отождествить разрушение балочного элемента, потерю устойчивости процесса деформирования и вырожденность отображения пространства состояний в пространство управлений.

5. Пример расчета предельной несущей способности прямоугольной балки. Проиллюстрируем методику расчета предельной несущей способности для прямоугольной балки высотой 2h =10 мм, длиной L = 50 мм, шириной b = 1 ммрh. Свойства материала, из которого изготовлена балка, описывает непрерывная функция (рис. 3)

(8)

Здесь - модуль Юнга, , - деформации, отвечающие пределам прочности, , - деформации разрушения при сжатии и растяжении соответственно. На диаграмме т 162 кГ/мм2, 81 кГ/мм2 - напряжения предела прочности.

Для выбранной зависимости (8) функция касательного модуля имеет вид:

В точке значения касательного модуля функций σ1 и σ2 совпадают . Это обеспечивает гладкость функции σ(ε) в начале координат.

Потенциальная функция (1) для балки из материала с диаграммой (8) представляет собой катастрофу типа складки относительно параметров управления при заданном значении параметра κ = 0.01 мм-1 [8, 10] (рис. 4).

Граничные условия (3) после подстановке функции (8) представляют собой явную зависимость параметров управления и состояния:

(9)

Вычислим компоненты матрицы Гессе (6):

Из равенства нулю определителя матрицы Гессе det(H) = 0, которое в случае прямоугольной балки с учетом уравнений равновесия (9) представляет собой уравнение

, (10)

получаем совокупность критических точек отображения пространства состояний в пространство управлений (9). На плоскости Ω = {(a, κ): a ≥ 0, κ ≥ 0} эти точки образуют кривые Γ1 и Γ2 (рис. 5).

Отображая кривые Γ1 и Γ2 посредством уравнений равновесия (9) получаем сепаратрису потенциальной функции механической системы. Для этого проводится численная процедура, представленная в п. 3. Плоскость параметров состояния Ω разбивается прямоугольной сеткой с малым шагом. Далее один из параметров, например κ, фиксируется равным некоторому значению и уравнение (10) решается численно (итерационными методами Ньютона, простой итерации или др.) относительно параметра a с заданной степенью точности и соответствующим выбором начального приближения. В зависимости от начального приближения возможно определить все параметры состояния, удовлетворяющие (10).

Найденные значения (a,κ) подставляем в правые части уравнений (9), рассчитываем интегралы, и получаем соответствующие значения критических нагрузок (Q, M). Перебирая все точки на кривых Γ1 и Γ2, вычисляем точки сепаратрисы потенциальной функции системы (рис. 6). Причем Γ1 отображается в S1, часть Γ2 – в нижнюю полуплоскость пространства Q-M , оставшаяся часть кривой Γ2 после отображения оператором Φ переходит в множество S2. Отметим, что сепаратриса S1 – это проекция верхнего края сборки на плоскость Q-M (рис. 4). После достижения этой кривой S1 происходит “срыв” с верхнего листа сборки на нижний, что соответствует потери устойчивости процесса деформирования.

В зависимости от способа нагружения системы, ее отклик на нагрузку разный. Рассмотрим несколько возможных зависимостей изгибающего момента M от растягивающей силы Q. Первый путь нагружения M =2Q (прямая 01 на (рис. 7)). Критическая нагрузка в этом случае есть точка пересечения прямой M =2Q и веткой сеператрисы S1. Для точного определения критической нагрузки заменяем во втором уравнении (2) M на 2Q и численно решаем систему нелинейных уравнений (2) и (10). Найденные решения уравнений представлены в таблице 1.

путь нагружения	растягивающее усилие Q, кГ	изгибающий момент M, кГ·мм	отклонение от нейтр. оси a, мм	кривизна κ, мм-1
01 (M=2Q)	343.22	6864.39	2.68467	0.0051453
02 (M=Q)	577.13	5771.32	3.9587	0.
03 (M=Q/2)	862.74	4313.7	6.03318	0.

Таблица 1.

Также были рассмотрены пути M = Q и M = Q/2 – прямые 02 и 03 на (рис. 7). Рассчитанные значения нагрузки и параметров состояния представлены в Таблице 1.

Заключение.

1) Проведено исследование устойчивости процесса деформирования балки прямоугольного сечения при чистом изгибе и растяжении. Получен критерий потери устойчивости.

2) Предложен метод построения сепаратрисы потенциальной функции механической системы.

3) Представлен пример расчета критических нагрузок балки с заданными свойствами материала.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № ) и частичной поддержке молодежного гранта УрО РАН (проект № 11-1-НП-523).

ЛИТЕРАТУРА

*****iping Guoa, Guangxin Lib. Elasto-plastic constitutive model for geotechnical materials with strain-softening behaviour // Computers & Geosciences. – 2008. – V. 34, № 1. – P. 14–23.

2. S. Tangaramvong, F. Tin-Loi. Limit analysis of strain softening steel frames under pure bending // Journal of Constructional Steel Research. – 2007. – V. 63, № 9. – P. 1151–1159.

3. M. Shazlya, V. Prakasha, Bradley A. Lerchb. High strain-rate behavior of ice under uniaxial compression // International Journal of Solids and Structures. – 2009. – V. 46, № 6. – P. 1499–1515.

4. Ильюшин . Ч.1. Упруго-пластические деформации - М.: Логос, 20с.

5. Работнов материалов. – М.: Физматгиз, 1962. – 456 с.

6. , Фомин теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972. – 496 с.

7. Зорич анализ. Ч.1. – М.: МЦНМО, 2002. – 664 с.

8. Gilmore R. Catastrophe Theory for Scientists and Engineers. - New York: Dover, 19p.; русск. пер.: Прикладная теория катастроф: В 2-х книгах; Кн. 1. - М.: Мир, 19c.

9. Матричный анализ. – М.: Мир, 1977. – 742 с.

10. Thompson J. M. T. Instabilities and catastrophes in science and engineering. – New York, 1982.: русск. пер.: Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. - М.: Мир, 1985. – 254 с.