Линейные преобразования линейного пространства

Линейные преобразования линейного пространства

Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.

j : L ® L

Всё, что было сказано о линейных операторах, очевидно, верно и для линейных преобразованиях, но некоторые формулы будут иметь более простой вид. Напомним формулы.

1. Если в пространстве Ln зафиксирован базис е = (е1, е2, … , еn ), то матрица А линейного преобразования j : Ln ® Ln имеет вид

А = , столбцы которой – координаты образов базисных векторов е.

(35)

2. Формулы (35) в матричном виде имеют вид j(е) = е×А.

3. Связь столбцов координат вектора и его образа: х1 = А×х (36)

4. Если в пространстве Ln зафиксированы два базиса е = (е1, е2, … , еn) и е1 = (е11,е21, … , еn1) и Т – матрица перехода от е к е1, то связь матриц линейного преобразования в этих базисах задаётся формулой А1 = Т×А×Т–1 (37).

Определение 36. Квадратные матрицы А и В называются подобными, если существует такая квадратная невырожденная матрица С, что В = С–1×А×С.

5. Матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны.

6. Теорема 35. Для любых двух подобных матриц А и В одного и того же порядка n над полем Р и любого линейного пространства Ln над полем Р в Ln существуют такие базисы е и е1, что данные матрицы будут задавать в этих базисах одно и то же линейное преобразование.

Доказательство. Пусть В = С–1×А×С. Зафиксируем в Ln какой-нибудь базис. Матрица А в этом базисе задаёт линейное преобразование (пусть это j). Так как матрица С невырожденная, то С–1 может быть матрицей перехода. Пусть е1 = е×С–1. Тогда преобразование j в базисе е1 будет иметь матрицу С–1×А×(С–1 )–1 = С–1×А×С = В.

7. dim (j(Ln )) + dim (Kerj ) = n.

8. Множество всех линейных преобразований пространства Ln есть тоже линейное пространство над тем же полем Р, что и пространство Ln .

Определение 37. Линейное пространство линейных преобразований линейного пространства Ln называется линейным пространством, сопряжённым пространству Ln .

Пространство, сопряжённое Ln , обозначается Ln*.

9. Пространство Ln* изоморфно линейному пространству квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р. Следовательно, dim (Ln* ) = n2.

Невырожденные линейные преобразования

Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р и пусть j : Ln ® Ln – линейное преобразование. Если А –матрица этого преобразования в некотором базисе е, то в любом другом базисе j задаётся матрицей, подобной А, т. е. матрицей вида А1 = Т×А×Т–1 . Так как матрица Т невырожденная, то rang (A1) = rang (A).

Определение 38. Рангом линейного преобразования линейного пространства называется ранг его матрицы в любом базисе этого пространства.

Определение 39. Линейное преобразование линейного пространства называется невырожденным, если его ранг равен размерности пространства.

Теорема 36. Линейное преобразование j линейного пространства Ln является невырожденным тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

1) j (Ln ) = Ln ; 2) Ker(j) = 0; 3) j – взаимнооднозначное отображение Ln на себя;

4) при преобразовании j различные векторы имеют различные образы.

Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

Пусть Ln – линейное n-мерное пространство над полем Р, j : Ln ® Ln – линейное преобразование и А –матрица этого преобразования в некотором базисе е.

Определение 40. Ненулевой вектор а называется собственным вектором преобразования j, если j(а) = l×а для некоторого l Î Р. Элемент l называется собственным значением преобразования j.

По определению собственного вектора, а – собственный вектор преобразования j Û $l Î Р : j(а) = l×а. Перепишем это равенство в координатах, получим А×х = l×х. Отсюда А×х – (lЕ)×х = О, или (А –lЕ)×х = О. Итак, а – собственный вектор преобразования j Û столбец координат этого вектора является ненулевым решением уравнения (А –lЕ)×х = О (38). Матрица (А –lЕ) называется характеристической матрицей для матрицы А. Матричное уравнение (38) перепишем в виде системы уравнений. Получим, что а – собственный вектор

(39)	преобразования j Û (х1, х2, … , хn ) – ненулевое решение системы (39), при этом все хк принадлежат полю Р. Так как (39) система линейных однородных уравнений и число уравнений равнее числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, т. е.
(40)	имеет место равенство (40). Уравнение (40) называется характеристическим уравнением матрицы А. Определитель системы, т. е. | А – lЕ |, называется характеристическим многочленом матрицы А.

Корни характеристического многочлена называются характеристическими корнями матрицы А. ( Характеристический корень не всегда принадлежит полю Р). Множество всех характеристических корней матрицы А называется её спектром.

Согласно определению 40, l Î Р. Пусть l0 Î Р и является характеристическим корнем матрицы А. При l0 система (39) имеет ненулевое решение, т. е. j будет иметь собственный вектор и l0 будет собственным значением преобразования j, заданного матрицей А.

Теорема 37. Характеристические многочлены подобных матриц одинаковы.

Доказательство. Пусть В = С–1×А×С. Так как матрица lЕ перестановочна с любой матрицей, то | В – lЕ | = | С–1×А×С – lЕ | = | С–1×А×С – С–1 ×(lЕ)×С | = | С–1×(А – lЕ)×С | = |С–1 || А – lЕ ||С| = | А – lЕ |.

Так как матрицы линейного преобразования в разных базисах подобна, то

Следствие. Матрицы линейного преобразования в разных базисах имеют один и тот же спектр.

Определение 41. Спектр матрицы линейного преобразования в каком-нибудь базисе называется спектром линейного преобразования.

Теорема 38. Собственными значениями линейного преобразования j : Ln ® Ln , действующего в линейном пространстве над полем Р, являются характеристические корни этого преобразования, принадлежащие полю Р, и только они.

Доказательство этой теоремы вытекает из всего сказанного выше.

Можно сформулировать следующие правила нахождения собственных значений и собственных векторов линейного преобразования.

1. Записать матрицу данного преобразования в некотором базисе.

2. Составить характеристическое уравнение и найти его корни, принадлежащие полю Р (т. е. найти собственные значения).

3. Если l0 – собственное значение, то составить систему и найти её ненулевые решения.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования j : L4 ® L4 (над полем R), если это преобразование в базисе е = (е1, е2, е3,е4) имеет матрицу А.

А = .

Решение. Составим характеристическое уравнение (*). Используя теорему Лапласа, раскроем определитель, получим уравнение:

(*)

, [(1 – l )2 – 1]×[(1– l )×(3 –l ) – 6] = 0. Возможны два случая:

1) (1 –l )2 – 1 = 0, 1 – l = ± 1. Отсюда l1 = 0, l2 = 2.

2) (1– l )×(3 –l ) – 6 = 0, l2 – 4l – 3 = 0, l3 = , l4 = . Итак, характеристическое уравнение имеет четыре корня, все они действительные. Поэтому данное преобразование имеет четыре собственных значения. Для каждого из них составим систему уравнений для нахождения собственных векторов.

1) При l = 0.

Отсюда х2 = – х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения, получим Отсюда

Решив последнюю систему, получим х4 = , х3 = . Если х1 = 3С, то х2 = –3С, х3 = 13С, х4 = –11С, С – любое действительное число, отличное от нуля. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 0, являются все ненулевые векторы вида (3С, –3С, 13С, –11С ).

2) При l = 2.

Отсюда х2 = х1. Подставим в третье и четвёртое уравнения. Отсюда

Решив последнюю систему, получим х3 = , х4 = Если х1 = 7С, то х2 = 7С, х3 = –15С, х4 = –11С, где С – любое отличное от нуля действительное число. Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2, являются все ненулевые векторы вида (7С, 7С, –15С, –11С ).

3) При l = .	Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0. Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из этой системы , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2С, ).
4) При l = .	Из первых двух уравнений х1 = х2 = 0 . Подставив в третье и четвёртое уравнения, получим
Из полученной системы , х3 – любое отличное от нуля действительное число. Если х3 = 2С, то . Итак, собственными векторами, принадлежащими собственному значению l = 2 + , являются все ненулевые векторы вида (0, 0, 2С, (1 )С).

Свойства собственных векторов.

10. Если вектор а – собственный вектор преобразования j, принадлежащий собственному значению l и a ¹ 0, то a×а – тоже собственный вектор, принадлежащий тому же собственному значению.

Если j (а ) = lа, то j(aа) =aj(а) = a(lа) = l(aа).

20. Множество всех собственных векторов линейного преобразования j : Ln ® Ln , принадлежащих одному и тому же собственному значению (если к ним добавить нулевой вектор), есть линейное подпространство в Ln .

Пусть а и в два собственных вектора и j(а ) = lа, j(в) = lв. Тогда j(aа + bв) = aj(а) + bj(в) = a(lа) + b(lв) = l(aа + bв).

30. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы.

Пусть j(а ) = lа, j(в) = l1в, l ¹ l1. Если бы а и в были бы линейно зависимы, то хотя бы один из них линейно выражался через другой пусть в = aа. Так как в – собственный вектор, то a ¹ 0. Тогда j(в) = j(aа). Отсюда l1в = a(lа), l1(aа) = a(lа), a(l1 – l)а = 0. Но в левой части a ¹ 0, l1 – l ¹ 0, а ¹ 0. Противоречие. Следовательно, а и в – линейно независимы.

40. Если в базисе е = (е1, е2, ... , ек, … , еn ) вектор ек – собственный вектор линейного преобразования j, принадлежащий собственному значению l, то в к-ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к-го, стоят нули и акк = l.

Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром

Теорема 39. Линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет в базисе е = (е1, е2, ... , еn ) диагональную матрицу тогда и только тогда, когда все векторы базиса являются собственными векторами преобразования j.

Доказательство. Þ Пусть матрица А линейного преобразования j в базисе е – диагональная. Тогда j(ек) = lк для любого к = 1, 2, … , n. Но это значит, что все базисные векторы – собственные..

Ü Пусть все базисные векторы – собственные. Тогда j(ек) = lк . Следовательно, в к-ом столбце матрицы этого преобразования на всех местах, кроме к-го, стоят нули и акк = lк. Отсюда и следует, что матрица преобразования – диагональная.

Следствие. Квадратная матрица n-го порядка подобна диагональной тогда и только тогда, когда для соответствующего этой матрице линейного преобразования существует базис из собственных векторов.

Определение 42. Говорят, что линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет простой спектр, если все его характеристические корни различны и принадлежат полю Р.

Теорема 40. Если линейное преобразование j линейного пространства Ln над полем Р имеет простой спектр, то в Ln существует такой базис, в котором это преобразование имеет диагональную матрицу.

Теорема 41. Пусть А – квадратная матрица с элементами из поля Р . Если все характеристические корни матрицы А различны и принадлежат полю Р, то эта матрица подобна диагональной.