Лекция 7. Полные и упрощённые модели

Лекция 7. Полные и упрощённые модели

Эти разновидности моделей тоже связаны с иерархической организацией объекта проектирования и необходимостью свёртки данных при переходе на более высокие иерархические уровни.

Допустим, что у нас имеются модели компонентов на кремниевом уровне. Это системы дифференциальных уравнений в частных производных - уже известные нам распределённые модели.

Теперь мы собираемся спроектировать из имеющихся компонентов более сложный объект, например, логический элемент 2И-НЕ. Чтобы убедиться, что он будет работать, надо построить его модель и испытать её.

Как это сделать? Кажется, проще всего взять уже готовые модели компонентов и объединить их в модель проектируемого объекта в соответствии с его структурой (композиционный принцип). Так получаются полные модели. Для данного примера полная модель будет представлять собой те же уравнения в частных производных, только число их резко возрастёт. Вам попадалось на глаза подобное описание работы логического элемента? Думаю, что нет. И не потому, что их нельзя решить, а потому, что это нецелесообразно делать.

Известный закон Парето гласит: в каждом объекте существует жизненно важное меньшинство и тривиальное большинство. Р. Шеннон интерпретирует его на свой лад, приводя количественные оценки: 20% факторов определяют 80% свойств системы.

К чему мы затеяли этот разговор? А к тому, что в любой полной модели, как наиболее близкой копии объекта, есть много «мусора». Мы можем в 5 раз упростить модель, потеряв только 20% её свойств. Вполне возможно, что потерянные свойства и не нужны для целей нашего исследования.

Столь радужные перспективы и чисто технические трудности решения задач большой размерности стимулируют разработчиков строить упрощённые модели (по сравнению с полными).

Существуют ЧЕТЫРЕ основных способа построения упрощённых моделей.

Первый способ основан на аппроксимации полной модели. Основная его идея заключается в том, чтобы отыскать в полной модели мало влияющие параметры (тривиальное большинство) и удалить их частично или полностью.

Поиск таких параметров выполняется анализом чувствительности выходных параметров к вариации внутренних параметров. Например, если полная модель описывается зависимостью

Yп = f (X1, X2, … Xm),

то степень влияния параметра Xi на выходной Yп легко вычислить как:

Полученные коэффициенты влияния ранжируются (сортируются) в порядке возрастания. Задаётся допустимый процент потери качества модели (например, eдоп £ 10%) и выполняется процедура избавления модели от “мусора”. Сначала из модели удаляется параметр с самым малым коэффициентом влияния, и оцениваются последствия:

где Yп - выходной параметр полной модели;

Yупр - выходной параметр упрощённой модели;

eдоп – допустимая потеря качества.

Если неравенство выполняется, то удаляется следующий мало влияющий параметр и так до тех пор, пока упрощённая модель не станет слишком грубой.

Достоинство описанной процедуры в том, что её легко автоматизировать (написать соответствующую программу), а значит, и решить задачу машинного синтеза таких моделей.

Недостаток тоже «лежит на поверхности» – необходимость построить сначала полную модель, а затем какое-то время работать с ней, пока не будет получена более простая.

Хорошим примером описанного подхода является модель Эберса - Мола (полная модель транзистора) и его схема замещения (упрощённая модель), из которой, без печальных последствий, можно удалить такие параметры как обратное сопротивление коллекторного перехода, омические сопротивления слоёв базы и эмиттера.

Другой способ построения упрощённых моделей основан на следующих рассуждениях. Зачем «тянуть за собой» в полную модель все детали нижележащих уровней, чтобы потом «наверху» частично избавиться от них. Не лучше ли это сделать сразу, «внизу». Тогда и полную модель не придётся строить.

Самый радикальный способ исключить из описания внутренние параметры – это свернуть систему в чёрный ящик. Мало того, что теперь не надо копировать в модели структурные свойства объекта, но можно игнорировать и физику протекающих в нём процессов.

Главное и единственное условие, чтобы модель взаимодействовала с внешней средой (с окружением) так же, как и сам моделируемый объект. Разрешается использовать для достижения этой цели любые формальные приёмы. Важен лишь результат.

Модели, которые строятся подобным образом, называются формальными. Обычно в таких моделях бывает достаточно воспроизвести только внешние характеристики моделируемого объекта (входную, выходную, передаточную, переходную), определяющие его поведение на внешних зажимах (выводах, контактах, клеммах).

Поясним сказанное на примере. Пусть требуется разработать упрощённую (формальную) модель логического элемента - инвертора. Модель должна правильно воспроизводить его передаточную характеристику (рис.14), полученную экспериментальным путём.

Рис. 14. Передаточная характеристика инвертора

Характеристика нелинейна, поэтому аппроксимируем её тремя участками прямых и для каждого из них построим свою модель:

Модель М1: ; если ;

Модель М2: ; если ;

Модель М3: ; если ;

Понятно, что в точках излома UВХ = UП1 и UВХ = UП2 смежные модели должны «стыковаться», то есть давать одинаковые значения.

Управляющая программа должна контролировать, на каком участке находится рабочая точка, и вызывать ту или иную модель. В данном примере можно объединить все три модели в одну и поручить ей контроль за рабочей точкой (рис.15).

Рис. 15. Блок-схема формальной модели инвертора

Аналогичным образом можно реализовать остальные внешние характеристики и получить полноценную модель инвертора, вполне заменяющую его в работе на транзисторном уровне. А ведь в модели нет ни одного реального компонента!

Рассмотрим ещё один формальный приём построения упрощённых моделей. В схемотехнике такие модели называются эквивалентными схемами или схемами замещения. Здесь другая идея: подыскать реальному объекту эквивалентную по поведению замену. Структура модели может быть совершенно другой, чем у объекта, главное, чтобы она была проще.

На рис.16,а показана структура реального объекта - инвертора, а рядом (рис.16,б) - его упрощённая эквивалентная схема.

Как видно, структуры у объекта и модели совершенно разные, но поведение у них может быть одинаковым, если генератор тока IВХ будет имитировать входную характеристику, зависимый источник напряжения E1 – передаточную характеристику, а E2 и RВЫХ – выходную. Задержка распространения сигнала внутри инвертора моделируется цепочкой R1, C1.

Рис. 16. Представление инвертора формальной моделью в виде схемы замещения

Понятно, что значения всех параметров схемы замещения должны быть рассчитаны так, чтобы минимизировать различия в поведении оригинала и модели.

Четвёртый способ построения упрощённых моделей предлагает компромиссное решение задачи, когда не весь объект, а только его отдельные части (фрагменты) превращаются в чёрные ящики. Такие модели называются неоднородными, смешанными или многоуровневыми. С последним определением мы уже встречались в лекции 3.

Особый интерес представляют логико-схемные модели, захватывающие вентильный и транзисторный уровни. Помните (лекция 4), именно здесь происходит качественный скачок, связанный с превращением физических систем в информационные?

Если электрическая схема слишком велика, то можно превратить её отдельные фрагменты в чёрные ящики – в логические элементы следующего (вентильного уровня).

На первый взгляд может показаться, что «овчинка выделки не стоит»: упростив модель, мы сами себе создали проблему – необходимость моделировать одну часть схемы на транзисторном уровне (схемотехническое моделирование), а другую часть - на вентильном уровне (логическое моделирование).

Другими словами, управляющая программа моделирования должна уметь обрабатывать аналого-цифровые схемы.

Основная трудность такого моделирования заключается в обеспечении информационного и временного согласования электрических и логических моделей.

Чтобы обеспечить интерфейс между аналоговой и цифровой частями схемы, надо уметь конвертировать электрические сигналы в логические и наоборот. Эту работу можно выполнить с помощью одноразрядных аналого-цифровых и цифроаналоговых преобразователей. Иногда их называют трансляторами или конверторами. Понятно, что такие конверторы надо поставить во все цепи, где «встречаются» электрический и логический сигналы. Современные программы моделирования, например PSpice A/D эту работу выполняют автоматически.

Проблема временного согласования состоит в том, что механизмы моделирования аналоговой и цифровой подсхем совершенно разные. В первом случае решаются дифференциальные уравнения численными методами, во втором – логические уравнения. В первом случае модельное время tm продвигается с темпом, определяемым шагом интегрирования дифференциальных уравнений, во втором – модельное время обычно «привязывается» к переключениям (событиям), происходящим в логических элементах, и движется неравномерно.

Понятно, что модельное время должно быть единым для обеих подсхем, следовательно, надо найти способ синхронизировать их работу. Как это делается, мы узнаем в лекции 6, где обсуждаются механизмы продвижения модельного времени.

Заканчивая разговор об упрощённых моделях, заметим, что в технической литературе их обычно называют макромоделями.

Мы будем стараться избегать применения этого термина в указанном смысле.

Для нас макромодель (лекция 3) – это модель, которая только пользователю кажется простой, тогда как упрощённая модель проста как для пользователя, так и для моделирующей системы.