Расчет страховых резервов по дожитию и страхованию ренты.
Страховой резерв – это оценка обязательств страховщика по будущим страховым выплатам. Для получения такой оценки производится полный расчет динамики индивидуального страхового фонда (в расчете на одного застрахованного) в предположении, что выбывание участников страхования происходит в соответствии с таблицей смертности, а инвестиционный доход определяется техническим процентом. В результате мы получаем размер страховых взносов и резервы на любой момент времени.
Ретроспективный метод.
1. Накопленная актуарная стоимость единичной суммы.
Если в начальный момент времени (t=0) застрахованный, возраст которого равен x, вносит в страховую компанию единичный взнос, то спустя n лет величина его индивидуального вклада будет равна:
(1)
2. Накопленная актуарная стоимость страховой ренты пренумерандо.
Накопленная актуарная стоимость ренты пренумерандо на конец n-го года (перед платежом в начале следующего года):
(3)
3. Накопленная актуарная стоимость страховой ренты постнумерандо.
Накопленная актуарная стоимость ренты постнумерандо на конец n-го года (после платежа в конце года):
(4)
Страхование на дожитие
1. Единовременный (разовый) взнос.
Фонд на одного дожившего изменяется во времени следующим образом:
(5)
Если страховая сумма в момент окончания договора (t=n) равна единице, то величина взноса определяется из условия:
(6)
Отсюда сумма накоплений на одного дожившего при единичной страховой сумме равна:
(7)
Учитывая соотношение
можно переписать приведенную выше формулу в виде:
(8)
т. е. сумма накоплений равна актуарной текущей стоимости страховой суммы. Отсюда мы видим, что расчет фонда на одного дожившего дает одинаковый результат при ретроспективном и перспективном методе расчета.
2. Периодическая уплата страховой премии в начале каждого года в течение m лет.
В период уплаты взносов фонд на одного дожившего на конец t-го года (t£m) равен (при уплате периодических страховых взносов в течение m лет):
(9)
где Р – периодический(ежегодный) страховой взнос.
После окончания периода уплаты взносов
Страхование ренты.
1. Страхование ренты пренумерандо, выплачиваемой в течение n лет.
1. Единовременный (разовый) взнос.
Для ренты с единичной годовой выплатой сроком n лет имеем:
(14)
2. Периодическая уплата страховой премии в начале каждого года в течение m лет.
Как уже это стало очевидным при расчетах тарифов и резервов на дожитие, наиболее наглядным является расчет в течение периода выплат перспективным методом, а в течение периода уплаты страховой премии и выжидательного периода – ретроспективным методом. Определение страхового взноса – из условия равенства накопленной стоимости фонда и текущей стоимости будущих выплат ренты.
В период выплат величина фонда на одного дожившего равна:
(14)
В период уплаты страховой премии:
(15)
Приравнивая (14) и (15) при t=m, получим:
(16)
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ РЕТРОСПЕКТИВНОГО И ПЕРСПЕКТИВНОГО МЕТОДОВ ВЫЧИСЛЕНИЯ СТОИМОСТИ ФОНДА.
Основным уравнением для определения величины страховой премии является условие равенства текущих стоимостей (на момент начала договора) взносов и страховых выплат за весь срок страхования:
(1)
где P – текущая стоимость взносов, A – текущая стоимость страховых выплат. Представим эти величины в виде суммы текущей стоимости взносов 
(выплат 
), уплаченных (произведенных) к моменту времени t, и текущей стоимости будущих взносов 
(выплат
):
(2)
Поставляя (2) в (1) и умножая на 
, получим:
(3)
В левой части (3) стоит разность накопленной к моменту t суммы взносов за вычетом накопленной к этому моменту суммы страховых выплат, т. е. сумма накоплений в фонде к моменту времени t , вычисленная ретроспективным методом. Правая часть (3) представляет собой текущую стоимость будущих страховых выплат за вычетом текущей стоимости будущих страховых взносов (на момент t) , т. е. сумму, необходимую для обеспечения всех будущих страховых выплат до окончания договора (вычисленную перспективным методом).
