Закон распределения Вейбулла-Гнеденко

Закон распределения Вейбулла-Гнеденко.

, λ0, β – параметры распределения

λ0 – масштабный пар-р распределения

β – пар-р кривизны распределения

все функции зависят от времени. β изменяется в 3-х областях и определяет вид граф. зависимостей.

β=1: - распределительный закон переходит в экспоненциальный. – для аппаратной техники β<1 – характерно для периода приработки, убывают значения всех показ-ей. Параметр β<1 характерен для описания распределения наработки до отказа ПО. (Рис1)-для ПО β>1 – используется для описания наработки до отказа мех-х и электр-х устройств, имеющих период приработки и старения. (рис.2)

Распределение Вейбулла-Гнеденко используется при проведении форсированных испытаний объекта на надежность.

Нормальное распределение (Гаусса).

Оно используется для описания работы устройств в периоде старения

где m и σ =√D[t] – распределительные параметры

m - средняя наработка на отказ

σ =√D[t] – среднеквадратичное отклонение

рис3

Усеченное нормальное распределение:

f(t)=

это распределение используется: в период старения, при определении показ-ей надежности, при постепенных отказах, а также для учета ухода параметров за допустимые пределы.

Распределение Рэлея.

(рис.4)

Это распределение используется для описания периода старения. В области малых значений наработки до отказа (t<t0) интенсивность отказов λp(t)<λэ(t), а Pp(t)>Pэ(t), поэтому объекты, функционирующие малое непрерывное время целесообразно строить на рэлеевских элементах.

Потоки отказов восстан-х объектов.

Отказы происходят в случайные моменты времени, продолжительность восстановления – величина случайная, время восстановления << времени работы до отказа (tв<<t).

Рис5

Кривая n(t) одна из реализаций вектора числа отказов ζ(t) в восстан-м объекте.

Поток отказов восстан. объекта – последовательность отказов, произошедших в случайные моменты времени t1, t2, t3… Вектор числа отказов ζ(t) – основная характеристика потока отказов

Свойства потока отказов:

стационарность – закон распределения вектора числа откзаов на отрезок времени ∆t1, ∆t2 … зависит только от длительности этих отрезков и не зависти от выбора общего момента начала этих отрезков. Рис6

с течением времени вероятностные хар-ки не изменяются, а если изменяются, то это нестационарный поток.

отсутствие последствия – для любого набора непересекающихся промежутков времени число отказов на этих промежутках представляют собой взаимно независимые случайные величины; – это вероятность наступления отказов в ∆t не зависит от того, сколько было отказов до этого и как они распределились. Для случайного это означает что все отказы происходящие в нем, - события случайные и независимые. Рис7 ординарность – в любой бесконечно малый промежуток времени может произойти только один отказ -

Способы описания потока отказов:

  I.  Задание числа отказов на каком-либо промежутке времени (описание n(t))

  II.  Задание закона распределения в промежутках времени между отказами (∆t).

Поток отказов удовлетворяет свойствам стационарности, ординарности, отсутствием последействия наз-ся простейшим и встречается в идеальных объектах, а в реальных нет.

·  Условие стационарности нарушается если:

наличие приработки старение элементов в процессе хранения неодновременное функционирование элементов в случайном объекте нарушение условий эксплуатации

·  условие отсутствия последствия нарушается если:

1.  наличие постепенных отказов основных элементов, которые ведут к изменению режима работы

2.  наличие отказов второстепенных элементов, они влияют на режим работы основных элементов

·  чтобы упростить описание показателей надежности при расчетах гипотеза отсутствия последействия принимается, если:

1.  при изучении потоков отказов систем, состоящих из функционально несвязанных элементов

2.  в системах разового использования

3.  в системах где отказ любого элемента ведет к отказу всей системы

·  условие ординарности практически выполняется в реальных потоках

Простейший поток отказов.

Условия существования простого потока:

элементы объекта работают одновременно отказы носят мгновенный характер отказ одного объекта ведет к отказу всей системы в целом отсутствует старение

- закон распределения Пуассона, где λ- параметр потока отказов

Нестационарный пуассоновский поток

- это поток неудовлетворяющий условиям стационарности, свойствам ординарности и условиям последействия удовлетворяет. Наблюдается в процессе приработки устройств, в сл. объектах, в которых элементы работают не одновременно, в резервированных объектах.

Условия существования: отказы элементов носят мгновенный характер, отказ одного ведет к отказу всей системы, старение элементов отсутствует.где ω(t) – параметр потока отказов. P(τ)=e-λτ

Поток Эрланга.

Образуется в результате разряжения простого потока событий путем отбрасывания некоторых из них. Если в объекте удаляется каждый второй отказ, то это поток Эрланга. Потоки Эрланга встречаются в объектах, где имеются средства разряжения потока отказов: системы контроля, аппаратное резервирование, времен-е резерв-е и изменения конфигураций объекта.

Рис1

рис2

f(t)

рис3