Равносильные формулы логики предикатов

§6. Равносильные формулы логики предикатов.

Определение 1.

Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными на области М, если они принимают одинаковые логические значения при всех значениях входящих в них переменных, отнесенных к области М.

Определение 2.

Две формулы логики предикатов А и В называются равносильными, если они равносильны на всякой области.

Ясно, что все равносильности алгебры высказываний будут верны, если в них вместо переменных высказываний подставить формулы логики предикатов. Но, кроме того, имеют место равносильности самой логики предикатов. Рассмотрим основные из этих равносильностей.

Пусть А(х) и В(х) – переменные предикаты, а С – переменное высказывание (или формула, не содержащая х). Тогда имеют место равносильности:

1.

2.

3.

4.

5.

6.  .

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

Равносильность 1 означает тот простой факт, что, если не для всех х истинно А(х), то существует х, при котором будет истиной .

Равносильность 2 означает тот простой факт, что, если не существует х, при котором истинно А(х), то для всех х будет истиной .

Равносильности 3 и 4 получаются из равносильностей 1 и 2, соответственно, если от обеих их частей взять отрицания и воспользоваться законом двойного отрицания.

ЗАКОНЫ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ.

(общезначимые формулы логики предикатов)

31.  . 32.  . 33.  . 34.  . 35.  . 36.  . 37.  . 38.  . 39.  . 40.  . 41.  . 42.  . 43.  . 44.  . .

45.  . . 46.  . 47.  . 48.  . 49.  . 50.  . 51.  . 52.  . 53.  54.